2023屆高考前迅速提分復(fù)習(xí)專(zhuān)題2-2 函數(shù)與方程思想中的九種題型（導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式、立體與解析幾何、計(jì)數(shù)原理與統(tǒng)計(jì)概率） （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專(zhuān)用））題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1．（2022秋·上海黃浦·高三格致中學(xué)校考階段練習(xí)）定義可導(dǎo)函數(shù)在x處的彈性函數(shù)為，其中為的導(dǎo)函數(shù)．在區(qū)間D上，若函數(shù)的彈性函數(shù)值大于1，則稱(chēng)在區(qū)間D上具有彈性，相應(yīng)的區(qū)間D也稱(chēng)作的彈性區(qū)間．（1）若，求的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)；（2）對(duì)于函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（?。┊?dāng)時(shí)，求的彈性區(qū)間D；（ⅱ）若在（i）中的區(qū)間D上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1），；（2）（?。?，（ⅱ）.【分析】（1）由，可得，根據(jù)題設(shè)條件，即可求得的彈性函數(shù)及彈性零點(diǎn)；（2）（?。┖瘮?shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)是彈性函數(shù)，得出不等式組，進(jìn)而求得函數(shù)的彈性區(qū)間；（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，則，令，解得，所以彈性函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）（?。┊?dāng)時(shí)，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋瘮?shù)是彈性函數(shù)，此不等式等價(jià)于下面兩個(gè)不等式組：（Ⅰ）或（Ⅱ），因?yàn)棰賹?duì)應(yīng)的函數(shù)就是，由，所以在定義域上單調(diào)遞增，又由，所以①的解為；由可得，且在上恒為正，則在上單調(diào)遞增，所以，故②在上恒成立，于是不等式組（Ⅰ）的解為，同①的解法，求得③的解為；因?yàn)闀r(shí)，④，所以不成立，所以不等式（Ⅱ）無(wú)實(shí)數(shù)解，綜上，函數(shù)的彈性區(qū)間.（ⅱ）由在上恒成立，可得在上恒成立，設(shè)，則，而，由（?。┛芍谏虾銥檎?，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的彈性函數(shù)及彈性函數(shù)的零點(diǎn)的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或解不等式問(wèn)題，通常首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，試題綜合性強(qiáng)，屬于難題．題型二：三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2022·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知銳角的面積為，，，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題先建立方程，再求，最后求角的大小即可.【詳解】解：因?yàn)殇J角的面積為，，，所以，即，解得：，由因?yàn)榻鞘卿J角，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，是基礎(chǔ)題.2．（2022春·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中、、、為已知實(shí)常數(shù)，，有下列四個(gè)命題：（1）若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；（2）若，則函數(shù)為奇函數(shù)；（3）若，則函數(shù)為偶函數(shù)；（4）當(dāng)時(shí)，若，則（）；則上述命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)表達(dá)式.對(duì)于命題（1），將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出（1）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（2）選項(xiàng)，將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為奇函數(shù)，由此判斷出（2）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（3）選項(xiàng)，將化簡(jiǎn)得到的表達(dá)式代入上述表達(dá)式，可判斷出為偶函數(shù)，由此判斷出（3）選項(xiàng)的真假；對(duì)于命題（4）選項(xiàng)，根據(jù)、，求得的零點(diǎn)的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出（4）選項(xiàng)的真假.【詳解】不妨設(shè)．為已知實(shí)常數(shù).若，則得；若，則得．于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即命題（1）是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為奇函數(shù)，即命題（2）是真命題；當(dāng)時(shí)，，它為偶函數(shù)，即命題（3）是真命題；當(dāng)時(shí)，令，則，上述方程中，若，則，這與矛盾，所以．將該方程的兩邊同除以得，令（），則，解得（）．不妨取，（且），則，即（），所以命題（4）是假命題．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查兩角和差公式，三角函數(shù)零點(diǎn)，三角函數(shù)性質(zhì)，重點(diǎn)考查讀題，理解題和推理變形的能力，屬于中檔題型.二、填空題3．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎刃蔚膱A心角大小為，半徑為2，則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)__________.【答案】【分析】直接根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】故答案為：4．（2022秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在中，，，則面積為_(kāi)_________.【答案】【分析】由，結(jié)合余弦定理推論可求得,進(jìn)而求得,利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值,再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】在中因?yàn)?，所以由余弦定理的推論?,因?yàn)?，所?因?yàn)?，?解得,所以的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的余弦定理和三角形的面積公式;其中余弦定理與平面向量數(shù)量積結(jié)合是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.5．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于x的方程有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若是四個(gè)根中的最大根，則____.