離散型隨機(jī)變量的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)

離散型隨機(jī)變量的參數(shù)估計(jì)與檢驗(yàn)第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日1、總體率：在伯努利概型中，事件A出現(xiàn)的概率P（A）稱為總體率，它通常是一個(gè)未知的參數(shù)。2、樣本率：在伯努利概型中，若容量為n的某樣本中事件A出現(xiàn)m次，則事件A出現(xiàn)的頻率的f=m/n稱為樣本率，它通常是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。一、總體率的區(qū)間估計(jì)定理

若X～B(n,p)，則

證：第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3、小樣本時(shí)總體參數(shù)的估計(jì)由定理知，樣本率是總體率的無偏估計(jì)量。可查統(tǒng)計(jì)用表,得到p的置信區(qū)間(p1,p2)例1用某種中醫(yī)療法治療青少年近視15例,其中10人近期有效,求該法近期有效率95%置信區(qū)間解：15例中的近期有效人數(shù)服從二項(xiàng)分布m=10,n-m=5,1-α=0.95,查表得p1=0.384,p2=0.882近期有效總體率p的95%置信區(qū)間(0.384,0.882)第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日A是大量伯努利試驗(yàn)中的稀有事件,A出現(xiàn)次數(shù)X～P(k;λ),總體均數(shù)EX=λ,總體方差DX=λ小樣本時(shí),根據(jù)n個(gè)單元的樣本計(jì)數(shù)c查統(tǒng)計(jì)用表,可得到nλ的置信區(qū)間(nλ1,nλ2),上,下限分別除以n,即得總體均數(shù)λ的置信區(qū)間例2用計(jì)數(shù)器測量某種放射性標(biāo)本,3分鐘讀數(shù)45,求每分鐘讀數(shù)的95%置信區(qū)間泊松概率模型的參數(shù)估計(jì)第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日每分鐘讀數(shù)服從泊松分布c=45,n=3,1-α=0.95,查表3λ1=32.82,3λ2=60.21故每分鐘讀數(shù)即總體均數(shù)λ的95%置信區(qū)間為=(10.94,20.07)3.1.2大樣本時(shí)總體參數(shù)的估計(jì)定理2X～B(k;n,p),n足夠大,總體率p的1-α置信區(qū)間為第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日由定理1,n足夠大時(shí),近似有～～N(0,1)用頻率代替概率p,用近似率的標(biāo)準(zhǔn)誤～N(0,1)故總體率p的1-α置信區(qū)間為二項(xiàng)總體在樣本容量n≥50時(shí),總體率p的置信區(qū)間為第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日泊松總體在n個(gè)單元的樣本計(jì)數(shù)c≥50時(shí),近似有～N(0,1)從而nλ的1-α置信區(qū)間為例3復(fù)方當(dāng)歸注射液治療腦動(dòng)脈硬化癥188例,顯效83例,求復(fù)方當(dāng)歸注射液顯效率的95%置信區(qū)間188例患者中顯效人數(shù)服從二項(xiàng)分布n=188,m=83,得第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日故復(fù)方當(dāng)歸注射液顯效率p的95%置信區(qū)間為=(0.3705,0.5125)3.1.3單樣本的假設(shè)檢驗(yàn)二項(xiàng)總體在樣本容量n≥50時(shí)對(duì)H0：p＝p0,可用u統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)總體率p與常量p0的差異是否有統(tǒng)計(jì)意義第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日前提信息H1H0統(tǒng)計(jì)量P值拒H0二項(xiàng)分布n≥50

