衍射的逆運算在二元光學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用

菲涅耳衍射變換在二元光學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用李俊昌1,引言在激光應(yīng)用研究中，沿著光傳播方向研究光波從一個空間平面到另一個空間平面的衍射是一件十分重要的工作，并且，在許多情況下，例如二元光學(xué)設(shè)計［1］及實時全息的精確測量⑵還涉及到逆著光波傳播方向的衍射逆運算問題。在標(biāo)量衍射理論研究領(lǐng)域，沿著光波傳播方向的衍射問題可以通過多種方法求解［3］，菲涅耳衍射的逆運算通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理后可以用傅里葉變換［4］或分數(shù)傅里葉變換［5］計算，但對于不滿足菲涅耳衍射近似的逆運算問題，還未明確地建立起便于使用的表達式。因此，深入研究衍射的逆運算問題具有重要意義。理論研究表明［6］，衍射的正向及逆向運算可以采用多種方法。我們不但可以從基爾霍夫公式、瑞利-索末菲公式以及衍射的角譜理論出發(fā)，導(dǎo)出可以用傅里葉變換表述及使用快速傅里葉變換（FFT）運算的表達式，而且，還可以將菲涅耳衍射積分的逆運算表為與菲涅耳衍射積分非常對稱的形式，建立可以用FFT計算的菲涅耳衍射變換。對上述計算方法的靈活使用，可以十分方便和有效地解決許多重要的光學(xué)計算及光學(xué)設(shè)計問題。本文簡要導(dǎo)出菲涅耳衍射變換，并基于二元光學(xué)設(shè)計的Gerchberg-Saxton（GS）算法［7~9］，將菲涅耳衍射變換用于菲涅耳衍射區(qū)衍射元件的設(shè)計，給出設(shè)計實例。最后，簡要討論可以采用多種不同的衍射運算方法進行一般衍射元件設(shè)計的問題。2菲涅耳衍射變換按照標(biāo)量衍射理論，直角坐標(biāo)系中的菲涅耳衍射表述如下［3,6］：jXd U0jXd U0(X0,"0-8-8jI-x)+(y-y)Jdxdy2d 0 0I00（1）式中，j=v‘—1，k=2兀/人，人是光波長；U（x,y）為平面xy上的光波0 0 0 00場，UG,y）是經(jīng)過距離d的衍射后，觀測平面xy上的光波場.對上式兩邊作傅里葉變換并利用空域卷積定律得FU（x對上式兩邊作傅里葉變換并利用空域卷積定律得FU（x,y）｝=FU0（x0,y0）F］eXPjd）exp1—牛（f2+/2j,2xy=.FU0(x。,y0j(x2+y2』2d（2）式中，fx、f；是與空間坐標(biāo)x、y對應(yīng)的頻域坐標(biāo)。這樣，物平面x°y0上光波場的傅里葉變換表為

處( )72+f2)2xyexp—j(x2+處( )72+f2)2xyexp—j(x2+y』;FU0G。,*)}=FU(x,y)}exp]—jkd11-="ny腥1j2上式兩邊作逆傅里葉變換即得到與（1）式形式十分對稱的逆運算表達式U（x,y）=叫（-卿）jfv［,、項業(yè)—x）+（y-y）Idxdy000 —j人d 12d0 0J—8-8為便于下面的討論，將（1）式表征的菲涅耳衍射定義為菲涅耳衍射正變換，用符號Fd）｛｝表示，相應(yīng)地，（4）式定義為菲涅耳衍射逆變換，簡寫為乞｛｝，每個符號的下標(biāo)d為菲涅耳衍射距離。于是菲涅耳衍射變換對可以簡單地表為：UG,y)=F(d)U000,yj}U0G0,y0)=F*U(x,y)}由于上述正變換及逆變換均表為卷積形式，按照線性系統(tǒng)理論［1。］，作適當(dāng)?shù)碾x散處理后就能通過FFT進行卷積的快速計算求解。另外，如果將（1）（4）兩式寫為:U(x,y)=exjXdexpjk2d(3)(4)（5）（6）jjU(x,y)expf￡x2]exp—j2兀[吉x+gy1dxdy000 0d0)」|_ 0d0Xd0)」00—8—8TJ( )exp(-jkd) fjk](8)U0(x0,V'K^叫成吁)(8)jjUG,y)exp當(dāng)x2expjjUG,y)exp當(dāng)x2expVXd )VXd0Xd0)—8—8兩積分式則形成文獻［4］從另一種途徑導(dǎo)出的可用傅里葉變換及反變換計算的表達式，進行合理的離散處理后［11］，也可以用FFT作直接快速計算。菲涅耳衍射變換的建立為許多實際應(yīng)用提供了方便，例如，將菲涅耳衍射變換用于衍射元件設(shè)計的GS算法，可以方便地進行菲涅耳衍射區(qū)衍射元件的設(shè)計。3菲涅耳衍射變換在二元光學(xué)設(shè)計中的應(yīng)用在光束整形的應(yīng)用研究中，通常期望光波通過二元光學(xué)系統(tǒng)后成為一個給定強度分布并沿某預(yù)定方向傳播的平行光。這種既變換振幅又變換波面的二元光學(xué)系統(tǒng)通常可以由兩個二元光學(xué)元件組成［1］，圖1為所研究問題的示意圖，圖中，平面x0y0上的第一個元件作振幅變換，使到達xy平面的第二個元件表

