神奇的數(shù)字從數(shù)字賞數(shù)學(xué)之美

神奇的數(shù)字從數(shù)字賞數(shù)學(xué)之美第一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字。——伽利略

數(shù)學(xué)，如果正確地看，不但擁有真理，而且也具有至高的美。——羅素

這個(gè)世界可以由音樂的音符組成，也可以由數(shù)學(xué)的公式組成?！獝垡蛩固鼓睦镉袛?shù)，哪里就有美。

——Proclus只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美。

——A.H.懷海德數(shù)學(xué)和詩歌都具有永恒的性質(zhì)。

——R.D.Carmichael第二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

古埃及和我國(guó)一樣，是世界上四大文明古國(guó)之一.早在四千多年以前，埃及人已懂得了數(shù)學(xué)，在數(shù)的計(jì)算方面還會(huì)使用分?jǐn)?shù)，不過,他們用的是“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù)).此外，他們還能計(jì)算直線形和圓的面積.他們知道了圓周率約為3.16，同時(shí)也懂得了棱臺(tái)和球的體積計(jì)算等.可是，他們卻是用下面的符號(hào)記數(shù)的：第三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日這樣書寫和運(yùn)算起來都不方便，比如寫數(shù)2314，就要用符號(hào)表示.

第四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日后來他們把符號(hào)作了簡(jiǎn)化而成為第五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

古代巴比倫人(巴比倫即當(dāng)今希臘一帶地方)計(jì)數(shù)使用的是六十進(jìn)制，它也有其優(yōu)點(diǎn)，這樣，在計(jì)算分?jǐn)?shù)時(shí)會(huì)帶來某種方便(現(xiàn)在時(shí)間上的小時(shí)、分、秒制及角度制，仍是六十進(jìn)制).巴比倫人已經(jīng)研究了二次方程和某些三次方程的解法，他們?cè)诠?000年就開始將楔形線條組成符號(hào)(稱為楔形文字)，且將它們刻在泥板上，然后放到烈日下曬干以備保存.同樣，他們也是用楔形文字來表示數(shù)，無論是用來記錄還是運(yùn)算，都相對(duì)來說方便了許多.第六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

我國(guó)在紙張沒有發(fā)明以前，已經(jīng)開始用算籌進(jìn)行記數(shù)和運(yùn)算了.算籌是指計(jì)算時(shí)使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，這也是世界上最早的計(jì)算工具.用算籌表示數(shù)的方法是：第七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日記數(shù)時(shí),個(gè)位用縱式，其余位縱橫相間，故有“一縱十橫，百立千僵”之說.數(shù)字中有0時(shí)，將其位置空出，比如86021可表示為：第八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日在甲骨文中，數(shù)字是用下面的符號(hào)表示的第九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日第十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日阿拉伯?dāng)?shù)字未流行之前，我國(guó)商業(yè)上還通用所謂“蘇州碼”的記數(shù)方法

在計(jì)數(shù)上歐洲人開始使用的是羅馬數(shù)字：第十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日

阿拉伯?dāng)?shù)字據(jù)說是印度人發(fā)明的，后傳入阿拉伯國(guó)家，經(jīng)阿拉伯人改進(jìn)、使用，因其簡(jiǎn)便性而傳遍整個(gè)世界，成為通用的記數(shù)符號(hào).第十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日在埃及出土的3600年前的萊因特紙草上有下面一串符號(hào)：它既不是什么繪畫藝術(shù)，也不是什么裝飾圖案，它表達(dá)的是一個(gè)代數(shù)方程式，用今天的符號(hào)表示，即第十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日宋、元時(shí)期我國(guó)也開始了相當(dāng)于現(xiàn)代方程論的研究，當(dāng)時(shí)記數(shù)仍使用算籌.在那時(shí)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)著作中，就是用下圖中的記號(hào)來表示二次三項(xiàng)式4x2-x+136的,其中，x的系數(shù)旁邊注以“元”字，常數(shù)項(xiàng)注以“太”字，籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)“第十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞

黑洞原是天文學(xué)中的概念，表示這樣一種天體：它的引力場(chǎng)是如此之強(qiáng)，就連光也不能逃脫出來。數(shù)學(xué)中借用這個(gè)詞，指的是某種運(yùn)算，這種運(yùn)算一般限定從某些整數(shù)出發(fā)，反復(fù)迭代后結(jié)果必然落入一個(gè)點(diǎn)或若干點(diǎn)。

第十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞——1（角谷猜想）

任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，就除以2，如果它是奇數(shù)，就用它乘3再加1。將所得到的結(jié)果不斷地重復(fù)上述運(yùn)算，最后的結(jié)果總是1。如：正整數(shù)7。7×3＋1＝2222÷2＝1111×3＋1＝3434÷2＝1717×3＋1＝5252÷2＝2626÷2＝1313×3＋1＝4040÷2＝2020÷2＝1010÷2＝55×3＋1＝1616÷2＝88÷2＝44÷2＝22÷2＝11×3＋1＝44÷2＝22÷2＝1第十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞——1（角谷猜想）

