第二講的數(shù)值計算

第二講的數(shù)值計算第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一數(shù)值運算的功能創(chuàng)建矩陣矩陣運算多項式運算線性方程組數(shù)值統(tǒng)計線性插值函數(shù)優(yōu)化微分方程的數(shù)值解第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一一、命令行的基本操作創(chuàng)建矩陣的方法直接輸入法規(guī)則：矩陣元素必須用[]括住矩陣元素必須用逗號或空格分隔在[]內矩陣的行與行之間必須用分號分隔

第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

矩陣元素可以是任何matlab表達式，可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)，復數(shù)可用特殊函數(shù)I，j輸入

a=[123;456]x=[2pi/2;sqrt(3)3+5i]

矩陣元素第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一符號的作用逗號和分號的作用

逗號和分號可作為指令間的分隔符，matlab允許多條語句在同一行出現(xiàn)。

分號如果出現(xiàn)在指令后，屏幕上將不顯示結果。第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一注意：只要是賦過值的變量，不管是否在屏幕上顯示過，都存儲在工作空間中，以后可隨時顯示或調用。變量名盡可能不要重復，否則會覆蓋。當一個指令或矩陣太長時，可用???續(xù)行第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一冒號的作用

用于生成等間隔的向量，默認間隔為1。用于選出矩陣指定行、列及元素。循環(huán)語句第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一2.用matlab函數(shù)創(chuàng)建矩陣空陣[]—matlab允許輸入空陣，當一項操作無結果時，返回空陣。rand——

隨機矩陣eye——

單位矩陣zeros——全部元素都為0的矩陣ones——全部元素都為1的矩陣第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

還有伴隨矩陣、稀疏矩陣、魔方矩陣、對角矩陣、范德蒙等矩陣的創(chuàng)建，就不一一介紹了。注意：matlab嚴格區(qū)分大小寫字母，因此a與A是兩個不同的變量。

matlab函數(shù)名必須小寫。第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一3.矩陣的修改直接修改可用鍵找到所要修改的矩陣，用鍵移動到要修改的矩陣元素上即可修改。指令修改可以用A(,)=來修改。第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一例如a=[120;305;789]a=120305789a(3,3)=0a=120305780還可以用函數(shù)subs修改，matlab6.0還可用find函數(shù)修改。第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一把matlab工作空間中一些有用的數(shù)據(jù)長久保存下來的方法是生成mat數(shù)據(jù)文件。

save——

將工作空間中所有的變量存到matlab.mat文件中。二、數(shù)據(jù)的保存與獲取默認文件名第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一savedata——將工作空間中所有的變量存到data.mat文件中。savedataab——將工作空間中a和b變量存到data.mat文件中。

下次運行matlab時即可用load指令調用已生成的mat文件。第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一load——loaddata——loaddataab——mat文件是標準的二進制文件，還可以ASCII碼形式保存。即可恢復保存過的所有變量第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一矩陣加、減（＋,－）運算規(guī)則：相加、減的兩矩陣必須有相同的行和列兩矩陣對應元素相加減。允許參與運算的兩矩陣之一是標量。標量與矩陣的所有元素分別進行加減操作。三、矩陣運算第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一2.矩陣乘（）運算規(guī)則：A矩陣的列數(shù)必須等于B矩陣的行數(shù)標量可與任何矩陣相乘。a=[123;456;780];b=[1;2;3];c=a*bc=143223

第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一d=[-1;0;2];f=pi*df=-3.141606.2832

矩陣除的運算在線性代數(shù)中沒有，有矩陣逆的運算，在matlab中有兩種矩陣除運算第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

a^p——a自乘p次冪

方陣>1的整數(shù)3.矩陣乘方——a^n,a^p,p^a對于p的其它值,計算將涉及特征值和特征向量，如果p是矩陣，a是標量a^p使用特征值和特征向量自乘到p次冪；如a,p都是矩陣，a^p則無意義。第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2ans=303642668196102126150※當一個方陣有復數(shù)特征值或負實特征值時，非整數(shù)冪是復數(shù)陣。第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

a^0.5ans=

0.4498+0.7623i0.5526+0.2068i0.6555-0.3487i1.0185+0.0842i1.2515+0.0228i1.4844-0.0385i1.5873-0.5940i1.9503-0.1611i2.3134+0.2717i第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一inv——

矩陣求逆det——

行列式的值eig——

矩陣的特征值diag

——

對角矩陣

’

——

矩陣轉置sqrt——

矩陣開方4.矩陣的其它運算第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一5.矩陣的一些特殊操作矩陣的變維

a=[1:12];b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩陣的變向

rot90:旋轉;fliplr:上翻;flipud:下翻矩陣的抽取

diag:抽取主對角線;tril:抽取主下三角;

triu:抽取主上三角矩陣的擴展第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一關系運算關系符號意義<<=>>===~=小于小于或等于大于大于或等于等于不等于第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

