數(shù)字邏輯邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字邏輯邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1第一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.1邏輯代數(shù)的基本概念邏輯代數(shù)：是由邏輯變量集、常量“0”、“1”及“與”、“或”、“非”等運(yùn)算符號(hào)、函數(shù)、表達(dá)式等構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)。利用邏輯代數(shù)可以描述任何復(fù)雜的電路中條件與輸出結(jié)果間的邏輯關(guān)系。邏輯代數(shù)中也用字母表示變量,這種變量稱為邏輯變量。變量的取值只能是1或0，代表邏輯電路中兩種不同的邏輯狀態(tài)，如開關(guān)的閉合與打開，電路的導(dǎo)通與截止，電壓與電流的有或無等。2第二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六1、基本邏輯運(yùn)算

1）邏輯“與”運(yùn)算對于邏輯問題，如果決定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件必須同時(shí)具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“與”邏輯。邏輯代數(shù)中，“與”邏輯關(guān)系用“與”運(yùn)算描述?！芭c”運(yùn)算又稱為邏輯乘，其符號(hào)為“·”、“∧”、“AND”。

邏輯表達(dá)式：F=A·B=A∧B=

1(A、B均為1)0(A、B中任一為0)3第三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六4第四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2）邏輯“或”運(yùn)算對于邏輯問題，如果決定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“或”邏輯。邏輯代數(shù)中，“或”邏輯關(guān)系用“或”運(yùn)算描述?！盎颉边\(yùn)算又稱為邏輯加，其符號(hào)為“+”、“∨”、“OR”。邏輯表達(dá)式：F=A+B=A∨B=1(A、B中任一為1)0(A、B均為0)5第五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六舉例

6第六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3）邏輯“非”運(yùn)算對邏輯問題，如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯。邏輯“非”又稱為邏輯反運(yùn)算.運(yùn)算符號(hào)：“—”（上面加橫線）邏輯表達(dá)式為：F==—A1（A=0）0（A=1）7第七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六4）復(fù)合邏輯運(yùn)算①與非邏輯②或非邏輯③與或非邏輯④異或邏輯⑤同或邏輯8第八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3、邏輯函數(shù)在數(shù)字電路中，如某一輸出變量與一組輸入變量存在著一定對應(yīng)關(guān)系，即輸入變量取任意一組確定的值，輸出變量的值也就唯一地被確定，則稱這種關(guān)系為邏輯函數(shù)關(guān)系。設(shè)輸入變量為A1,A2,…An,輸出變量為F，則：F=f(A1,A2,…An)。注意：1.無論自變量或函數(shù)均只能取0或1兩值。函數(shù)和自變量的關(guān)系只能由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算來定義。2.設(shè)F1=f１(A1,A2,…An)，F(xiàn)2=f２(A1,A2,…An)，若對應(yīng)于A1,A2,…An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等，記成F1=F2。9第九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.2邏輯代數(shù)的公理、定理及規(guī)則1.公理系統(tǒng)：(滿足一致性、獨(dú)立性和完備性)交換律：A+B=B+A，A?B=B?A；結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);(A?B)?C=A?(B?C)分配律：A+(B?C)=(A+B)?(A+C)A?(B+C)=A?B+A?C

0-1律：A+0=A，A?1=A；A+1=1，A?0=0互補(bǔ)律：A+A=1，A?A=010第十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2、基本定理(由上述公理推出下述基本定理)定理1：0+0=0，1+0=1，0+1=1，1+1=10·0=0，1·0=0，0·1=0，1·1=1證明：由公理4(0-1律)，分別以0和1代替A，可得上述各式。推論：1=0，0=1證明：由公理5(互補(bǔ)律)，分別以0和1代替A，可得上述兩式。11第十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理2：A+A=A，A·A=A（重疊律）證明：A+A=(A+A)·1公理4（0-1律）=(A+A)·(A+A)公理5（互補(bǔ)律）=A+(A·A)公理3（分配律）=A+0公理5=A公理4證明：A·A=A·A+0公理4=A·A+A·A公理5=A(A+A)公理3=A公理412第十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理3：

