24章圓知識點課件

圓復習課知識體系圓基本性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系概念對稱性垂徑定理圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理圓周角與圓心角的關(guān)系切線的性質(zhì)切線的判定切線的作圖弧長、扇形面積和圓錐的側(cè)面積相關(guān)計算正多邊形和圓位置分類性質(zhì)關(guān)系定理有關(guān)計算切線長定理判定.OA在一個平面內(nèi),線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,另一個端點A所形成的圖形叫做圓．圓的定義一:圓心半徑r以點O為圓心的圓記作:⊙O讀作:圓O圓的有關(guān)概念:動態(tài):描述性定義圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小圓是指“圓周”，是曲線，而不是“圓面”。圓的定義:圓的定義二:到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形叫做圓。O·ABCDErrrrr靜態(tài):集合的觀點的定義(1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑r);(2)到定點的距離都等于定長的點都在同一個圓上.圓具有的特征:(純粹性)(完備性)戰(zhàn)國時的《墨經(jīng)》就有“圓，一中同長也”的記載。它的意思是圓上各點到圓心的距離都等于半徑.OABC弦連接圓上任意兩點的線段。直徑經(jīng)過圓心的弦。弦直徑注意:凡直徑都是弦,是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.圓中有關(guān)概念：圓弧:連接圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.以A、C為端點的弧記作AC

，讀作：“圓弧AC”或“弧AC”。半圓:圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧,每一條弧叫做半圓.圓中有關(guān)概念：·COAB小于半圓的?。ㄈ鐖D中的）叫做劣??；⌒AC大于半圓的?。ㄓ萌齻€字母表示，如圖中的）叫做優(yōu)弧.ABC⌒劣弧與優(yōu)?。夯?yōu)弧劣弧半圓⌒ACABC⌒半圓AB等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。等圓：能夠重合的兩個圓是等圓。容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等。等圓與等弧、同心圓：同心圓：在同一平面內(nèi),圓心相同半徑不同的圓叫同心圓注意:長度相等的弧不一定是等弧同圓：是指在同一個圓中。一個圓2個或2個以上同?。菏侵竿粋€圓中的同一條弧?？梢栽谕粋€圓中，也可以在不同的圓中?！馩圓的對稱性①圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條直徑所在的直線。它有無數(shù)條對稱軸。②旋轉(zhuǎn)不變性：將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與之重合（故必是中心對稱圖形，對稱中心是圓心）③同圓或等圓的半徑相等.垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理：③AM=BM②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒①直線CD過圓心O⑤AC=BC⌒⌒·ABCDOM·ABO弓形:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形弦AB把圓分成兩部分,這兩部分都是弓形.⌒AB弓形·M⌒AMB弓形弓形的高:弧的中點到弦的距離,也叫弓形高,用小寫字母h表示CDh三種弓形:弓形·ABCO弦心距:圓心到弦的距離叫做弦心距.如圖:OC⊥AB,垂足為C則線段OC的長度為弦心距弦心距用小寫字母d表示d·ABOdhr(1)已知a、d，求r.C在Rt△AOC中,(2)已知a、h，求r在Rt△AOC中,弦長a，弦心距d，半徑r，以及弓形高h之間的關(guān)系直接求解解方程求解D③AM=BM(AB不是直徑)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

垂徑定理的推論（1）：②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒⑤AC=BC⌒⌒①直線CD過圓心O·ABCDOM平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。垂徑定理的推論(2)：③AM=BM②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒①直線CD過圓心O⑤AC=BC⌒⌒·ABCDOM弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論(3)：③AM=BM②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒①直線CD過圓心O⑤AC=BC⌒⌒·ABCDOM以上三個推論可概括為：①經(jīng)過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的劣弧⑤平分弦所對的優(yōu)弧一條直線，如果具有：這五個性質(zhì)中的任何兩個性質(zhì)，那么這條直線就具有其余三個性質(zhì)。（具備性質(zhì)①③時，所說的弦不能為直徑。圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理的推論∵AB∥CD∴AC=BD⌒⌒·ABCDO·

圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角.OBA①頂點是圓心②兩條邊都與圓周相交圓心角在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。圓心角定理在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．弧、弦與圓心角的關(guān)系定理在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦兩條弦的弦心距中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．補充：總結(jié)歸納幾何語言:AB=⌒⌒AB=⌒⌒AB=⌒⌒oABC頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角的定義：圓內(nèi)接多邊形：

如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形．ABDC多邊形的外接圓

這個圓叫做這個多邊形的外接圓.同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。

圓周角的定理ABOC1C2C3推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。圓周角的推論推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：圓內(nèi)接四邊形對角互補。一個外角等于它的內(nèi)對角。圓周角的推論推論4：如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。ABDCE你能設(shè)法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？DABCOOO·方法一方法二方法三方法四AB動手操作：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角。CODBAEr設(shè)⊙O半徑為r,點P到圓心O的距離為d·POPPd>rd<rd=r點在圓外點在圓內(nèi)點在圓上ddd點與圓的位置關(guān)系等價于點與圓的位置關(guān)系

問題1：如圖，作平面上已知點A的圓，這樣的圓能作出多少個？探究：A無數(shù)個這些圓的圓心在A點以外的平面上

問題2：如圖，作經(jīng)過已知點A,B的圓，能作出多少個？它們的圓心分布有什么特點？A這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上B無數(shù)個

問題3：經(jīng)過平面上三點能不能作圓?ABCABC(1)三點共線(2)三點不共線ABCO不在同一直線上的三個點確定一個圓

問題3：經(jīng)過不在同一直線上的三點作一個圓，如何確定這個圓的圓心？ABCO經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做這個三角形的外心，外心是三角形三邊垂直平分線的交點。ABCO外心到三角形三個頂點的距離相等。ABCO

操作：由圖可知，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，那鈍角三角形、直角三角形的外心呢？畫圖說明。ABCOABCO

歸納：銳角三角形的外心在三角形內(nèi);直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外。先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立，是錯誤的，即所求證的命題正確.在證明一個命題時，人們有時反證法定義:這種證明方法叫做反證法.一、提出假設(shè)二、推理論證三、得出矛盾四、結(jié)論成立以假設(shè)為條件，結(jié)合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結(jié)論這與“......”相矛盾所以假設(shè)不成立，所求證的命題成立假設(shè)待證命題不成立，或是命題的反面成立。反證法的步驟:相離相交相切切點切線割線交點交點如圖（3），直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線，公共點叫做直線與圓的交點。如圖（2），直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。如圖（1），直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離。直線l與⊙O只有一個公共點直線l與⊙O相切．直線l與⊙O有兩個公共點直線l與⊙O相交。直線l與⊙O沒有公共點直線l與⊙O相離．1、從公共點情況看直線和圓的位置關(guān)系---定義法直線和圓的位置關(guān)系公共點判定法d>rd=r

d<rd表示圓心O到直線l的距離，r表示⊙O的半徑.rdlOlrdOArdOAlB直線l與⊙O相離直線l與⊙O相切直線l與⊙O相交點線距離法2、從直線與圓心的距離和半徑的大小情況看直線和圓的位置關(guān)系歸納直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形

公共點個數(shù)

公共點名稱

直線名稱圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系2個交點割線1個切點切線d<rd=rd>r沒有例題講解CBADabch在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的判定定理：條件：(1)經(jīng)過圓上的一點；(2)垂直于過該點的半徑；新知講解幾何語言：1、和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；2、和圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線；3、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的判定：切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑?！逜B是⊙O的切線∴OC⊥AB新知講解在運用切線的性質(zhì)時，連結(jié)“過切點的半徑”是常作的輔助線。如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?ID（1）與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.（2）內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB的長叫做點P到⊙O的切線長切線長從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。∵PA、PB是⊙O的切線∴PA=PB，PO平分∠APB切線長定理：切線長定理例題講解：解:設(shè)⊙O的半徑為r,連結(jié)OA,OB,OC,OD,OE,OF∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB∴OD=OE=OF=r在Rt△ACB中EBADFCRt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求△ABC的內(nèi)切圓的半徑.·O答:△ABC內(nèi)切圓半徑為1圓和圓的位置關(guān)系1、外離4、內(nèi)切5、相交3、外切2、內(nèi)含沒有公共點相離一個公共點相切兩個公共點相交圓與圓的位置關(guān)系r1r2r2r2r2r1r2r1r1r1○1d兩圓的位置關(guān)系d與r1和r2的關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含＝>

