離散傅里葉變換數(shù)字信號(hào)處理陳后金

重點(diǎn)和難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是信號(hào)DFT的數(shù)學(xué)概念和物理概念，以及DFT在信號(hào)分析和系統(tǒng)分析中的重要作用本章的難點(diǎn)是利用DFT分析連續(xù)信號(hào)頻譜過(guò)程中出現(xiàn)的現(xiàn)象DFT當(dāng)前第1頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)問(wèn)題的提出信號(hào)的頻域分析在信息技術(shù)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用為什么進(jìn)行信號(hào)頻譜的數(shù)值化分析?1.許多實(shí)際信號(hào)不存在數(shù)學(xué)解析式2.利用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算,簡(jiǎn)單快捷DFT當(dāng)前第2頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)

有限長(zhǎng)序列的傅里葉分析四種信號(hào)傅里葉表示有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換DFT矩陣表示利用MATLAB計(jì)算DFTDFT當(dāng)前第3頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)傅里葉表示1.周期為T0的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：離散非周期譜DFT當(dāng)前第4頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)傅里葉表示2.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：連續(xù)非周期譜DFT當(dāng)前第5頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)傅里葉表示3.離散非周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為2的連續(xù)譜DFT當(dāng)前第6頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)傅里葉表示4.周期為N的離散周期信號(hào)頻譜特點(diǎn)：周期為N的離散譜DFT當(dāng)前第7頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換IDFTDFT符號(hào)表示DFT當(dāng)前第8頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)有限長(zhǎng)序列DFT與DTFT關(guān)系

有限長(zhǎng)序列x[k]離散傅里葉變換X[m]是其離散時(shí)間傅里葉變換X(ejW)在一個(gè)周期[0,2p)的等間隔抽樣DFT當(dāng)前第9頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT與DFS關(guān)系DFT可以看成是截取DFS的主值區(qū)間構(gòu)成的變換對(duì)DFT當(dāng)前第10頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例3:求有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列的DFT。例題：例4有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列DFT矩陣表示。DFT當(dāng)前第11頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT當(dāng)前第12頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例4:求有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列的DFT。如果序列后補(bǔ)零，其DFT有何變化?解:DFT當(dāng)前第13頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)X[m]={2，2，-2，2},m=0,1,2,3有限長(zhǎng)4點(diǎn)序列DFT矩陣表示:DFT矩陣表示DFT當(dāng)前第14頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT矩陣表示DFT當(dāng)前第15頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用MATLAB計(jì)算DFTfft(x)fft(x,N)ifft(x)ifft(x,N)fft(x)

計(jì)算M點(diǎn)的DFT。M是序列x的長(zhǎng)度。fft(x,N)

計(jì)算N點(diǎn)的DFT。M>N，將原序列裁為N點(diǎn)計(jì)算N點(diǎn)的DFT；M<N，將原序列補(bǔ)零至N點(diǎn)，然后計(jì)算N點(diǎn)DFT。DFT當(dāng)前第16頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)x=[11-11];xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm));axis([04-13]);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1));axis([08-13]);xm2=fft(x,16);subplot(313);stem(0:15,abs(xm2));axis([016-13]);利用MATLAB計(jì)算DFT---N=4、8、16DFT當(dāng)前第17頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)x=[0000011111100000];xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm));axis([016-17]);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1));axis([064-17]);subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:255,abs(xm2));axis([0256-17]);利用MATLAB計(jì)算DFT---N=16、64、256DFT當(dāng)前第18頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)x=[0000011111100000];x1=[000001];N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1));xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));x2=[0000011];N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2));gridxm16=fft(x2,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx3=[00000111];N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3));xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridx4=[000001111];N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4));gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16));gridxm=fft(x,16);subplot(515);stem(0:15,abs(xm));DFT當(dāng)前第19頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT當(dāng)前第20頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)離散傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性