任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是偶數(shù)，就除以2，如果它是奇數(shù)，就用它乘3再加1。將所得到的結(jié)果不斷地重復(fù)上述運(yùn)算，最后的結(jié)果總是1。如：正整數(shù)10。10÷2＝55×3＋1＝1616÷2＝88÷2＝44÷2＝22÷2＝1看來，最簡(jiǎn)單的數(shù)字1也蘊(yùn)含著不簡(jiǎn)單。第十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日有一點(diǎn)更值得注意，假如N是2的正整數(shù)方冪，則不論這個(gè)數(shù)字多么龐大，它將“一落千丈”，很快地跌落到1．例如：

N=65536=2216則有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．

這一結(jié)果如此奇異，是令人難以置信的。曾經(jīng)有人拿各種各樣的數(shù)字來試，但迄今為止，總是發(fā)現(xiàn)它們最后都無一例外地進(jìn)入“1→4→2→1”這個(gè)死循環(huán)。已經(jīng)驗(yàn)證的最大數(shù)目，已達(dá)到1099511627776．第十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞——123

任取一個(gè)正整數(shù)，將組成這個(gè)數(shù)的偶數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù)，奇數(shù)的數(shù)字個(gè)數(shù)和這個(gè)數(shù)的數(shù)字位數(shù)依次寫下來，組成一個(gè)新的數(shù)，重復(fù)上述步驟，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，最后的結(jié)果始終是123。如：正整數(shù)518054。518054336123123如：正整132466701256511134123第十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞——495只要你輸入一個(gè)三位數(shù)，要求個(gè)，十，百位數(shù)字不相同，如不允許輸入111，222等。那么你把這三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，得出最大數(shù)和最小數(shù)。再兩者相減，得到一個(gè)新數(shù)，再重新排列，再相減，最后總會(huì)得到495這個(gè)數(shù)字。例如輸入352，排列得532和235，相減得297；再排列得972和279，相減得693；排列得963和369，相減得594；再排列得954和459，相減得495。第二十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日數(shù)字黑洞——153

任意找一個(gè)3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個(gè)數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加,得到一個(gè)新數(shù)，然后把這個(gè)新數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字再立方、求和，......，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個(gè)固定的數(shù)——153例如：63是3的倍數(shù)，按上面的規(guī)律運(yùn)算如下：

6^3+3^3=216+27=243,2^3+4^3+3^3=8+64+27=99,9^3+9^3=729+729=1458,1^3+4^3+5^3+8^3=1+64+125+512=7027^3+0^3+2^3=351,3^3+5^3+1^3=153,1^3+5^3+3^3=153,第二十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日折紙中的學(xué)問

一張薄紙，不斷對(duì)折，折30次后，紙疊得有多厚？……12第一次2×2=22第二次32×2×2=2第三次……第三十次=1073741824

若這張紙的厚度為0.01毫米，整個(gè)的厚度有10737.41824米。2×2×2×…×2=23030個(gè)第二十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日梵塔中的學(xué)問

印度北部的圣城貝拿勒斯城的一座神廟里，佛像前面有一塊黃銅板，板上插著三根寶石針，其中一根針自上而下放著從小到大的64片圓形金片(在當(dāng)?shù)乇环Q為“梵塔”).按教規(guī)，每天由值班僧侶把金片都移到另一根寶石針上，每次只能移動(dòng)一片，且小片必須放在大片上——當(dāng)所有的金片都移到另一根針上時(shí)，所謂的“世界末日”就到了。2-164585億年第二十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日你能想到嗎?

有一根很長(zhǎng)很長(zhǎng)的繩子，恰好可以繞地球赤道一周，如果把繩子再接長(zhǎng)15米后，繩子就會(huì)繞著地球一周懸在空中。你能想像出：在赤道的任何一個(gè)地方，一個(gè)身高2米39以下的人,都可以從繩子下面自由穿過。

加長(zhǎng)15米第二十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日你能想到嗎?