d>r1+r2＝>d=r1+r2＝>|

r2-r1|

<d<r1+r2d○1○1＝>

d=|

r2-r1|○1＝>

d<|r2-r1|<<<<<○2認真觀察：兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:0|R―r|R+r同心圓內(nèi)含外離外切相交內(nèi)切d圓與圓相切分為外切和內(nèi)切,注意分類討論思想例題講解：已知⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為5cm．（1）若⊙O1與⊙O2外切，則O1O2等于＿＿；（2）若⊙O1與⊙O2內(nèi)切，則O1O2等于＿＿；（3）若⊙O1與⊙O2相切，則O1O2等于＿＿．如圖,建筑工地的地面上有三根外徑都是1米的水泥管兩兩相切摞在一起,求最高點到地面的距離.．O1．O3．O2APB例題講解：．O1．O3．O2APB例題講解：解:如圖所示∵⊙O1,⊙O2,⊙O3兩兩外切∴O1O2=O1O3=O2O3=1連結(jié)O1O2,O1O3,O2O3過O1作O1P⊥O2O3,垂足為P在Rt△O1PO2中一、什么叫正多邊形？探究各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。把一個圓分成n等份,順次連接各分點就可以作出這個圓的內(nèi)接正n邊形．這個圓就是這個正多邊形的外接圓．·ABCDEO任何一個正多邊形，都有一個外接圓！新知探究正多邊形的有關(guān)概念：新知講解結(jié)論在正多邊形和圓中,圓的半徑R,邊長a,邊心距r,之間的等量關(guān)系:·OEFDCABrR正六邊形的周長:正六邊形的面積:例題講解有一個亭子（如圖），它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長和面積．例題講解∵∠BOC=360°/6=60°,OB=OC∴BP=1/2BC解:連結(jié)OB,OC過O作OP⊥BC,垂足為P∴△OBC是等邊三角形∴BC=OC=4∴l(xiāng)=6BC=6×4=24在Rt△BOP中,BP=1/2BC=2（1）半徑為R的圓,周長是多少？C=2πR

（3）1°圓心角所對弧長是多少？（4）140°圓心角所對的弧長是多少？（2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的?。縩°ABO若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為，則探索研究360°1°已知圓弧的半徑為50厘米，圓心角為60°，求此圓弧的長度。=(cm)答：此圓弧的長度為cm解：例題剖析注意：題目沒有特殊要求，最后結(jié)果保留到π什么是扇形？由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形。半徑半徑圓心角圓心角弧ABOBA扇形那么：在半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的扇形面積的計算公式為

如果圓的半徑為R，則圓的面積為l°的圓心角對應的扇形面積為

°的圓心角對應的扇形面積為

探索研究可得用弧長和半徑表示扇形面積:n°lOSR比較扇形面積與弧長公式：探索研究如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是10cm，其中水面高5cm，求截面上有水部分的面積。0BACD有水部分的面積

=S扇-S△例題講解0BACD有水部分的面積

=S扇-S△例題講解解:連結(jié)OA,OB,過O作OC⊥AB,垂足為D,交⊙O于點C∴AB=2AD∵OC=10,DC=5∴OD=OC-DC=10-5=5在Rt△AOD中,OD=1/2OA∴∠OAD=30°∴∠AOD=60°∴∠AOB=120°復習部分ACBA′C′例題講解30°1解:在Rt△ABC中，∠A=30°∴AB=2BC=2，∠ABC=60°∵△A′BC′由△ABC旋轉(zhuǎn)而來∴∠A′BC′=60°∴∠ABA′=120°答：點A經(jīng)過的路線長為4/3以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐.圓錐的再認識1.圓錐是由一個底面和一個側(cè)面圍成的,它的底面是一個圓，側(cè)面是一個曲面.

2.我們把連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線。O