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演示文稿單純矩陣的譜分解當前第1頁\共有24頁\編于星期四\8點（優(yōu)選）單純矩陣的譜分解當前第2頁\共有24頁\編于星期四\8點

矩陣的分解第四章當前第3頁\共有24頁\編于星期四\8點

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設是一個階可對角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:當前第4頁\共有24頁\編于星期四\8點分析:設是的代數(shù)重復度則:當前第5頁\共有24頁\編于星期四\8點證明(1)

因為所以:證明(2)當前第6頁\共有24頁\編于星期四\8點(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設A有譜分解和當前第7頁\共有24頁\編于星期四\8點則由(3)知:由于,所以:同理可得:因為因為所以,唯一性得證當前第8頁\共有24頁\編于星期四\8點

可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出當前第9頁\共有24頁\編于星期四\8點例1：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量:當前第10頁\共有24頁\編于星期四\8點于是當前第11頁\共有24頁\編于星期四\8點取令那么其譜分解表達式為當前第12頁\共有24頁\編于星期四\8點正規(guī)陣的譜分解:設為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對應的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達式。當前第13頁\共有24頁\編于星期四\8點

設正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數(shù)重數(shù)為，所對應的個兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達式又可以寫成其中，并且顯然有:當前第14頁\共有24頁\編于星期四\8點（6）滿足上述性質的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設是一個階可對角化的矩陣，譜分解為:,若:則有當前第15頁\共有24頁\編于星期四\8點解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。從而的特征值為當前第16頁\共有24頁\編于星期四\8點當時，求得三個線性無關的特征向量為

當時，求得一個線性無關的特征向量為將正交化與單位化可得當前第17頁\共有24頁\編于星期四\8點將單位化可得：當前第18頁\共有24頁\編于星期四\8點于是有當前第19頁\共有24頁\編于星期四\8點這樣可得其譜分解表達式為當前第20頁\共有24頁\編于星期四\8點解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達式。練習從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關的特征向量:當前第21頁\共有24頁\編于星期四

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