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可得，即，從而可得四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得，代入即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，的極大值為，極小值為，作出函數(shù)當(dāng)時(shí)的圖像如圖，函數(shù)函數(shù)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)的圖像與當(dāng)時(shí)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)的圖像如圖所示，將進(jìn)行平移，可得當(dāng)時(shí)，兩圖像有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，可得，，，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像以及根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)值、特殊角的三角函數(shù)值，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.6．（2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎猰是實(shí)常數(shù)，若，則m的取值范圍是___________.【答案】【分析】由題意可轉(zhuǎn)化為有解，換元求函數(shù)的值域即可.【詳解】由可得：，若，則方程有解，令，，則，所以只需，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了含的二次函數(shù)的值域，分離參數(shù)的方法，集合的概念，屬于中檔題.7．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域是_________【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出解析式成立的條件，即可求得函數(shù)的定義域．【詳解】由題意知，，即，所以的定義域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，根據(jù)函數(shù)的解析式列出滿(mǎn)足的條件是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．三、解答題8．（2021秋·上海青浦·高三上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，，．（1）求的值；（2）若角為銳角，求的值及的面積．【答案】（1）（2），【分析】（1）結(jié)合題設(shè)條件和正弦定理，即可求解；（2）由余弦的倍角公式，求得，，再結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）在中，因?yàn)?，，由正弦定理，解得?）因?yàn)?，又，所以，．由余弦定理，得，解得或（舍），所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9．（2021春·上?！じ咭黄谀┮阎?）化簡(jiǎn)：；（2）在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c，若，，且的面積，求a、b的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)；（2）由（1）可得，再根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理可求得，解之得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，即，又，所以，因?yàn)榈拿娣e，所以，解得，又，所以，由，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，三角形的面積公式和余弦定理的運(yùn)用求解三角形，屬于中檔題.題型三：平面向量一、填空題1．（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知平面向量、滿(mǎn)足，則的取值范圍是______【答案】【分析】利用待定系數(shù)法，可得，再利用數(shù)量積運(yùn)算可得到關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)與的夾角為，且，得，故，解得，所以，為計(jì)算方便，不妨令，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，故，?故答案為：.2．（2019秋·上海徐匯·高二上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量、滿(mǎn)足，則、的夾角為_(kāi)_________.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知,,再利用平面向量的數(shù)量積的夾角公式即可求解.【詳解】由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)知,，因?yàn)椋?因?yàn)?所以,因?yàn)?，所以、的夾角為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積及其夾角公式;重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力;屬于基礎(chǔ)題.3．（2021春·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）已知內(nèi)一點(diǎn)是其外心，，且，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】【分析】如圖所示，延長(zhǎng)交于，令，由三點(diǎn)共線(xiàn)，得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用解三角形知識(shí)，即可得答案.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，令，∵三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴取最大值時(shí)，取最大值，∴，∵為外接圓的半徑定值，∴當(dāng)取得最小時(shí)，取最大值，此時(shí)，∴為等腰三角形，且，∴，∴∵，，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量在三角形中的運(yùn)用、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、倍角公式、解三角形，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng).題型四：數(shù)列一、單選題1．（2022·上海·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．為遞增數(shù)列B．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】C【分析】根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差即可依次判斷.【詳解】由，知，即，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，，解得，對(duì)于A，由，知為遞減數(shù)列，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，知當(dāng)或時(shí)，有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由等差數(shù)列求和公式知，即，解得，即，故C正確；對(duì)于D，由等差數(shù)列求通項(xiàng)公式知，解得，故D錯(cuò)誤；故選：C.2．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足：，且，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】D【分析】化簡(jiǎn)已知遞推關(guān)系式可得到，由此分別判斷選項(xiàng)，可知錯(cuò)誤；設(shè)，則，；采用數(shù)形結(jié)合的方式知越來(lái)越小，錯(cuò)誤；假設(shè)成立，通過(guò)化簡(jiǎn)不等式可知不等式恒成立，知正確.