2.循環(huán)位移

3.對(duì)稱性

4.序列的循環(huán)卷積5.Parseval定理6.序列DFT與z變換的關(guān)系DFT當(dāng)前第21頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)1.線性需將較短序列補(bǔ)零后，再按長(zhǎng)序列的點(diǎn)數(shù)做DFTDFT當(dāng)前第22頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)2.循環(huán)位移(圓周移位)循環(huán)位移定義為:注意：隱含的周期性DFT當(dāng)前第23頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)時(shí)移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{xp[kn]RN[k]}=WNnm

X[m]表明：序列在時(shí)域上圓周移位，頻域上將產(chǎn)生附加相移。證明：DFT{xp[kn]RN

[k]}DFT當(dāng)前第24頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)頻移特性:若DFT{x[k]}=X[m]則DFT{x[k]WNlk}=Xp[ml]

RN[m]表明：若序列在時(shí)域上乘以復(fù)數(shù)指數(shù)序列WNlk，則在頻域上，X[m]將圓周移位l位，也稱“調(diào)制定理”。DFT當(dāng)前第25頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)設(shè)x[k]為實(shí)序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實(shí)部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對(duì)稱的特點(diǎn)，即X[m]=X*[Nm]3.對(duì)稱性(symmetry)---1）實(shí)數(shù)序列x[k]DFT當(dāng)前第26頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)x=[0001111000];xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm));subplot(222);stem(0:9,angle(xm));subplot(223);xm1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1));subplot(224);stem(0:10,angle(xm1));設(shè)x[k]為實(shí)序列，DFT{x[k]}=X[m]，則

①X[m]的實(shí)部XR[m]是m的偶函數(shù),虛部XI[m]是m的奇函數(shù)

②X[m]的幅頻是m的偶函數(shù)，相位是m的奇函數(shù)。③具有半周期對(duì)稱的特點(diǎn)，即X[m]=X*[Nm]DFT當(dāng)前第27頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)3.對(duì)稱性---2）復(fù)數(shù)序列x[k]DFT當(dāng)前第28頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)若x*[k]是有限長(zhǎng)序列x[k]的共軛復(fù)數(shù)序列，并設(shè)x[k]=xR[k]+jxI[k],x*[k]=xR[k]

jxI[k]有DFT{x*[k]}=X*[Nm]且Xep[m]

=DFT{xR[k]}={X[m]+X*[Nm]}/2

Xop[m]

=DFT{jxI[k]}={X[m]X*[Nm]}/23.對(duì)稱性---2）復(fù)數(shù)序列證明：DFT當(dāng)前第29頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)循環(huán)卷積DFT當(dāng)前第30頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)4.循環(huán)卷積定理時(shí)域卷積定理頻域卷積定理時(shí)域的循環(huán)卷積對(duì)應(yīng)頻域的乘積時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)頻域的循環(huán)卷積5.Parseval定理DFT當(dāng)前第31頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)序列DFT與z變換的關(guān)系有限長(zhǎng)序列x[k]的DFT：有限長(zhǎng)序列x[k]的z變換：DFT當(dāng)前第32頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)序列DFT與z變換的關(guān)系：x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔抽樣DFT當(dāng)前第33頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積利用DFT計(jì)算序列線性卷積h(n)x(n)y(n)如果序列x(n)的長(zhǎng)度為N1、序列h(n)的長(zhǎng)度為N2，那么線性卷積y(n)也是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，且其長(zhǎng)度為N1+N21。每個(gè)x(n)的樣值都必須與每個(gè)h(n)的樣值相乘，需N1N2次乘法運(yùn)算，在N1=

