銳角三角函數(shù) 省賽獲獎(jiǎng)

28.1銳角三角函數(shù)問題為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管,在山坡上修建了座揚(yáng)水站,對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌.現(xiàn)測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是300,為使出水口的高度為35m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?這個(gè)問題可以歸結(jié)為,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A=300,BC=35m,求AB.根據(jù)”在直角三角形中,300角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”即:∠A的對(duì)邊BC1

斜邊AB2可得AB=2,BC=70m,也就是說,需要準(zhǔn)備70m長的水管.

在上面的問題中,如果使出水口的高度為50m,那么需要準(zhǔn)備多長的水管?思考？

在上面求(所需水管的長度)的過程中,我們用到了結(jié)論:在一個(gè)直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于300,那么不管三角形的大小如何,這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于.12思考？

如圖,任意畫一個(gè)△ABC,使∠C=900,∠A=450,計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比,你能得出什么結(jié)論?BCAB

如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,由于∠A=450,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=2BC2即在直角三角形中，當(dāng)一個(gè)銳角等于450時(shí)，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于．

綜上可知，在一個(gè)Rt△ABC中，∠C=900，當(dāng)∠A=300時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，是一個(gè)固定值;當(dāng)∠A=450時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比都等于，也是一個(gè)固定值．一般地，當(dāng)∠Ａ取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？探究任意畫Rt△ABC和△A’B’C’，使得∠C=∠C’，∠A=∠A’=α，那么與有什么關(guān)系，你能解釋一下嗎？BCABABB’C’A’B’

在圖中，由于∠Ｃ＝∠Ｃ’=900，∠A=∠A’=α,所以Rt△ABC∽△A’B’C’．BCABB’C’A’B’BCB’C’ABA’B’即：

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度婁數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．

如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即sinA=∠A的對(duì)邊斜邊aC∠A的對(duì)邊記作a.∠B的對(duì)邊記作b.∠C的對(duì)邊記作c.例如，當(dāng)∠A=300時(shí)，我們有

當(dāng)時(shí)，我們有例1如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,求sinA和sinB的值.解:(1)在Rt△ABC中,

求sinA就是要確定∠A的對(duì)邊與斜邊的比,求sinB就是要確定∠B的對(duì)邊與斜邊的比.根據(jù)下圖,求sinA和sinB的值.練習(xí)探究

如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,當(dāng)銳角A確定時(shí),∠A的對(duì)邊與斜邊的比就隨之確定,此時(shí),其他邊之間的比是否也確定了呢?為什么?

在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即cosA=∠A的鄰邊斜邊bC∠A的對(duì)邊記作a.∠B的對(duì)邊記作b.∠C的對(duì)邊記作c.類似于正弦的情況，在圖中，當(dāng)銳角Ａ的大小確定時(shí)，的鄰邊的比的對(duì)邊與鄰邊的比也分別是確定的．

在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的對(duì)邊與銳角Ａ的鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即atanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊b∠A的對(duì)邊記作a.∠B的對(duì)邊記作b.∠C的對(duì)邊記作c.

在Rt△ABC中，∠C=900，我們把銳角A的對(duì)邊與銳角Ａ的鄰邊的比叫做∠A的余切(cotangent)，記作cotA，即bcotA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊a∠A的對(duì)邊記作a.∠B的對(duì)邊記作b.∠C的對(duì)邊記作c.atanA=∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊bcosA=∠A的鄰邊斜邊bCsinA=∠A的對(duì)邊斜邊aC

銳角的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳有三角函數(shù)(trigonometricfunctionofacuteangle).練習(xí)１．分別求出下列直角三角形中兩個(gè)銳角的正弦值、余弦值和正切值．２．在Rt△ABC中，如果各邊長都擴(kuò)大２倍，那么銳角的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=8，tanA=求sinA、cosB的值．34銳角三角函數(shù)定義正弦,余弦,正切,余切:bABCa┌c兩塊三角尺中有幾個(gè)不同的銳角?分別求出這幾個(gè)銳角的正弦值余弦值正切值．思考？

設(shè)圖中，每個(gè)三角尺較短的邊長為１，利用勾股定理和三角函數(shù)的定義可以求出這些三角函數(shù)值．300、450、600角的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:三角函數(shù)銳角α正弦sinα余弦cosα正切tanα余切cotα300450600300、450、600角的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:一個(gè)銳角的正弦,等于它的余角的余弦(或一個(gè)銳角的余弦等于它的余角的正弦);互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合圖形,將sinA=cosB或cosA=sinB.tanA=cotB或cotA=tanB.分別用文字語言敘述出來:bABCa┌c一個(gè)銳角的正切,等于它的余角的余切(或一個(gè)銳角的余切等于它的余角的正切);sin2600表示（sin600)2,即(sin600)(sin600)例4.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,AB=√6,BC=√3,求∠A的度數(shù).(2)如圖,己知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的√3倍,求α.例4.(1)如圖,在Rt△ABC中,∠C=900,AB=√6,BC=√3,求∠A的度數(shù).(2)如圖,己知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的√3倍,求α.練習(xí)

通過上面的學(xué)習(xí)我們知道,當(dāng)銳角A取300、450或600等特殊角時(shí),可以求得這些特殊角的正弦值余弦值和正切值;如果銳角A不是這些特殊角,怎樣得到它的三角函數(shù)值呢?我們可以借助計(jì)算器來求銳角三角函數(shù)值.

又如求tan30036’,利用tan

鍵,并輸入角的度、分值(可以使用0

’

”

鍵),就可以得到答案0.591398351.

例如求sin180,利用計(jì)算器sin鍵,并輸入角度值18,得到結(jié)果sin180=0.309016994.

因?yàn)?0036’=30.60,所以也可以得用tan

鍵,并輸入角度值30.6,同樣得到答案0.591399351.利用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)，或己知銳角三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角時(shí)，不同的計(jì)算器操作步驟有所不同．如查己知銳角三角函數(shù)值,也可以使用計(jì)算器求出相應(yīng)銳角.例如,己知sinA=0.5018;用計(jì)算器求銳角A可以按照下面方法操作:依次按鍵2ndFsin,然后輸入函數(shù)值0.5018,得到∠A=30.119158670(這說明銳角A精確到的結(jié)果為300)

還可以利用2ndF0

’

”

鍵,進(jìn)一步得到∠