2015年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

2015江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案一、填空題.已知集合A={1,2,3},B={2,45},則集合AUB中元素的個數(shù)為,.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為..設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4%(i是虛數(shù)單位)，則z的模為.ix-1While/一…EndWhilePrintW.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為. (第4題).袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為..已知向量a=(2,1),a=(1,-2),若mar+nb=(9,-8)(mneR),貝Um-n的值為..不等式22x<4的解集為.8.已知tan8.已知tana=-2,tan(a+P)=—,則tanp的值為.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個。若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底面半徑為。.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(meR)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。.數(shù)列{a}滿足a=1，且a-a=n+1(neN*)，則數(shù)列{'}的前10項和為 n 1 n+1 n an.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點(diǎn)。若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離對c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為。f0,0<x<1.已知函數(shù)f(x)=1lnxI,g(x)=\ ,則方程If(x)+g(x)1=1實(shí)根的個數(shù)[Ix2-4|-2,x>1為。, k兀 .k兀 k兀 12..設(shè)向量a=(cos—,sin—+cos—)(k=0,1,2,A,12)，則二(a-a)的值為 。k=0k6 6 6 kk+k=0.在AABC中，已知AB=2,AC=3,A=60o⑴求BC的長；(2)求sin2C的值。.如圖，在直三棱柱ABC—ABC中，已知AC1BC,BC=CC.設(shè)AB的中點(diǎn)為D,BCcBC1=E.求證：（1）DE//平面AACC11(2)Bq1AB1.(2)Bq1AB1某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公l，如圖所示，M，N為C的兩個端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到/，ll，如圖所示，M，N為C的兩個端點(diǎn)，測得點(diǎn)M到/，l的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到/，l的1212距離分別為20千米和2.5千米，以11，1之所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=-a-（其中a，b為常數(shù)）模型.x2+b（I）求a，b的值；（II）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式fG），并寫出其定義域;②當(dāng)t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度..（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓竺+4=1（〃>b>0）的離心率為士，且右焦點(diǎn)F到左a2b2 2準(zhǔn)線l的距離為3.（i）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程..已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a,bgR）。（1）試討論f（x）的單調(diào)性；（2）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍恰TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"3、..，3 、好是（f—3）Y（1,2）YqM），求c的值。20.設(shè)ai,a2,a3,a4是各項為正數(shù)且公差為d（d豐0）的等差數(shù)列（1）證明:2ai,2a2,2%,2a4依次成等比數(shù)列（2）是否存在a,d，使得a,a2,a3,a4依次成等比數(shù)列，并說明理由1 12 3 4（3）是否存在a,d及正整數(shù)n,k，使得an,an+k,an+3k,an+5k依次成等比數(shù)列，并說明理由1 12 3 4附加題21、（選擇題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A、［選修4-1：幾何證明選講］（本小題滿分10分）如圖，在AABC中，AB=AC，AABC的外接圓圓O的弦AE交BC于點(diǎn)d求證：AABD。NAEB（第2］-一1題）B、［選修4-2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）

是矩陣A是矩陣A=的屬性特征值-2的一個特征向量，矩陣A以及它的另一個特征值。C.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］已知圓C的極坐標(biāo)方程為p2+2癡sin(9--)-4=0，求圓C的半徑.4D.［選修4-5：不等式選講］解不等式x+12x+31>3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA1平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，/ABC=/BAD=-,PA=AD=2,AB=BC=12⑴求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成角最小時，求線段BQ的長(第22(第22題).已知集合X={1,2,3},Y={1,2,3,期n］(ngN*),設(shè)nSn={(a,b)Ia整除b或除a,agX,bgY}，令f(n)表示集合Sn所含元素個數(shù).(1)寫出f(6)的值；(2)當(dāng)n>6時，寫出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。

參考答案1.［- ］,［斜折】禹］冏，"當(dāng)小無在2，】：￡耦析】干均敷7= 十6十5十8—7十6j=￡..「'一】AJ解折］國為舊卜忖'=5.所厘忖=垂.廠】一I解析】柘理「共廊捶三次推環(huán)?*15=1+2-2+2=7..3章。1解新】醺盍相同的只能更兩只蓑曲技這兩用就裝也不同的假平為1喀=3」.「一】一三［解析1曲電疝=｛2科端｝, =|n5-2h), ffl-2nH(?5-8),則有2wr-n=9.3就得h因此劇一)》=—37。］--【解析】24工:4,葬RpcN,x1-x<2i 因此得臬涉｛t|—LxVl).8.【■廣［解則■#=［解則■#=疝g+=一*「皿工:由產(chǎn)51-t3n（口一的tanaJ】「【耨析】感充的圓輪與面柱的體粉之和%=125蘇M—4r亂新畫情馬推回柱的高求變設(shè)它卻的感面半桂與r,料好回鋒與新明柱的#和之癡為值=：-k3.4+次)…應(yīng)為它冷的思林稱M查,即降=琮，解得「=赤.