數(shù)組運算指元素對元素的算術運算，與通常意義上的由符號表示的線性代數(shù)矩陣運算不同數(shù)組加減(.+,.-)a.+ba.-b5.矩陣的數(shù)組運算對應元素相加減（與矩陣加減等效）第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一2.數(shù)組乘除(，./，.\）ab——a，b兩數(shù)組必須有相同的行和列兩數(shù)組相應元素相乘。a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a.*bans=281841530497290第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一a=[123;456;789];b=[246;135;7910];a*bans=253746558510985133172第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一a./b=b.\aa.\b=b./aa./b=b.\a—

都是a的元素被b的對應元素除a.\b=b./a—

都是a的元素被b的對應元素除例:a=[123];b=[456];c1=a.\b;c2=b./ac1=4.00002.50002.0000c2=4.00002.50002.0000——

給出a,b對應元素間的商.第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一3.數(shù)組乘方(.^)—

元素對元素的冪例:a=[123];b=[456];z=a.^2z=1.004.009.00z=a.^bz=1.0032.00729.00第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一matlab語言把多項式表達成一個行向量，該向量中的元素是按多項式降冪排列的。

f(x)=anxn+an-1xn-1+……+loa0

可用行向量p=[anan-1

……a1+a0]表示poly——

產生特征多項式系數(shù)向量特征多項式一定是n+1維的特征多項式第一個元素一定是1四、多項式運算第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00p是多項式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我們可用：p1=poly2str(p,‘x’)

—

函數(shù)文件，顯示數(shù)學多項式的形式p1=x^3-6x^2-72x-27第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一2.roots——

求多項式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00r=roots(p)r=12.12-5.73——顯然r是矩陣a的特征值

-0.39第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一當然我們可用poly令其返回多項式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab規(guī)定多項式系數(shù)向量用行向量表示，一組根用列向量表示。第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一3.conv,convs多項式乘運算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+18第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一4.deconv多項式除運算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一5.多項式微分matlab提供了polyder函數(shù)多項式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b):求多項式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=4664poly2str(b,'x')ans=4x^3+6x^2+6x+4第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一五、代數(shù)方程組求解matlab中有兩種除運算左除和右除。對于方程ax+b，a為an×m矩陣，有三種情況：當n=m時，此方程成為“恰定”方程當n>m時，此方程成為“超定”方程當n<m時，此方程成為“欠定”方程

matlab定義的除運算可以很方便地解上述三種方程第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一1.恰定方程組的解方程ax+b(a為非奇異)x=a-1

b

矩陣逆兩種解:x=inv(a)b—

采用求逆運算解方程x=a\b—

采用左除運算解方程第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00

=

ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=13第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一2.超定方程組的解方程ax=b,m<n時此時不存在唯一解。方程解(a'a)x=a'bx=(a'

a)-1a'b——

求逆法

x=a\b——matlab用最小二乘法找一個準確地基本解。第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3a=[12;23;34];b=[1;2;3];

解1x=a\b

解2x=inv(a'a)a'b

x=x=1.001.0000.00

=

ax=b第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一3.欠定方程組的解

當方程數(shù)少于未知量個數(shù)時,即不定情況,有無窮多個解存在。matlab可求出兩個解：用除法求的解x是具有最多零元素的解是具有最小長度或范數(shù)的解，這個解是基于偽逆pinv求得的。第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一

x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2a=[123;234];b=[1;2];x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.17=ax=b第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一六、微分方程求解微分方程求解的仿真算法有多種，常用的有Euler（歐拉法）、RungeKutta(龍格-庫塔法。Euler法稱一步法，用于一階微分方程第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一當給定仿真步長時：所以

yn+1=yn+h·f(xn,yn)n=0,1,2…y(x0)=y0第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一RungeKutta法龍格-庫塔法：實際上取兩點斜率的平均斜率來計算的，其精度高于歐拉算法。龍格-庫塔法：ode23ode45

k1=hf(xn,yn)k2=hf(xn+h,yn+k)第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一例：x+(x2-1)x+x=0為方便令x1=x，x2=x分別對x1,x2求一階導數(shù)，整理后寫成一階微分方程組形式

x1=x2x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程······第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一建立m文件functionxdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)給定區(qū)間、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=[00.25]';[t,x]=ode23('wf',t0,tf,x0)plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一命令格式:[T,Y]=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件functiondxdt=wf(t,x)dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];求解微分方程[t,x]=ode23(@wf,[030],[00.25]);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2))第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一七、函數(shù)優(yōu)化尋優(yōu)函數(shù)：fmin——

單變量函數(shù)fmins——

多變量函數(shù)constr——

有約束條件無約束條件第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期一例1：f(x)=