有一根很長(zhǎng)很長(zhǎng)的繩子，恰好可以繞地球赤道一周，如果把繩子再接長(zhǎng)15米后，繩子就會(huì)繞著地球一周懸在空中。你能想像出：在赤道的任何一個(gè)地方，一個(gè)身高2米39以下的人,都可以從繩子下面自由穿過。

R

設(shè)地球半徑為R米，則繩子的原長(zhǎng)為2πR，當(dāng)繩子長(zhǎng)為2πR+15時(shí)，繩子所圍半徑為（2πR+15）÷2π=R+2.39

繩子可圍成一個(gè)與地球相距2.39米的大圓圈。第二十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日回文詩煙霞映水碧迢迢，暮色秋聲一雁遙。前岑落輝殘照晚，邊城古樹冷蕭蕭。

晚秋即景晚秋即景(反念)蕭蕭冷樹古城邊，晚照殘輝落岑前。遙雁一聲秋色暮，迢迢碧水映霞煙。第二十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日回文質(zhì)數(shù)

所謂回文質(zhì)數(shù)就是指某數(shù)為質(zhì)數(shù)，把該數(shù)的各個(gè)數(shù)字倒過來寫，所得到的數(shù)仍是質(zhì)數(shù)。如13倒過來是31，13和31都是質(zhì)數(shù)，它們就是一對(duì)回文質(zhì)數(shù)。

人們還找到了17和71，113和311，347和743，769和967等回文質(zhì)數(shù)。第二十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率π

瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是最早倡導(dǎo)用希臘字母π來表示這個(gè)數(shù)。

1761年法國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特證明了“π不是有理數(shù)”。

東漢初年的數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》中，已有“周三徑一”的記載，這是最早的圓周率,現(xiàn)在將它稱為“古率”。第二十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率π

南北朝的祖沖之在《綴術(shù)》一書中，用割圓法給出了(約率)和(密率)兩個(gè)用分?jǐn)?shù)表示的圓周率，它們被稱為“祖率”，

227355113227=3π=3355113=3第二十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率π

葉維塔（Yeavita）用割圓法算至圓內(nèi)接393216邊形，得到π的十位小數(shù)；

荷蘭數(shù)學(xué)家魯?shù)婪颍–.Rudolff）花了畢生的精力算到π的第35位小數(shù)

美國(guó)天文學(xué)家紐科布說：π的十位小數(shù)就足以使計(jì)算地球的周界（如果把地球想像為絕對(duì)的球體）精確到一英寸之內(nèi)，若用π的30位小數(shù)能使可觀宇宙的四周計(jì)算精確到連最強(qiáng)大的顯微鏡也不可能分辨的一個(gè)數(shù)量級(jí)。第三十頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率π圓周率計(jì)算進(jìn)展情況表國(guó)別年代計(jì)算機(jī)型號(hào)計(jì)算位數(shù)計(jì)算用時(shí)美國(guó)1949ENIAC203770小時(shí)美國(guó)1955NORC308913分鐘英國(guó)1961IBM—70902000039分鐘法國(guó)1973—100萬—美國(guó)1986Cray—22900萬—加拿大1995HITACS—380042.9億56小時(shí)日本1999HITACHISR80002061.5843億37小時(shí)

如今計(jì)算π的位數(shù)，已成為檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)性能包括它的軟件（即計(jì)算方法）的一種手段。第三十一頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率ππ計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第710100位時(shí)，連續(xù)出現(xiàn)七個(gè)數(shù)字3：

π=3.141592…353733333338638…；

π的前兩位數(shù)字31，前六位數(shù)字314159組成的數(shù)是兩個(gè)回文質(zhì)數(shù)：13與31314159與951413

第三十二頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)A周率π

用數(shù)字0，1，2……8，9（每個(gè)數(shù)字都用且僅用一次）組成的分?jǐn)?shù)中，有不少可作為π的近似值3786912054=3.141612…3948012567=3.1415611…9576130842=3.1048894…9514730286=3.141616…6738921450=3.141678…7659124380=3.141550…8315926470=3.141632…9746831025=3.141595488…第三十三頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…第三十四頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…ABCAC∶CB=BC∶AB51—2=中外比分割第三十五頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…ABCD=0.618…ABBDDBADCDACACAD===51—2=第三十六頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…0.618…這是被中世紀(jì)學(xué)者、藝術(shù)家達(dá)芬奇譽(yù)為“黃金數(shù)”的重要數(shù)值（因而中外比分割亦被譽(yù)為“黃金分割”）。它也曾被德國(guó)天文、物理、數(shù)學(xué)家開普勒贊為幾何學(xué)中兩大“瑰寶”之一。

顧名思義，黃金數(shù)當(dāng)有著黃金一樣的價(jià)值，人們喜歡它。第三十七頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…

黃金比值一直統(tǒng)治著古代中東、中世紀(jì)西方建筑藝術(shù)，這些世人矚目的建筑中都蘊(yùn)藏著0.618…這一黃金數(shù)第三十八頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…《蒙娜麗莎的微笑》——達(dá)·芬奇還有多少黃金分割在畫中？第三十九頁，共四十六頁，編輯于2023年，星期日神奇的0.618…

植物葉子在莖上的排布是呈螺旋狀的，你細(xì)心觀察一下，不少植物葉狀雖然不同，但其排布卻有相似之處，比如從植物頂部向下看，相鄰兩片葉子夾角是137°28′。