面的光波強度分布滿足設(shè)計要求；第二個元件則作波面整形，使透過元件的光波成為沿光軸傳播的平面波。以下通過菲涅耳衍射變換討論光學(xué)元件的設(shè)計問題。設(shè)第一個元件的復(fù)振幅變換函數(shù)為rG,y），復(fù)振幅為"G,y）的光束0 0 0 i0 0自左向右傳播，期望通過距離d的傳播到達xy平面時形成復(fù)振幅為UG,y）的光波場。根據(jù)圖1有（9）UG,y)=FU(x,y)TG,（9）(d)i0 0 0 0 0圖1二元光學(xué)元件及坐標(biāo)定義Fig.1Binaryopticsandthedefinitionsofcoordinates對（9）式兩邊作菲涅耳衍射逆變換后容易得到（）F-1UG,y）｝（10）r0（x0,y0）=U（x,（10）TOC\o"1-5"\h\zi0 0令rA（x0y0）、P0（氣y0）以及expN（氣y0）］分別為二元光學(xué)元件的振幅透過率、光瞳及位相變換因子［6］，可將該元件的復(fù)振幅透過函數(shù)表為（11）T（x,y）=T（x,y）p（x,y）exp［升（x,y（11）0 0 0A0 0 0 0 0 0 0于是得到（12）p(x,y)exp【M,y也-^（12）000 00TG,yUG,y)A0 0i0 0由于光瞳內(nèi)P0(粉y0)=1是實函數(shù)，理想的純位相型元件應(yīng)滿足(13)T(x,y)=1(13)給定入射到元件表面的光波場U（x0,y0）及期望通過光學(xué)系統(tǒng)形成的光波場強度分布I（x,y）后，二元光學(xué)元件的設(shè)計主要任務(wù)是求出滿足制作工藝要求的位相變換因子，由于第二個光學(xué)元件的設(shè)計比較簡單，以下主要對第一個元件的設(shè)計作討論?；贕S算法［7~9］，現(xiàn)提出一種用菲涅耳衍射變換進行上述衍射元件設(shè)計的

方法。令Q(x,y)^0?2兀間滿足給定約束條件的隨機數(shù)，觀測平面的初始振幅可設(shè)為(14)U"y)=|UG,y)exp(Q(x,(14)式中，UG，y) I^x,y)，約束條件是Q(x,y)所確定的波面法線方向是來自第一個元件光瞳并指向I(x,y)的非零區(qū)域的方向。二元光學(xué)元件的理論嘗試解即為()F-1U(x,y)｝TOC\o"1-5"\h\zT板,y)=(d)(1 )(15)0100UVx,y(15)對上面得到的相位分布作量化處理［1,9］，得到附合光刻要求的嘗試解T0100,y0):T(x,y)=T(x,y) (16)101 0 0 01 0 01例如，利用二值化掩膜處理工藝的嘗試解的幅角可按下式作量化arg、§,y0)］=INT卜larg［半*孚 (17)式中L為正整數(shù)，INT｛｝表示對｛｝內(nèi)的數(shù)據(jù)作取整操作。當(dāng)設(shè)計完成后，L次掩膜融刻處理便能生成具有2l級不同位相調(diào)制的衍射元件［1］。將嘗試解歸一化，重新表出觀測平面的復(fù)振幅U：(xU：(x,y)=F(d)\u(x0,y0)t4^4

T\x,y)01001(18)上式規(guī)一化并將觀測平面復(fù)振幅重新設(shè)為(19)U(x,y)=U(x,y)"；/，：(19)i1 八|U；G,y)將上結(jié)果作為新的迭代計算初始值，反復(fù)進行從(二)到(五)的操作，直到獲得滿足誤差要求或達到設(shè)定迭代次數(shù)的復(fù)振幅變化函數(shù)T01(x。,y0)。如果應(yīng)用研究中只需要在xy平面形成期待的強度分布，可以不使用第二個光學(xué)元件。反之，如果期望經(jīng)過xy平面后的光波變?yōu)榫哂衅诖龔姸确植嫉钠矫娌?，在上面的設(shè)計已經(jīng)達到要求后，將最后一次迭代時到達觀沒平面的復(fù)振幅U,(x,y)作類同于(17)式的量化處理，第二個光學(xué)元件的復(fù)振幅透過函1數(shù)應(yīng)滿足：(20)T(x,y)=exp扁(x,y)］