【詳解】，，，又，，，對(duì)于，若，則，，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，，即，，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則，考慮函數(shù)與的圖象，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且越來(lái)越小，，，錯(cuò)誤；對(duì)于，設(shè)，則，，若，則，等價(jià)于，即，即，而顯然成立，，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)遞推關(guān)系式得到數(shù)列前后項(xiàng)所滿(mǎn)足的關(guān)系，同時(shí)借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項(xiàng)的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象來(lái)進(jìn)行表現(xiàn)，屬于難題.二、填空題3．（2022·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）數(shù)列滿(mǎn)足，記，若對(duì)任意的

恒成立，則正整數(shù)的最小值為_(kāi)__________．【答案】10【分析】先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)得到數(shù)列為遞減數(shù)列，求得數(shù)列的最大項(xiàng)為，得到，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿(mǎn)足，所以，所以數(shù)列是以4為公差，以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，可得，所以，令所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，因?yàn)椋獾?，又由為正整?shù)，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的恒成立問(wèn)題的求解，其中解答中利用數(shù)列的遞推公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.4．（2020·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿(mǎn)足，則下列命題：①是等差數(shù)列；②是遞增數(shù)列；③設(shè)函數(shù)，則存在某個(gè)區(qū)間，使得在上有唯一零點(diǎn)；則其中正確的命題序號(hào)為_(kāi)_______【答案】②③【分析】對(duì)于①，將已知遞推關(guān)系式變形可證得數(shù)列為等比數(shù)列；對(duì)于②，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，可驗(yàn)證出，知數(shù)列遞增；對(duì)于③，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可確定單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于①，由得：，又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由①知：，，，是遞增數(shù)列，②正確；對(duì)于③，由②知：，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，，即，由零點(diǎn)存在定理知③正確；綜上所述：正確的命題序號(hào)為②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列與函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列為等比數(shù)列、根據(jù)遞推關(guān)系式求解數(shù)列通項(xiàng)公式和確定數(shù)列增減性、零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用等知識(shí)；解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握數(shù)列增減性和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法.5．（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，為其前項(xiàng)和，等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，設(shè)向量，則的最大值是__________【答案】【分析】由題意得，求得，可得，表示出再由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大值.【詳解】由題意構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)取得最大值，此時(shí)最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)，前n項(xiàng)和，以及向量的模的綜合運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確地運(yùn)用公式，利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.6．（2020·上海交大附中高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關(guān)于x的方程：有實(shí)數(shù)解，那么以下2021個(gè)方程，，，…，中，無(wú)實(shí)數(shù)解的方程最多有______個(gè).【答案】1010【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，設(shè)，，由一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公差為，則，，所以原方程可變?yōu)椋稍摲匠逃袑?shí)數(shù)解可得即，若要使方程無(wú)解，則要使，設(shè)，，易得為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一部分，為直線(xiàn)的一部分，又時(shí)，，所以滿(mǎn)足的的取值最多可有1010個(gè)，即無(wú)實(shí)數(shù)解的方程最多有1010個(gè).故答案為：1010.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.三、解答題7．（2019·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為且與的圖像有且僅有一個(gè)交點(diǎn).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，，求的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【分析】（1）由點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上可得的表達(dá)式，利用作差法可求得，再檢驗(yàn)時(shí)表達(dá)式是否成立，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）斜率應(yīng)為函數(shù)過(guò)點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)的值，先化簡(jiǎn)集合，可得，結(jié)合題意求得，再由不等關(guān)系求得，利用等差數(shù)列性質(zhì)可求得公差，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式【詳解】（1）由題可知，，則，由可得，，經(jīng)檢驗(yàn)符合表達(dá)式，故；（2），由題知，所以，，，由可得，當(dāng)，故，，，故，故，，【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與數(shù)列的轉(zhuǎn)化，由的表達(dá)式求，集合的交集運(yùn)算，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，綜合性強(qiáng)，但難度不大，屬于中檔題8．