10， 1 ---二［解圻］國忐力QLO).整理在曼方志f:3工= 愛說］鯉過定點(diǎn)Jtfp-l);- --■--:.=」1(2-1，+(-1-0，=后因此回購標(biāo)準(zhǔn)擊曲奇行―1『十/=211.【苓能1【苓能1叱一區(qū)T (月全工"亡k'I由題.￡T,=1,時一弭=2.附一必三叱一區(qū)T (月全工"亡k'I經(jīng)檢匿》=1時電滿足度淘項-鄴經(jīng)檢匿》=1時電滿足度淘項-鄴q="，T"?neV11212.【整析］嗯系可1知，鼠由亂露一條荷現(xiàn)媒知x—.t=Q,馬墻宏的在媒I:m—>41=0手折，且渦才戰(zhàn)國甌禺啟=.」-q-=&型合因他寸出看去.劫愿pm蝌距離皮為尸劍得過戮同阪國加上d,而當(dāng)點(diǎn)F的插坐標(biāo)r蟻?zhàn)スぬ卮笥?F彎漸近紈的距圖聘朝于0,同此動點(diǎn)F主打的距國幔丈于4=上^_13.【-'】---In.Y <,r<1【相析】全樹工卜=」(工)十以(工).JHh(x)=inx+^-j3,1<r<2hhi工十一一日a>2又需考慮用士|=二1易融.$0<x￡iet+Mk］單調(diào)遞％阻堤為愜+e),鼓弄一個不便祥機(jī)玉)=1Sl<r<2flft*r(j)=i-2jr<apM㈤單注遞孤便域到ln2—Zh.lS^ln2-2<-1±所以許我一個4便將A|jcj=-1.二當(dāng)202時,網(wǎng)上)草調(diào)遽%值就%俚2—2.+到,球上.共存戒4個極.14.即乂+小血記錢利立弁如雇而一可1球上.共存戒4個極.14.即乂+小血記錢利立弁如雇而一可1己克.的_4=sin15.解析】⑴由務(wù)審定理—1劉JC■由A=4十9—223肄舟BC=JT:16.證照；(1｝由題惠知.在為民￡的中點(diǎn).XD為.叫的中點(diǎn)r因此即修￡乂因為i)i：色平面九小G仁"亡平面如l所以加二方'平血山IQ/，(2)因為掖住.如CT*1」是直三棱柱,所以比?J_平面］月二因為_"：匚平面.4#仁所以gU_L(X1一乂因為.”；_LIfC.Cf；U平面1*工；耳，“二U平面F比q修，&mcC|所以平面上々：聞「更因為鵬匚平面長二G國,所以//C.±4C.時為應(yīng)；=10,所以矩形HCX；居是正方形，肉此也卜_K/L

因為4匚，修匚仁平面瑪uf二3匚門與。=。，所以■平面同/心又因為H此仁平面?肛所以隔L4揖.17.解；⑴由題蔗用.點(diǎn)比\的坐標(biāo)分別為⑸40),(20,Z5).日.…上一一41將其-分別代人戶:號，得+廠， '1'i+h U力叱 rt|C44NJ+b4；=1001).b-0.[第17題)(2「工用。>知.t=W(5WtW&L則點(diǎn)產(chǎn)的監(jiān)際為(l/Lx- r設(shè)在點(diǎn)P處的切線/交3f軸分別于士B點(diǎn)，*r=-呼，JU則的方程為y一華=—要J—L由此裾蟲(□>.JJ(O,華).fl J t~故"②設(shè)暮⑴：八號匚期/⑴=21-蛆萼.令13)=0,解褐j=10&.當(dāng)保⑶說杳)時./U)<0.內(nèi)切是減函數(shù)：當(dāng)與門城\2用時，母卡)>0.爪H是增函數(shù)，從而，芍I=1U/時.謔數(shù)41)有極小值,也是最小值.所以目”>3=3(2此時/(Ga=75招一答：當(dāng)I二10衣時，公跪/的長度葭短.最短氏.度為15行千米18.[^^■J[])___^=1;[團(tuán)了=工一1或了=一工一1；I解圻】⑴因為禹心隼■三￡=也.，方然點(diǎn)F用比點(diǎn)跳，的距焉為Ea2解蹲C=l,摘l￡方書看一一十p=l；⑵由題意，魚線4B的鼾率不可葩為。.