(20)qG,qG,y)E*l￥｝草(21)至此，就基本完成了將光束強度分布進行變換并準(zhǔn)直的二元光學(xué)設(shè)計。4強激光變換設(shè)計實例在材料表面激光強化的應(yīng)用研究中，將光束變換為兩端強中間弱的帶形光斑后，在垂直于光斑長度方向作掃描處理可以獲得較均勻的硬化區(qū)［6,13］，圖2是這種光斑強度分布的示意圖。圖2光斑強度分布的理論設(shè)計。Fig.2Illustrationontheamplitudedistributionfordesignedbeam’sopticfield.根據(jù)圖中所標(biāo)注的參數(shù)，功率為P0的光斑的強度分布可表為I(x,I(x,y)=rectrmprect l"2b)2ab(h(22)現(xiàn)以獲得這種形式強度分布的光束為例進行二元光學(xué)設(shè)計。（一）設(shè)計參數(shù)定義根據(jù)上面提出的設(shè)計方法，入射光波場可以任意給定，為給出數(shù)值計算實例，設(shè)入射光波場為功率P0波面半徑為R的球面波，其復(fù)振幅為（23）0 0x2+y2W0 0x2+y2W2(_exp-2kw2)（24）式中，w，門為常數(shù)。選擇不同的數(shù)值可以獲得不同的強度分布［6,13］。令二元光學(xué)元件具有邊長D的方形光瞳，實際制作時劃分為NXN個方形單元，即每個單元的寬度為5/N，現(xiàn)利用本文的討論進行設(shè)計。（二）設(shè)計實例設(shè)N=256,D=30mm，L=4,w=5mm，門=0.2,P°=2000W，R=500mm，d=200mm，a=10mm，b=2mm,h1/h2=0.7，將（1）（4）兩式作NxN點離散處理，取樣寬度為&圖3b給出經(jīng)過10次迭代處理后在平面xy上光斑的強度分布。為便于比較變換前后光束的強度分布，在同一標(biāo)度下圖3a給出入射光束的分布。經(jīng)統(tǒng)計，落入理想光斑矩形邊界內(nèi)的光能占光束總能量的87.9%。(a) (b)圖3入射光束(a)及變換后光束(b)的強度分布比較(圖面尺寸30mmx30mm)Fig.3.Comparisonofamplitudedistributionbetweenincidentlight(a)andtransformedlight(b)(dimension:30mmx30mm)比較入射光束與變換后光束的強度分布可以看出，變換后光束具有整齊的矩形邊界，對于準(zhǔn)確控制激光熱作用區(qū)十分有利，然而，光斑局部均勻度并不好，沒有理想的平滑過度，還有待于作進一步優(yōu)化設(shè)計處理。盡管如此，設(shè)計實例對菲涅耳衍射變換用于菲涅耳衍射區(qū)二元光學(xué)設(shè)計的可行性給出了可靠的證明，并且，利用激光熱處理溫度場快速計算理論［6,14］容易證明，所得的設(shè)計結(jié)果已經(jīng)能夠滿足金屬材料激光熱處理的需要。例如，某金屬材料的熱物性參數(shù)為［13］：導(dǎo)熱系數(shù)0.04W/Kmm，熱擴散系數(shù)10mm2/s，金屬材料表面吸收系數(shù)0.8。若激光功率為2000W，令變換后光束沿垂直于光斑長度方向以速率5mm/s掃描金屬材料表面，觀測時刻是激光作用后2秒，利用瞬態(tài)溫度場的快速計算方法并選擇材料迅速加熱時的奧氏體化溫度為760。［13］，求得垂直于光束掃描方向的相變硬化帶剖面尺寸如圖4a；熱處理過程中該硬化區(qū)達到的最高溫度示于圖4b(圖中最上面一條曲線對應(yīng)于z=0的材料表面，往下是深度間隔每增加Az=0.24mm后的曲線)。研究圖4a可以看出，我們得到了寬度約19mm，厚度接近1mm的比較均勻的硬化帶；而圖4b表明，光斑的局部不均勻性對熱作用結(jié)果的影響可以忽略不計，因為只有在z=0的表面溫度曲線上看到光束強度的局部非平滑過度帶來的微弱影響，由于熱擴散效應(yīng)，在表面以下0.24mm的溫度曲線已經(jīng)完全平滑化。15DUc(a) (b)圖4相變硬化帶模擬(a)及熱處理過程中該硬化區(qū)達到的最高溫度模擬(b)。Fig.4.Simulatedhardenzone(a),andthemaximumtemperatureduringannealinginthehardenzone(b).5討論