p≠p0p＝p0查雙尾P≤αp與p0不等p>p0查單尾p<p0查單尾泊松總體在n個(gè)單元的樣本計(jì)數(shù)c≥50時(shí)對(duì)H0：λ＝λ0，可用u統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)λ與常量λ0的差異是否有統(tǒng)計(jì)意義第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例4胃潰瘍患者20%發(fā)生胃出血癥狀,某醫(yī)院觀察65歲以上胃潰瘍患者304例,有96例發(fā)生胃出血癥狀,65歲以上患者是否比較容易胃出血？304例患者中胃出血人數(shù)服從二項(xiàng)分布n=304,m=96,得H0：p＝0.20，H1：p≠0.20雙尾概率P<0.01以α＝0.01水準(zhǔn)的雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H0，接受H1p與0.20差異有統(tǒng)計(jì)意義,65歲以上患者容易胃出血第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.1.4兩樣本的假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)二項(xiàng)總體總體率為p1,p2,樣本n1≥50,n2≥50n1,n2足夠大時(shí)近似有～～～第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日～N(0,1)H0：p1=p2的假定下,用聯(lián)合樣本率作總體率估計(jì)值～N(0,1)第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日前提信息H1H0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值拒H0二項(xiàng)分布n1≥50n2≥50p1≠p2p1＝p2雙尾P≤αp與p0不等p1>p2單尾p1<p2單尾兩個(gè)泊松總體均數(shù)λ1,λ2,在n1,n2個(gè)單元的樣本計(jì)數(shù)c1≥50,c2≥50,對(duì)H0:λ1=λ2,可用u統(tǒng)計(jì)量兩個(gè)檢驗(yàn)λ1與λ2的差異是否有統(tǒng)計(jì)意義第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例5兩批首烏注射液,第一批隨機(jī)抽240支,發(fā)現(xiàn)15支變質(zhì),第二批隨機(jī)抽180支,發(fā)現(xiàn)14支變質(zhì),試問兩批首烏注射液的變質(zhì)率是否相同？第一批240支,第二批180支注射液中的變質(zhì)支數(shù)均服從二項(xiàng)分布,n1=240,m1=15,n2=180,m2=14H0:p1=p2,H1:p≠0.20,聯(lián)合樣本率為第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日單尾概率P>0.05，只能以α＝0.05水準(zhǔn)的單側(cè)檢驗(yàn)接受H0，p1與p2的差異無統(tǒng)計(jì)意義，認(rèn)為兩批首烏注射液的變質(zhì)率相同．3.1.5分類資料的檢驗(yàn)方法選擇兩組小樣本分類資料不能使用u檢驗(yàn),多組分類資料也不宜直接進(jìn)行兩兩間的u檢驗(yàn),因?yàn)檫@可能加大犯第一類錯(cuò)誤的概率.分類資料把數(shù)據(jù)按兩個(gè)或更多屬性分類編成列聯(lián)表,選擇相應(yīng)的檢驗(yàn)方法第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例6乙型腦炎重癥病人204例隨機(jī)分為兩組,用某中草藥方劑治療,其中一組人工牛黃.病人根據(jù)治療方法和治療效果進(jìn)行無重復(fù)無遺漏的完全分類組別治愈未愈合計(jì)不加牛黃324678加牛黃7650126合計(jì)10896204把全部數(shù)據(jù)按兩個(gè)分類原則進(jìn)行完全分類列成的頻數(shù)表格稱為列聯(lián)表,分類頻數(shù)排成R行C列的列聯(lián)表稱為R×C列聯(lián)表,2×2列聯(lián)表也稱為四格表第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.2計(jì)數(shù)資料的分析

3.2.1R×C表獨(dú)立性檢驗(yàn)

例1為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對(duì)病人組和對(duì)照組作定性檢查組別陽性數(shù)陰性數(shù)合計(jì)病人組29(18.74)7(17.26)36對(duì)照組9(19.26)28(17.74)37合計(jì)383573第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日雙向無序,病人組陽性樣本率對(duì)照組陽性樣本率樣本推斷病人組,對(duì)照組的陽性總體率p1,p2是否不同,需檢驗(yàn)假設(shè)H0:p1=p2H0可寫為“分組”對(duì)“陽性數(shù)”無影響,改寫為“分組”與“陽性數(shù)”獨(dú)立,雙向無序表列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)

在H0:“分組”與“陽性數(shù)”獨(dú)立假設(shè)下,全部數(shù)據(jù)視為一個(gè)總體的樣本,計(jì)算陽性聯(lián)合樣本率,作為陽性總體率的估計(jì)值,稱陽性理論率,用理論率推算樣本各實(shí)際頻數(shù)Oij的估計(jì)值,稱理論頻數(shù)或經(jīng)驗(yàn)頻數(shù)Eij

第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日病人組陽性理論頻數(shù)陰性理論頻數(shù)對(duì)照組陽性理論頻數(shù)陰性理論頻數(shù)分類變量X的分類標(biāo)志為X1,…,XR,分類變量Y的分類標(biāo)志為Y1,…,YC,實(shí)際頻數(shù)的行合計(jì)記為O1·,…,OR·,實(shí)際頻數(shù)的列合計(jì)記為O·1,…,O·C,總頻數(shù)記為N第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日分類Y1…YC合計(jì)X1O11(E11)……O1C(E1C)O1·…………………………XROR1(ER1)……ORC(ERC)OR·合計(jì)O·1……O·CN列聯(lián)表雙向無序,理論頻數(shù)Eij等于所在行與列的合計(jì)數(shù)之積除以N,在H0：X與Y獨(dú)立假設(shè)下,實(shí)際頻數(shù)Oij與理論頻數(shù)Eij的差異是隨機(jī)誤差,Pearson用卡方統(tǒng)計(jì)量第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日df＝(R－1)(C－1)反映實(shí)際Oij與理論Eij吻合程度,稱Pearson卡方檢驗(yàn)定理1Pearson卡方統(tǒng)計(jì)量df≠1時(shí)用定理1計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量可不寫出理論頻數(shù)第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日若R×C列聯(lián)表中理論頻數(shù)出現(xiàn)小于1或理論頻數(shù)小于5的格數(shù)超過總格數(shù)1/5時(shí),則必須增大樣本例數(shù),或把理論頻數(shù)太小的行,列與性質(zhì)相近的鄰行,列合并,或刪去理論頻數(shù)太小的行,列例2判斷患鼻咽癌與血型有無關(guān)系分類A型血B型血O型血AB型血合計(jì)患癌者648613020300健康人12513821026499合計(jì)18922434046799第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日第一行合計(jì)數(shù),第四列合計(jì)數(shù)最小,最小理論頻數(shù)H0:“患癌”與“血型”獨(dú)立,H1:“患癌”與“血型”不獨(dú)立=1.921第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日df＝(2－1)(4－1)＝3，單尾概率P>0.25以α＝0.05水準(zhǔn)的單側(cè)檢驗(yàn)接受H0兩組總體率的差異無統(tǒng)計(jì)意義,患癌與血型沒有關(guān)系3.2.2四格表獨(dú)立性檢驗(yàn)