N2=

N時(shí)，需N2次乘法運(yùn)算。能否用圓周卷積代替線性卷積??將進(jìn)行卷積的兩序列長(zhǎng)度均加長(zhǎng)至N

N1+

N21，然后再進(jìn)行圓卷積，則其圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。DFT當(dāng)前第34頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)序列線性卷積DFT當(dāng)前第35頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)序列線性卷積能否用圓周卷積代替線性卷積??序列圓周卷積DFT當(dāng)前第36頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT當(dāng)前第37頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟若x[k]的長(zhǎng)度為N，h[k]的長(zhǎng)度為M，則L=N+M-1點(diǎn)循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。序列補(bǔ)零加長(zhǎng)至Lx[k]N點(diǎn)L點(diǎn)DFTX[k]L

N

+

M

1序列補(bǔ)零加長(zhǎng)至Lh[k]M點(diǎn)L點(diǎn)DFTH[k]IFFTy[k]相乘直接線卷積：N1N2次乘運(yùn)算，N1

N2=

N時(shí)，需N2乘。利用圓卷積：兩次FFT，一次IFFTDFT當(dāng)前第38頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)在一般的數(shù)字濾波器中，由于h(k)或H(m)是預(yù)先設(shè)計(jì)好的，已置于存儲(chǔ)器中，故實(shí)際只需二次FFT的運(yùn)算量。假定N

=

M=

L，補(bǔ)零后長(zhǎng)度N

+

M

12L，需要2(L

log22L)次乘。此外完成X(k)與H(k)兩序列相乘，全部復(fù)運(yùn)算次數(shù)為2(L

log22L)+2L=2L(1+

log22L)比如L=210=1024L=26=64直接線卷積：10485766464=4096利用圓卷積：24576896

顯然，隨L，利用圓卷積比L2顯著減小，所以采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運(yùn)算。利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟DFT當(dāng)前第39頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用DFT計(jì)算序列線性卷積的步驟兩序列長(zhǎng)度接近或相等的情況下，采用圓卷積的方案可以加快完成卷積運(yùn)算。如果其中一個(gè)序列較短，而另一序列很長(zhǎng)，圓卷積方案的相對(duì)運(yùn)算量可能減小不多，甚至增多。這時(shí)，可采用分段卷積（分段過(guò)濾）的方法。其基本原理是：將較長(zhǎng)的一個(gè)序列，比如x[n]分成許多小段，每小段長(zhǎng)度都與h[n]接近，將x[n]的每個(gè)小段分別與h[n]作卷積，最后取和。這時(shí)，仍有可能發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。此方案的具體實(shí)現(xiàn)不是唯一的。DFT當(dāng)前第40頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積直接利用DFT計(jì)算的缺點(diǎn)：(1)信號(hào)要全部輸入后才能進(jìn)行計(jì)算，延遲太多。(2)內(nèi)存要求大。(3)算法效率不高。解決問(wèn)題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法。DFT當(dāng)前第41頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長(zhǎng)序列x[k]分為若干段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的序列長(zhǎng)度、起止點(diǎn)？？？DFT當(dāng)前第42頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的長(zhǎng)度及起止點(diǎn)：y1[k-L]的長(zhǎng)度及起止點(diǎn)：注意：序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點(diǎn)數(shù)：L+M-2-L+1=M-1依次將相鄰兩段的M-1個(gè)重疊點(diǎn)相加？？？，即得到最終的線性卷積結(jié)果。DFT當(dāng)前第43頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT當(dāng)前第44頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)2.重疊保留法（overlapsave）長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積方法：