統(tǒng)可設(shè)立雪君春為工=切十L,轉(zhuǎn)入褶圓蘇桂得到(療一2)『十工陟—1=0誠工qEh且尾〃)■叫回=門小耳|=g在需適_2J2m2+1） 黜C扇隊至標(biāo)當(dāng)近手=七,于RC東橫堊標(biāo)為m2+2(m)3 2m +1_ Im2+2)m2+2K由CP-AS得b=-E,苒嶷|PC|二尸研上一2=Q7-甥普m-z 刊1十二由|FC|=2|dB|可杼：2jn1+fl=+j2,JlTjjp.S)](m1-3)1=8(1-jsr)弊將附一2/M=k即而2=1.5=±1所>X1L域AB的方芯i-j1-1i=-y-1PSpr-^-l=O j—1=0蝌⑴尸⑺今八Q=。，解得陽=0.4:一季'”=0時.因為尸行1=3/>0口至口）1所以疑人編在（-巴+士）上單調(diào)遞增當(dāng)廳"0時，工巨（一K. 口3十電時，把3>電卜上貶（二胃,⑴時,_/%}<0,所以函數(shù)/3在（i--）T（（）.e上單雌繼.在{-手⑼匕單曲遞減；、明nc0時，工e?—上。）5-個.+如時,/'■）>0,jg（l>.- <0.所以函數(shù)心）在—L（-當(dāng)，+到上弟幅填雙色-爭上單謝遞減一,由⑴知，函如⑺的兩個極值為正昨隊式-郛=崗包，則函數(shù)加〉有三4零點(diǎn)等價干的）-五-郛=近》十的W。，從而rci>0, （n<口，卜3七匕「）叫。<t><-*義h士「一n,所胤當(dāng)年>01寸r梟/一讓十『>0或巧ri<<0日才，白/一fl+^<0.設(shè)窖⑷=，-心J因為函數(shù)?。┯腥齻€零點(diǎn)時.。的取值范用恰好是（—中.-3）u（l.v）U（y,+￥）.則由-凡-箝上金⑷<0,且在《1.號口仁.十向上國3>0均恒成立.從而g（-5）=￡■—】毛。，且則［■）之，,一10,因此V-I此時，月上）=n'+I-?-（x+J}［/于（曰-I）m+［-fi］.因函數(shù)有三個零點(diǎn)，則/+s-1卜+1-小二口有兩個異于-I的不等實(shí)根，斫以占=（4—］）-—」［］一門）=￡+二門一3>u.Ei（一】「一（.ti—L）+1—通。［），解得日恒（-B.-5）U（1,：）口（：.*仁）一解”1)吐明：因為三二二2"L"=”5f2.三)是同一個常數(shù).所以產(chǎn),產(chǎn)子士工依次構(gòu)成等比數(shù)列一(2)令/+if-a,則M,.叱.見5rHH【為if-f/.ri,tf+J.J+2j/(fl>J,ji>-2rL/H【】)-限設(shè)存在嗎.我故得—心高，月依次梅成等比數(shù)列,則u*=(u—d)Q+d)=H(a十』尸=『(口十2d)\令T，胴i=(j一八"十i/.au+力％門 (-4-<t<r/ ,化簡得工，2■產(chǎn)—2絲鼠#),且『3小】.將產(chǎn)=!+?代入x*)式./(/4-1) 2(/+1)-2=r+3t=f+1+Ml=4f+I=U,^1--顯然，=-十不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在叫.也使得叫.星，公，尺依次構(gòu)朧等比數(shù)列一(箝陶設(shè)存在4.W及正整數(shù)k2,使得小可~,*,，『儂道構(gòu)成等比數(shù)列，喇或m十加yj=(.+d尸“3.RSi+dy*氣我十三力…旦蟲叫+澳產(chǎn)*,出.分別在兩個等式的兩邊同除以熄*川及婢,*》，并令11壬姑,則口+-4=**=(］+峨2咒且口士￡廠叫1+宜產(chǎn)*44力產(chǎn)"*3,判上述兩個等式兩邊取對數(shù).得54攵小蜀14：竭=2都)用K0士”,+A)Ln(1+;)+"+S￡-)ln(l+3i)=2(u+2編標(biāo)口■+2/).化箭得2kL+如}-1?(I+t)]=《如(1 +2t)].且3疝皿I+3Q-氤1+￡)]=?i[3h(1+j)-h(I+3r>).