第三時間序列分析

第三時間序列分析第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一二、線性差分方程差分方程的通解為：可將寫成這里這里，C

(t)是齊次方程通解解，I(t)是特解。第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一三、

齊次方程解的計算假定G1，G2，…，Gn是互不相同，則在時刻t的通解：其中Ai為常數(shù)（可由初始條件確定）。無重根考慮齊次差分方程第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一重根設有d個相等的根，可驗證通解為對一般情形，

因此，齊次方程解是由衰減指數(shù)項Gt、多項式tj、衰減正弦項Dt-ksin(2πf0t+F)，以及這些函數(shù)的組合混合生成的。齊次方程解便是第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一定義：設零均值平穩(wěn)序列

第二節(jié)格林函數(shù)(Green’sfunction)和平穩(wěn)性(Stationarity)一、格林函數(shù)(Green’sfunction)能夠表示為則稱上式為平穩(wěn)序列

的傳遞形式，式中的加權系數(shù)

稱為格林（Green）函數(shù)，其中第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一格林函數(shù)的含義：格林函數(shù)是描述系統(tǒng)記憶擾動程度的函數(shù)。（1）式可以記為其中

式（1）表明具有傳遞形式的平穩(wěn)序列可以由現(xiàn)在時刻以前的白噪聲通過系統(tǒng)“

”的作用而生成，是j個單位時間以前加入系統(tǒng)的干擾項對現(xiàn)實響應的權，亦即系統(tǒng)對的“記憶”。

第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一一、AR（1）系統(tǒng)的格林函數(shù)由AR（1）模型即：則AR(1)模型的格林函數(shù)

第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一例：下面是參數(shù)分別為0.9、0.1和-0.9的AR（1）系統(tǒng)對擾動的記憶情況

。（演示試驗）AR（n）模型，即其中：的平穩(wěn)性條件為：

的根在單位圓外（或

的根在單位圓內）。AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件：（請同學們觀察平穩(wěn)性AR(n)與非平穩(wěn)性AR(n)的區(qū)別。）第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一格林函數(shù)與AR（n）系統(tǒng)的平穩(wěn)性平穩(wěn)性的涵義就是干擾項對系統(tǒng)的影響逐漸減弱，直到消失，對于一個AR（n）系統(tǒng)，將其寫成格林函數(shù)的表示形式，如果系統(tǒng)是平穩(wěn)的，則預示隨著j→∞，擾動的權數(shù)

上面結論也可以用來求AR(n)系統(tǒng)的系數(shù)平穩(wěn)性條件。請同學們思考MA(m)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件。第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一ARMA模型格林函數(shù)的通用解法ARMA(n,m)模型且

則

令

則

化為

第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一比較等式兩邊B的同次冪的系數(shù)，可得由上式，格林函數(shù)可從開始依次遞推算出。例：求AR(2,1)系統(tǒng)的格林函數(shù)。第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一是零均值平穩(wěn)序列，如果白噪聲序列第三節(jié)逆函數(shù)和可逆性（Invertibility）能夠表示為一、逆函數(shù)的定義設則稱上式為平穩(wěn)序列

式中的加權系數(shù)稱為逆函數(shù)。

第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一ARMA（n,m）模型逆函數(shù)通用解法對于ARMA（n,m）模型的逆函數(shù)求解模型格林函數(shù)求解方法相同。令

二、ARMA模型的逆函數(shù)的逆轉形式則平穩(wěn)序列可表示為由ARMA(n,m)模型可得第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一仍由先前定義的和

，則上式可化為比較上式兩邊B的同次冪的系數(shù)，得到即可從由此開始推算出。第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

對于MA（m）模型的可逆性討論與AR（n）模型平穩(wěn)性的討論是類似的，即：MA（m）模型的可逆性條件為其特征方程的特征根滿足ARMA(n,m)系統(tǒng)格林函數(shù)與逆函數(shù)的關系在格林函數(shù)的表達式中，用代替，代替代替，，即可得到相對應的逆函數(shù)。第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一理論自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)對于ARMA系統(tǒng)來說，設序列的均值為零，則自協(xié)方差函數(shù)第四節(jié)自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)自相關函數(shù)樣本自相關函數(shù)的計算在擬合模型之前，我們所有的只是序列的一個有限樣本數(shù)據(jù)，無法求得理論自相關函數(shù)，只能求樣本的自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)。樣本自協(xié)方差有兩種形式：一、自相關函數(shù)第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一則相應的自相關函數(shù)為

