彈性力學(xué)知識(shí)點(diǎn)

一、概念1．彈性力學(xué)，也稱(chēng)彈性理論，是固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支。固體力學(xué)包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)、振動(dòng)理論、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)。3基本任務(wù)：研究由于受外力、邊界約束或溫度改變等原因，在彈性體內(nèi)部所產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移及其分布情況等。.4研究對(duì)象是完全彈性體，包括桿件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛5.彈性力學(xué)基本方法：差分法、變分法、有限元法、實(shí)驗(yàn)法.6彈性力學(xué)研究問(wèn)題，在彈性體內(nèi)嚴(yán)格考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，在邊界上考慮邊界條件，求解微分方程得出較精確的解答;?彈性力學(xué)中的基本假定：連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形假定。幾何方程反映的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系。物理方程反映的是應(yīng)力分量與形變分量之間的關(guān)系。平衡微分方程反映的是應(yīng)力分量與體力分量之間的關(guān)系。11當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。邊界條件表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。它可以分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。圣維南原理主要內(nèi)容：如果把物體表面一小部分邊界上作用的外力力系，變換為分布不同但靜力等效的力系(主失量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩也相同)，那么只在作用邊界近處的應(yīng)力有顯著的改變，而在距離外力作用點(diǎn)較遠(yuǎn)處，其影響可以忽略不計(jì)。圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系(主失量和主矩都等于零)，那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇Я亢椭骶囟嫉扔诹愕拿媪Γc無(wú)面力狀態(tài)是靜力等效的，只能在近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力。求解平面問(wèn)題的兩種基本方法：位移法、應(yīng)力法。彈性力學(xué)的基本原理:解的唯一性原理、解的疊加原理、圣維南原理。會(huì)推導(dǎo)兩種平衡微分方程逆解法步驟：(1)先假設(shè)一滿(mǎn)足相容方程(2-25)的應(yīng)力函數(shù)由式(2-24)，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的彈性體，根據(jù)主要邊界上的面力邊界條件(2-15)或次要邊界上的積分邊界條件,分析這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決什么樣的問(wèn)題。(或者根據(jù)已知面力確定應(yīng)力函數(shù)或應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定系數(shù)半逆解法步驟：(1)對(duì)于給定的彈性力學(xué)問(wèn)題，根據(jù)彈性體的幾何形狀、受力特征和變形的特點(diǎn)或已知的一些簡(jiǎn)單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式按式(2-24)，由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù)f的一般形式(含待定函數(shù)項(xiàng))；將應(yīng)力函數(shù)f代入相容方程進(jìn)行校核，進(jìn)而求得應(yīng)力函數(shù)f的具體表達(dá)形式；將應(yīng)力函數(shù)f代入式(2-24),由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)；考察應(yīng)力分量是否滿(mǎn)足全

部應(yīng)力邊界條件。如果都能滿(mǎn)足，則所得出的解就是正確解，否則要重新假設(shè)應(yīng)力分量，重復(fù)上述過(guò)程并進(jìn)行求解。.“小孔口問(wèn)題”應(yīng)符合兩個(gè)條件：(1)孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的尺寸，這使孔口的存在所引起的應(yīng)力擾動(dòng)只局限于一個(gè)小的范圍內(nèi)；(2)孔邊距離彈性體邊界比較遠(yuǎn)(約大于1.5倍的孔口尺寸)，這使孔口與邊界之間不發(fā)生相互干擾。在小孔口問(wèn)題中，孔口附近將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，它具有兩個(gè)特點(diǎn)：(1)孔附近的應(yīng)力高度集中，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無(wú)孔時(shí)的應(yīng)力。(2)應(yīng)力集中的局部性，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊1.5倍的孔口尺寸(如圓也直徑)的范圍內(nèi)，在此范圍之外，可以忽略不計(jì)。FEM(有限元法)分析的主要步驟：(1)將連續(xù)體變化為離散化結(jié)構(gòu)。(2)對(duì)單元體進(jìn)行分析單元的位移模式單元的應(yīng)變列陣單元的應(yīng)力列陣單元的結(jié)點(diǎn)力列陣f.單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣(3)整體分析二、公式1S=Q—⑷1S=Q—⑷)xExyS= (q — )求出應(yīng)變分量yEy2(1+卩)Y= TxyExyM=yxEIuM=—yyEIY=0xydvuM=S=—y,dy yEIdv du+ =ydx dy xyMQ=—y(1)將應(yīng)力分量x/丿 代入物理方程Q=T=0yxyTOC\o"1-5"\h\zdu M(2)將應(yīng)變分量帶入幾何方程==S= y，dx xEI求出位移分量極坐標(biāo)中的邊界條件是：應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式為Q=Qcos2p+qsin2p+tsin2申TOC\o"1-5"\h\zP X y xyQ=Qsin2p+Qcos2p—Tsin2pp x y xyT =(Q—Q)cospsinp+Tcos2p\o"CurrentDocument"Pp y x xy

應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的的轉(zhuǎn)換式o cos2申+osin2申一t sin2px p p ppo sin2p+ocos2p+t sin2py p p ppE1一卩2卩1一卩t=(o—o)cospsinpE1一卩2卩1一卩xy p p pp在將平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程變換到平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程時(shí)，只需將可。 卩n(ol+tm)二f(s)5.平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件為T(mén)OC\o"1-5"\h\zx xy s x5.平面問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件為(tl+om)二f(s)xy y s y6.平面問(wèn)題的位移邊界條件為 (u)二u(s), (u) (s)ss7.圣維南原理的三個(gè)積分式h/2(o)—h/2 xx=±±h/2(o)ydy-1=±—h/2 xx=±1h/2(t)dy-1=±—h/2xyx=±ldy-1=±|h/2f(y)dy?1—h/2xJh/2f(y)ydy-1—h/2xh/2f(y)dy-1yI―h/2Ih/2如果給出單位寬度上面力的主矢量和主矩，則三個(gè)積分邊界條件變?yōu)椤猦/2Ih/2—h/2Ih/2—h/2