再將這兩式相除，化筒得ln(1+%)1時I+2”+3111fl+2rf)ln(I+F)=41nt.1+丸)加(1+J：〔》)-令占《力=*ln(I+曳)ln(l+r)-ln(i+31)加(I+2。一期"1+2i)1t){1+廁旺一通+丁尸加(1+加)-3(1+4(加《1++3(1+工廠皿1+口],'T冒 {\+0(1+2r)(!<Tj '令M0=S十%『血口十丸)一311+普/片(1十力)十劣口+[fill。+1].孫中'(f)=6[U4- 1+ii,)-2(]+ 十之r)+(1+ +()]一令勃⑴二驢也L則西。向品丹也(l+3i)-4111(1+21)+ln<i+0].令/⑴￥：(必則啪A…*二；”—廣。.由白(。)=6用=以(0，=甲式口，=燈，>口，鄭平式D.甲⑴.,u)和由十⑹上的單科故自(1)只有唯一零我e=o.即方數(shù)”)我有唯一解r=6故假設(shè)不成立所鼠不存在的.d及正整數(shù)**,使需域?可*\用*縣，嫉‘*依次構(gòu)成等比數(shù)列一21」選做題】(第以-A題)人.［選爆(第以-A題)本小題主要考查國的基本性質(zhì)和相似三第瑯等基礎(chǔ)知識.考查推理論證能九滿分撲分.證明；因為.4宙法，46所以乙鉗c又因為上(：二上￡■.所以上工￡力=工片.又上BAE為公共前,可知心/切sA.4O.H.［選修4-2：矩陣與變換］本心題主要善登矩陣的特征值與特征向量的概念等基砒知識，考查運(yùn)算求解能力,滿分1。分.

解：由已知，得且〃三解：由已知，得且〃三-9即則產(chǎn)一；二乜即工=1所以矩陣八"1".隊而矩陣總的特征多項式夫人）=C+2）（A-I）,所以矩陣總的另一個特征值為L仁［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］本小題主要老壹圓的極坐標(biāo)方程.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.滿分1小分.解：以被坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)化以您軸力.軸的正華軸.建立直用坐標(biāo)系x（yy\圓。的極坐標(biāo)方程為/+2/口（冬也廿-亭m鼎）-4=0.化商.得p’421PdinN-2ptraaf）—4=（k則圓￡的直用坐標(biāo)方程為一+/—&+%—a=。,即G—I）,小十—6.所以腳￡’的半掛為而.U.［選修4-S；不等式選講］本小題主要考查含絕對值不等式的解法，考蟄分類討論的能力一篇分10分.解：原不等式可化為［寅〈一于，或!”及一克.t-A-5^21九十3M3綜上，原不等式的解集是《工及式-5或工22二［必做題］本小題主要考置空間向量、二面角和異面直線所成角等基礎(chǔ)打識.考查運(yùn)用空間向至解四耳鷲學(xué).滿分W分, p解；以{泥■.我力:為正交基底建立如圖所示的空間直角 PL坐標(biāo)系H-則各點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，\\以I.肌。八”】.1,⑴.以吧，6,也5h2}. 1'\\⑴因為北上平面以仇所以而是平面外用的一個法 "R\ '向量因為必M（］，］,—2LJvis（O.2,-1］. 一個一設(shè)平面『匚山的注向量為5=1,,一工）， 才 卜^1］jn-FCsO,m*MD=（＞, ” （第”題［）所以m=［l.1所以m=［l.1r力是平面MT的一個法向量.川川川3所以平面與平面FE所成二面角的余孩值為。.無￡一二步令尸嗎解得:=匚==1上卜—Z5=U.(2)(2)因為記=(-1,0.2),設(shè)面)=A正f(-An0,2A>(O^A^l),兄曲(oT-11G.則場=c3+b^=(-a.-it?a)ty5?=⑼-w從詢*H殖=冬匹=與皂|。911