(1)將x[k]長(zhǎng)序列分段，每段長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

(2)各段序列xn[k]與

M點(diǎn)短序列h[k]循環(huán)卷積。

(3)從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。因yn[k]=xn[k]h[k]前M-1個(gè)點(diǎn)不是線性卷積的點(diǎn)，故分段時(shí)，每段與其前一段有M-1個(gè)點(diǎn)重疊。第一段前需補(bǔ)M-1個(gè)零DFT當(dāng)前第45頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)2.重疊保留法（overlapsave）長(zhǎng)序列和短序列的線性卷積記：yn[k]=xn[k]Lh[k]01-Lk0k1-LM-1M-1DFT當(dāng)前第46頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)DFT當(dāng)前第47頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。解法一：使用重疊相加法---時(shí)域序列按L個(gè)點(diǎn)連續(xù)分段、計(jì)算L+M-1點(diǎn)圓周卷積（或計(jì)算L、M個(gè)點(diǎn)線性卷積）、前一個(gè)分段卷積結(jié)果的后M-1個(gè)點(diǎn)的序列值與后一個(gè)分段卷積結(jié)果的前M-1個(gè)點(diǎn)的序列值對(duì)應(yīng)相加，構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。解法二：使用重疊保留法---時(shí)域序列以前后兩段重疊M-1個(gè)點(diǎn)的形式按L個(gè)點(diǎn)分段、計(jì)算L點(diǎn)圓周卷積、保留每個(gè)分段卷積結(jié)果的后L-(M-1)個(gè)點(diǎn)的序列值，由他們按順序構(gòu)成要求的卷積結(jié)果。DFT當(dāng)前第48頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。1）重疊相加法DFT當(dāng)前第49頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例:已知序列x[k]=k+2,0k12,h[k]={1,2,1}，試分別利用重疊相加法和重疊保留法計(jì)算線性卷積,取L=5。2）重疊保留法DFT當(dāng)前第50頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用DFT分析信號(hào)頻譜問(wèn)題的提出四種信號(hào)頻譜之間的關(guān)系利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)頻譜混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象DFT參數(shù)選取DFT當(dāng)前第51頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)頻譜之間的關(guān)系：公式？利用DFT分析信號(hào)頻譜DFT當(dāng)前第52頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)四種信號(hào)的時(shí)域與頻域?qū)?yīng)關(guān)系DFT當(dāng)前第53頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜假設(shè)連續(xù)信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限，頻帶有限離散化抽樣N點(diǎn)DFTDFT當(dāng)前第54頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)例：已知語(yǔ)音信號(hào)x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz,用fsam=8kHz對(duì)x(t)進(jìn)行抽樣。如對(duì)抽樣信號(hào)做N=1600點(diǎn)的DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200點(diǎn)所分別對(duì)應(yīng)原連續(xù)信號(hào)的連續(xù)頻譜點(diǎn)f1

和f2(kHz)。

解：DFT當(dāng)前第55頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fs=16Hz,N=256t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x);DFT當(dāng)前第56頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)N=100;fs=100;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT當(dāng)前第57頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)N=100;fs=16;t=(0:N-1)/fs;x=exp(-t)/fs;X=fft(x);subplot(121);stem(t*fs,abs(X));gridw=-50:0.01:50;Xjw=1./(1+j*w);subplot(122);plot(w,abs(Xjw));gridholdonXX1=X(1:50);XX2=X(51:100);XX=[XX2XX1];stem(-50:49,abs(XX));gridDFT當(dāng)前第58頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)討論1：x(t)無(wú)限長(zhǎng)，其頻帶有限加窗抽樣DFT利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜DFT當(dāng)前第59頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)討論2：x(t)有限長(zhǎng)，其頻帶無(wú)限利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜抽樣DFTDFT當(dāng)前第60頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)討論3：x(t)無(wú)限長(zhǎng)，其頻帶無(wú)限利用DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)的頻譜出現(xiàn)三種現(xiàn)象：混疊(抽樣頻率)、泄漏(加窗截?cái)?、柵欄(離散頻率點(diǎn))抽樣DFT加窗DFT當(dāng)前第61頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象(1)混疊現(xiàn)象DFT當(dāng)前第62頁(yè)\共有67頁(yè)\編于星期五\11點(diǎn)f1=50.0;w1=2*pi*f1;fs=2000;t=-10:1/fs:10;x=-cos(w1*t);forn=1:19x=x-cos(n*w1*t)/n;endsubplot(311);plot(t,x);N1=400;x1=x(1:N1);X1=fft(x1,N1);subplot(312);stem((0:N1-1),ab