（2020·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為等差數(shù)列，其中奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和大15，且，求.【答案】280【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得（1），（2），解方程即得，再求數(shù)列的和得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槠鏀?shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和大15，所以（1）因?yàn)椋?/p>

（2）解方程（1）（2）得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的基本量的計(jì)算，考查等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9．（2021·上海師大附中高三期中）有下列三個(gè)條件：①數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，②是公差為1的等差數(shù)列，③，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題中“___________”處，使問(wèn)題完整，并加以解答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，對(duì)任意的，都有___________.已知數(shù)列滿(mǎn)足，是否存在，使得對(duì)任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【分析】根據(jù)等差?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列單調(diào)性來(lái)找到數(shù)列的最大項(xiàng)，題干中有3個(gè)條件，選取一個(gè)進(jìn)行分析即可.【詳解】記，從而有().選擇①，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以，?所以，所以.由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得對(duì)任意的，都有.選擇②，方法一：是公差為1的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，上式成立，所以.所以，從而.由，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得對(duì)任意的，都有.方法二：利用“夾逼法”，即利用來(lái)求解.，由()，得，解得.選擇③，方法一：，則，從而，即.又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.所以，從而，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故不存在，使得對(duì)任意的，都有.方法二：利用求解.，，則，因?yàn)?，所以不存在，使得?duì)任意的，都有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題屬于開(kāi)放性試題，選擇不同的條件，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)及單調(diào)性得到的結(jié)論不同，關(guān)鍵點(diǎn)即復(fù)合數(shù)列單調(diào)性的判斷.10．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試）對(duì)于有限數(shù)列{an}，n≤N，N≥3，N∈N*，定義：對(duì)于任意的k≤N，k∈N*，有(1)S*(k)＝|a1|+|a2|+|a3|+?+|ak|；(2)對(duì)于，記L(k)＝|a1﹣c|+|a2﹣c|+|a3﹣c|+?+|ak﹣c|.對(duì)于k∈N*，若存在非零常數(shù)c，使得L(k)＝S*(k)，則稱(chēng)常數(shù)c為數(shù)列{an}的k階ω系數(shù).(i)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，計(jì)算S*(4)，并判斷2是否為數(shù)列{an}的4階ω系數(shù)；(ii)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n﹣39，且數(shù)列{an}的m階ω系數(shù)為3，求m的值；(iii)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，滿(mǎn)足﹣1，2均為數(shù)列{an}的m階ω系數(shù)，且S*(m)＝507，求m的最大值.【答案】(i)30，2是數(shù)列{an}的4階ω系數(shù)；(ii)26；(iii)26.【分析】(i)結(jié)合已知條件，利用等比數(shù)列求和運(yùn)算即可；(ii)利用等差數(shù)列求和方法分別求出和，結(jié)合已知條件運(yùn)算即可；(iii)結(jié)合已知條件，構(gòu)造新函數(shù)，并求出函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得到的最大值.【詳解】(i)因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所?是數(shù)列的4階ω系數(shù)；(ii)因?yàn)閿?shù)列的階系數(shù)為3，所以當(dāng)時(shí)，存在，時(shí)成立，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，由an＝3n﹣39可得，，令，則，故設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則，令，則，故當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，由，得，解得；(iii)由題意可知，，設(shè)數(shù)列公差為，構(gòu)造函數(shù)，故，同理，，即，，為的三個(gè)零點(diǎn)，由函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可知為偶數(shù)，且滿(mǎn)足，解得，從而，當(dāng)數(shù)列，且，可知當(dāng)時(shí)命題成立，即的最大值為26.11．（2021·上海普陀·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，均有是常數(shù)且成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”，已知的首項(xiàng)．(1)若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，若不等式對(duì)一切，恒成立？求數(shù)列中的所有可能的值；(3)是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及對(duì)應(yīng)的的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，，，，(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得到，可得，兩式相減得，結(jié)合，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.