定理2df＝1,Pearson卡方O11－E11

第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日O12－E12＝O21－E21＝O22－E22

第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日雙向無序四格表,N≥40且所有理論頻數(shù)大于5,用Pearson卡方統(tǒng)計(jì)量,若所得P≈α,改用確切概率法N≥40,理論頻數(shù)小于5(但≥1),用校正卡方統(tǒng)計(jì)量df＝1N<40或理論頻數(shù)小于1,則不能使用卡方檢驗(yàn),應(yīng)使用Fisher精確檢驗(yàn),稱為四格表確切概率法例3對(duì)例1判斷兩組的尿棕色素陽性率是否不同第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日N＝73>40，第一行合計(jì)數(shù)、第二列合計(jì)數(shù)最小最小理論頻數(shù)>5Pearson卡方檢驗(yàn)H0:“中毒”與“陽率”獨(dú)立,H1:“中毒”與“陽率”不獨(dú)立df＝1,雙尾概率P<0.01以α＝0.01水準(zhǔn)的雙側(cè)檢驗(yàn)拒絕H0，接受H1兩組總體率的差異有統(tǒng)計(jì)意義,認(rèn)為鉛中毒病人的尿棕色素陽性率高于對(duì)照組第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日例4隨機(jī)抽取15名工人穿新防護(hù)服,其余穿舊防護(hù)服,一個(gè)月后檢查兩組工人患皮膚炎的情況,判斷兩種防護(hù)服的皮膚炎患病率是否不同組別陽性數(shù)陰性數(shù)合計(jì)新防護(hù)服11415舊防護(hù)服101828合計(jì)113243N＝43>40,第一行合計(jì)數(shù)、第一列合計(jì)數(shù)最小最小理論頻數(shù)<5但≥1使用校正卡方檢驗(yàn)第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日H0:“防服”與“皮炎”獨(dú)立,H1:“防服”與“皮炎”不獨(dú)立df＝1.單尾P>0.05.以α＝0.05水準(zhǔn)單側(cè)檢驗(yàn)接受H0，差異無統(tǒng)計(jì)意義,不能認(rèn)為兩種服的皮炎患病率不同第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日3.3等級(jí)資料的分析

3.3.1Ridit分析例1中藥與傳統(tǒng)西醫(yī)兩種方法治療小兒急性痢疾

組別痊愈顯效好轉(zhuǎn)無效合計(jì)中醫(yī)組6826153112西醫(yī)組7373882551155單向有序2×4列聯(lián)表,不宜用卡方檢驗(yàn),可用Ridit分析relativetoanidentifieddistribution與unit第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日選一個(gè)大容量樣本作基準(zhǔn)稱為參照組,分k個(gè)等級(jí),第i等級(jí)頻數(shù)為mi(1≤i≤k)，參照組樣本容量為n

第i等級(jí)的頻率定義1參照組前i－1個(gè)等級(jí)的頻率與第i等級(jí)頻率之半的和,稱第i等級(jí)的參照單位或R值,記為Ri

(2≤i≤k－1)第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日定理1參照組R值的樣本均數(shù)R值樣本均數(shù)為各等級(jí)頻數(shù)與相應(yīng)R值的加權(quán)平均其它樣本稱為對(duì)比組,均以參照組的R值為各等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn).對(duì)比組R值的樣本均數(shù),按各等級(jí)頻數(shù)與相應(yīng)參照組R值的加權(quán)平均計(jì)算,一般與0.5有差異第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期日Bross指出,R值理論分布為[0,1]均勻分布,密度函數(shù)f(x)＝1(0≤x≤1),總體均數(shù)1/2,總體方差1/12定理2n足夠大,R值總體均數(shù)μR的1-α置信區(qū)間對(duì)比組R值總體均數(shù)樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤第三十