在通常情況下，我們采用第一種算法。第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

1、AR(p)過程自相關函數(shù)ACF1階自回歸模型AR(1)

Xt=Xt-1+t

的k階滯后自協(xié)方差為：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關函數(shù)為

=1,2,…

由AR(1)的穩(wěn)定性知||<1，因此，k時，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinitememory）。

注意，<0時，呈振蕩衰減狀。

第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

Xt=1Xt-1+2Xt-2+t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1,2分別為２階自回歸模型AR(2)

類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：

(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關函數(shù)為：

(K=2,3,…)其中

:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+2<1知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，若為實根，則呈單調或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。

第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一一般地，p階自回歸模型AR(p)

Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+

tk期滯后協(xié)方差為:

從而有自相關函數(shù)

:

可見，無論k有多大，k的計算均與其１到p階滯后的自相關函數(shù)有關，因此呈拖尾狀。

如果AR(p)是穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。

第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|<1;

因此，當1/zi均為實數(shù)根時，k呈幾何型衰減（單調或振蕩）；當存在虛數(shù)根時，則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項，k呈正弦波衰減。事實上，自相關函數(shù)是一p階差分方程，其通解為第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一對MA(1)過程

2、MA(q)過程

可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)：

于是，MA(1)過程的自相關函數(shù)為：可見，當k>1時，k>0，即Xt與Xt-k不相關，MA(1)自相關函數(shù)是截尾的。

第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一其自協(xié)方差系數(shù)為

一般地，q階移動平均過程MA(q)

相應的自相關函數(shù)為

可見，當k>q時，Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當k>q時，k=0是MA(q)的一個特征。于是：可以根據(jù)自相關系數(shù)是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一二、偏自相關函數(shù)

自相關函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:即自相關函數(shù)中包含了這種所有的“間接”相關。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(shù)(partialautocorrelation，簡記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，…，Xt-k+1

帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項t，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數(shù)為零，記為

在AR(1)中，

同樣地，在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關系數(shù)為零。

AR(p)的一個主要特征是:k>p時，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0

即k*在p以后是截尾的。一隨機時間序列的識別原則：若Xt的偏自相關函數(shù)在p以后截尾，即k>p時，k*=0，而它的自相關函數(shù)k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一對于一個k階AR模型，有：由此得到Yule-Walker

方程，記為：已知時，由該方程組可以解出。遺憾的是，用該方程組求解時，需要知道自回歸過程的階數(shù)。因此，我們可以對連續(xù)的k值求解Yule-Walker方程。第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一對k=1，2，3，…依次求解方程，得

上述

……

序列為AR模型的偏自相關函數(shù)。第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一偏自相關性是條件相關，是在給定

的條件下，

和

的條件相關。換名話說，偏自相關函數(shù)是對

和

所解釋的相關的度量。

之間未被由最小二乘原理易得，

是作為

關于線性回歸的回歸系數(shù)。如果自回歸過程的階數(shù)為n，則對于k>n應該有kk=0。第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

MA(1)過程可以等價地寫成t關于無窮序列Xt，Xt-1，…的線性組合的形式：或（*）

(*)是一個AR()過程，它的偏自相關函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。

注意:(*)式只有當||<1時才有意義，否則意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆域。

第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一與MA(1)相仿，可以驗證MA(q)過程的偏自相關函數(shù)是非截尾但趨于零的。

MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的自相關函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（k>q）；而它的偏自相關函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動平均MA(q)序列。

同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數(shù)rk是總體自相關函數(shù)k的一個估計，由于樣本的隨機性，當k>q時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當k>q時，rk服從如下漸近正態(tài)分布:rk~N(0,1/n)式中n表示樣本容量。因此，如果計算的rk滿足：我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾。第三十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期一

ARMA(p,q)的自相關函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關函數(shù)和