（2）由題意得到，則，兩式相減得，進(jìn)而得到，根據(jù)，求得，即可求解（3）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，得到，則，利用兩式相減得到，同理得到，得到對(duì)任意恒成立，結(jié)合，得到矛盾，即可求解.(1)解：數(shù)列為“數(shù)列”，則，可得，兩式相減得，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以對(duì)任意的恒成立，即（常數(shù)），故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．(2)解：數(shù)列為“數(shù)列”，則，則，兩式相減得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，則，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，得，所以，且．解得，，，，?3)解：假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則，故，兩式相減得，故有同理由是“數(shù)列”得，所以對(duì)任意恒成立．所以，即，又，即，兩者矛盾，故不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”.12．（2022·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿(mǎn)足，其中.(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求使不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立的最大實(shí)數(shù)的值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，證明等于一個(gè)定值，即可得證，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，求出右邊函數(shù)的最小值，即可得出答案；（3）要證，只需證，利用，即可得證.(1)解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，則有，，所以是以1為公差2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，是以，是以；(2)解：，則，即為，即為對(duì)于任意的正整數(shù)都成立，令，則，故，是以單調(diào)遞增，所以，所以，所以的最大值為；(3)證明：要證，只需證，因?yàn)?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了利用與的關(guān)系及構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查了數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題及數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，還考查了組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)據(jù)處理能力及邏輯推理能力，綜合性比較強(qiáng)，難度較大.題型五：不等式一、填空題1．（2022秋·上海奉賢·高一校考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根為，則=___________.【答案】19【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】一元二次方程的兩根為，，所以有，因此，故答案為：2．（2020·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）已知方程在區(qū)間中有且只有一解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.【答案】或【分析】設(shè)，建立不等式組或，可得答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)榉匠淘趦?nèi)恰有一解，則需或，解得或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的分布，常常從相應(yīng)的二次函數(shù)中的特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)、對(duì)稱(chēng)軸、根的判別式等方面建立不等式組，屬于中檔題.二、解答題3．（2021秋·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習(xí)）（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）由二次不等式的解集，利用韋達(dá)定理求解系數(shù)；（2）分類(lèi)討論二次不等式的解.【詳解】（1）由題意得的兩根為和1，所以，解得；（2）由得，即，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.4．（2020·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）求實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)根.（1）分別在區(qū)間（1，2）和（3，4）內(nèi)；（2）絕對(duì)值小于1.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)的函數(shù)值的正負(fù)得出關(guān)于的不等式組，可得出實(shí)數(shù)的范圍.（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸需所在的范圍，最小值、的正負(fù)得出關(guān)于的不等式組，可得出實(shí)數(shù)的范圍.【詳解】解：設(shè).（1）由題意，得所以，當(dāng)時(shí)，原方程兩實(shí)根分別在區(qū)間（1，2）和（3，4）內(nèi)；（2）由題意，兩個(gè)實(shí)根的絕對(duì)值小于1，即兩個(gè)實(shí)根均在區(qū)間內(nèi).因而有所以，當(dāng)時(shí)，原方程的兩個(gè)實(shí)根的絕對(duì)值小于1.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的分布，常常從二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、根的判別式、特殊點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)等方面考慮，屬于中檔題.5．（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）自2017年起，上海市開(kāi)展中小河道綜合整治，全面推進(jìn)“人水相依，延續(xù)風(fēng)貌，豐富設(shè)施，精彩活動(dòng)”的整治目標(biāo)．某科學(xué)研究所針對(duì)河道整治問(wèn)題研發(fā)了一種生物復(fù)合劑．這種生物復(fù)合劑入水后每1個(gè)單位的活性隨時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的函數(shù)為，已知當(dāng)時(shí)，的值為28，且只有在活性不低于3.5時(shí)才能產(chǎn)生有效作用．(1)試計(jì)算每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后產(chǎn)生有效作用的時(shí)間；（結(jié)果精確到小時(shí)）(2)由于環(huán)境影響，每1個(gè)單位生物復(fù)合劑入水后會(huì)產(chǎn)生損耗，設(shè)損耗剩余量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為，記為每1個(gè)單位生物復(fù)合劑的實(shí)際活性，求出的最大值．（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)小時(shí)(2)6.5【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；（2）當(dāng)時(shí)，令，，再令，面積由基本不等式求得最值；當(dāng)時(shí)，，利用單調(diào)性可得的最大值，再比較可得答案．