由于菲涅耳衍射變換可以通過FFT快速計算，作為菲涅耳衍射變換的一種應(yīng)用，我們基于GS算法，提出了在菲涅耳衍射區(qū)純位相型衍射元件的快速設(shè)計方法，并簡單地給出了一個設(shè)計實例。應(yīng)該指出，由于設(shè)計只采用位相自由度，較難達到十分滿意的設(shè)計目標(biāo)，可以證明，如果在設(shè)計中增加振幅自由度，通過為數(shù)不多的迭代計算就能較好地達到要求，但這種設(shè)計通常會使衍射效率下降［9］，對于具有熱效應(yīng)的強激光而言，過多的衍射效率下降將引入對衍射元件的冷卻問題，因此，純位相型元件設(shè)計方法的研究有重要意義。如果期望對設(shè)計結(jié)果作進一步優(yōu)化，改善變換后光束的局部強度分布均勻性，可以將設(shè)計結(jié)果作為YG算法［9］的疊代初始值［1］，再通過YG算法獲得較好的結(jié)果。但對于金屬材料激光表面處理這一類應(yīng)用而言，進一步優(yōu)化并不十分必要。菲涅耳衍射變換的表達式比較簡單，本文只對菲涅耳衍射的逆運算作了必要的推導(dǎo)。事實上，從基爾霍夫公式、瑞利一索末菲公式以及角譜理論出發(fā)，不但可以實現(xiàn)衍射的逆運算，而且這幾個衍射計算公式及其逆運算均可以利用FFT進行快速計算［6］。從嚴(yán)格的理論意義而言，基爾霍夫公式、瑞利一索末菲公式以及角譜理論是衍射問題的更準(zhǔn)確的描述［3］，根據(jù)本文的討論，將相應(yīng)的表達式用于GS算法中，將能形成以不同的衍射計算公式為基礎(chǔ)的二元光學(xué)設(shè)計方法，獲得更好的理論設(shè)計結(jié)果。例如，沿用本文所采用的坐標(biāo)及各參數(shù)定義，并注意到衍射平面與觀測平面間的坐標(biāo)關(guān)系x0=x,片斗，光傳播空間中兩平面光波場間的相互運算可以表為下述不同形式。(一)根據(jù)衍射的角譜理論可得：U(x,y)=F-1<F"yT。(x,y)}exp［jk"-(f)-(Q］}.(x,yTG,y)=F-i<FU(x,y)}exp[一jkz^1-(f)_kf(二)根據(jù)基爾霍夫公式可得：UG,y)=F-1F-UG,yTG,y)鬲f,f)}i 0 Jxyu,G,y)toG,y)=穿」：f)[jj,其中，hf,f)=」ej2±x2±2pZ2T^+zJxyIj2人Y2+x2+y2/根據(jù)瑞利一索末菲公式可得：UG,y)=歹-1F-UG,yTG,y)Hf,f)}i 0 RxyU(x,U(x,yTG,y)=其中，氣(fx,fy)=F參照本文3的討論，可以將以上幾組不同的表達式用于衍射元件的設(shè)計。實際計算表明，當(dāng)所計算的問題是在菲涅耳衍射區(qū)時，使用以上諸式所得的結(jié)果與使用菲涅耳衍射變換設(shè)計的結(jié)果沒有本質(zhì)區(qū)別，但計算量各不相同［61因此，根據(jù)實際設(shè)計問題的需要，通過不同衍射計算公式的合理選擇，可以較好地完成設(shè)計任務(wù)。參考文獻：1金國藩，嚴(yán)英白，鄔敏賢等著，二元光學(xué)，國防工業(yè)出版社，1998：238?241。JunchangLi,BinghengXiong,LiyunZhong,XiaoxuLu,“InverseCalculationofDiffractionanditsApplicationtotheReal-timeHolographicInterferometry”，ProceedingsoftheSPIE,2000,Vol,4659.pp.284-290.PracticalHolographyXVI,partofIS&T/SPIE’sElectronicImaging2002,Jan.,SanJose,CA,USAJ.W.Goodman,“IntroductiontoFourierOptics”，McGraw-Hill,NewYork,1988,p90-94.4王潤文葉超，衍射光學(xué)元件的解析方分析法，光學(xué)學(xué)報，Vol.15,No.12,December,1996:P1607-1612.5孫添資董智麗，利用分數(shù)傅里葉變換設(shè)計衍射光學(xué)元件，量子電子學(xué)報，Vol.17,No.4,Aug.,2000:P369-372.6李俊昌著，激光的衍射及熱作用計算，科學(xué)出版社，2002：159~160R.W.Gerchberg,W.O.Saxton,Apracticalalgorithmforthedeterminationofthephasefromimageanddiffractionplanep