【詳解】(1)由于，則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即產(chǎn)生有效作用的時(shí)間段為，故產(chǎn)生有效作用的時(shí)間為小時(shí)．(2)當(dāng)時(shí)，令，則，同時(shí)，再令，則，面積，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)在是單調(diào)遞減的，則最大值在時(shí)取到，，綜上所述，在上的最大值為6.5．6．（2022春·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)最大值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性代入表達(dá)式即可求解；（2）函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)為方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用分離參數(shù)即可求解；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)最值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，即，即，即，；當(dāng)時(shí)，的奇函數(shù)，滿(mǎn)足條件．當(dāng)時(shí)，不成立，故．（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由解得，函?shù)存在零點(diǎn)，即有解，即有解，因?yàn)?，所以或，即或，即?shí)數(shù)的取值范圍是或.（3）若不等式在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)最大值是.題型六:空間向量與立體幾何1．（2023·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，是空間兩兩垂直的單位向量，，且，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)，，,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，進(jìn)而求出，借助向量模的運(yùn)算及，整理可得，進(jìn)而得解.【詳解】由題意可設(shè)，，,由，得，，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.求向量的模的方法：（1）利用坐標(biāo)進(jìn)行求解，，則；（2）利用性質(zhì)進(jìn)行求解，，結(jié)合向量數(shù)量積進(jìn)行求解.題型七：解析幾何一、單選題1．（2021·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，、是拋物線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)，則下列條件中與“、、三點(diǎn)共線(xiàn)”等價(jià)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將韋達(dá)定理逐一代入各選項(xiàng)中的等式，求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若、、三點(diǎn)共線(xiàn)，則.對(duì)于A選項(xiàng)，，解得；對(duì)于B選項(xiàng)，，解得；對(duì)于C選項(xiàng)，，整理得，即，解得；對(duì)于D選項(xiàng)，，整理得，解得或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查焦點(diǎn)弦性質(zhì)相關(guān)的判斷，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.二、填空題2．（2020·上海靜安·高三階段練習(xí)）一個(gè)水平放置的等軸雙曲線(xiàn)型的拱橋橋洞如圖所示，已知當(dāng)前拱橋的最高點(diǎn)離水面5米時(shí)，量得水面寬度米，則當(dāng)水面升高1米后，水面寬度為_(kāi)________.米(精確到0.1米)【答案】26.5【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，由點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，可求得，再代入點(diǎn)可求得水面的寬.【詳解】以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為y軸，雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等軸雙曲線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，所以解得，所以雙曲線(xiàn)的方程為，點(diǎn)，當(dāng)水面上升1米后，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入到雙曲線(xiàn)方程中得，所以水面寬度為，故答案為：26.5.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵在于建立合適的平面坐標(biāo)系，設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程，已知的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)求解，屬于中檔題.3．（2022·上海寶山·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)分別切圓于兩點(diǎn)，則線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可知，將長(zhǎng)表示為關(guān)于的函數(shù)，求得函數(shù)值域即為所求范圍.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，設(shè)，則，為圓的切線(xiàn)，，，，是的垂直平分線(xiàn)，，，，，即線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到圓的切線(xiàn)的性質(zhì)；解題關(guān)鍵是能夠把所求線(xiàn)段長(zhǎng)表示為關(guān)于圓心與直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用函數(shù)求值域的方法求得結(jié)果.三、解答題4．（2016·上?！じ呷A段練習(xí)）已知橢圓；（1）若該橢圓的焦點(diǎn)為?，點(diǎn)是該橢圓上一點(diǎn)，且為直角，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若橢圓方程同時(shí)滿(mǎn)足條件，則由此能否確定關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式?若能，請(qǐng)寫(xiě)出的解析式，并寫(xiě)出該函數(shù)的定義域?值域?奇偶性?單調(diào)性，只需寫(xiě)出結(jié)論；若不能，請(qǐng)寫(xiě)出理由.【答案】（1），，，（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，由為直角，可得，與聯(lián)立解得，即得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）由題得，再寫(xiě)出函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性得解.【詳解】（1）橢圓，，設(shè)，為直角，，，，即，與聯(lián)立解得．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，.（2）能確定關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.由