A+A?B=A（吸收律）證明：A+A?B=A?1+A?B 公理4（0-1律）=A?(1+B) 公理3（分配律）=A?1 公理4=A 公理4

A?(A+B)=A證明：A?(A+B)=A?A+A?B 公理3=A+A?B=A

13第十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理4：A+A?B=A+B（消因律）證明：A+A?B=(A+A)?(A+B)(分配律) =1?(A+B) (互補(bǔ)律)=A+B (0-1律)

A?(A+B)=A?B證明:A?(A+B)=A?A+A?B (分配律)=0+A?B

(互補(bǔ)律)=A?B (0-1律)

14第十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理5：A=A（還原律）證明

:由公理5可以得出A=A15第十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理6：(摩根定理)(是最重要和有用的定理)A+B=A?BA?B=A+B

證明:定義兩組邏輯式為A+B和A?B，則(A?B)+(A+B)=(A?B+A)+B 結(jié)合律=(A+A?B)+B 交換律=(A+A)?(A+B)+B 分配律=1?(A+B)+B=(A+B)+B=A+1=1(A?B)?(A+B)=A?B?A+A?B?B 分配律=B?0+A?0 互補(bǔ)律=0+0=016第十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六因此，根據(jù)公理5（互補(bǔ)律）可得到：

A+B=A?B，或是

A+B=A?B即得證同理，可證明：

A?B=A+B17第十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理7（合并律）

A?B+A?B=A(A+B)?(A+B)=A證明：A?B+A?B=A?(B+B)公理3=A?1公理5=A公理4

(A+B)?(A+B)=A+(B?B)公理3=A+0公理5=A公理418第十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六定理8（包含律、多余項(xiàng)定理）：A?B+A?C+B?C=A?B+A?C

(A+B)?(A+C)?(B+C)=(A+B)?(A+C)

19第十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3、邏輯代數(shù)三條重要規(guī)則規(guī)則1：代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。用途：利用代入規(guī)則，可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。20第二十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六規(guī)則2：反演規(guī)則：如果將邏輯函數(shù)式F中所有的“?”變成“+”，“+”變成“?”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，則所得到的新函數(shù)表達(dá)式為原函數(shù)F的反函數(shù)F。例：F=AB+BCD，則F=(A+B)(B+C+D)用途：利用反演規(guī)則，可以方便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。21第二十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六規(guī)則3：對偶規(guī)則：如果將邏輯函數(shù)式F中所有的“?”變成“+”，“+”變成“?”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，而邏輯變量保持不變，則所得到的新函數(shù)表達(dá)式稱為原函數(shù)F的對偶式，記作Fˊ。對偶規(guī)則:若F和G相等,則Fˊ和Gˊ也相等。即若兩函數(shù)相等，則其對偶式也相等。用途：根據(jù)對偶規(guī)則,若某兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式相等,則它們的對偶式也必定相等?？墒苟ɡ砗凸降淖C明減少一半。（如定理7、8等）22第二十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.3邏輯函數(shù)的表達(dá)形式與轉(zhuǎn)換2.3.1邏輯函數(shù)的表示方法：1、邏輯表達(dá)式：即由邏輯變量、邏輯常量和運(yùn)算符所構(gòu)成的式子。前面已經(jīng)通過邏輯表達(dá)式討論了公理、定理和規(guī)則。

注意：非運(yùn)算可以不加括號(hào)、與運(yùn)算符通常省略、運(yùn)算優(yōu)先級(jí)由高到低為非、與、或。23第二十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式1、“積之和”是指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含著若干個(gè)“積”項(xiàng)，每個(gè)“積”項(xiàng)中可有一個(gè)或多個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“積”項(xiàng)的“和”就表示了一個(gè)函數(shù)。例如：B、AB、ABC均為“積”項(xiàng)，而它們的“積”之“和”就構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)：

F=B+AB+ABC“積之和”又被稱為“與-或表達(dá)式”。24第二十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六最小項(xiàng)表達(dá)式一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“積”項(xiàng)如果包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)“積”項(xiàng)被稱為最小項(xiàng)。例如三變量最小項(xiàng)：ABC、ABC、ABC等等。如果一個(gè)函數(shù)完全由最小項(xiàng)組成，則稱該函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“積之和”表達(dá)式，即最小項(xiàng)表達(dá)式。25第二十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六問題：由n個(gè)變量組成的最小項(xiàng)總共可有多少個(gè)？因?yàn)樽钚№?xiàng)中每個(gè)變量可以用原變量和反變量兩種形式出現(xiàn)，所以n個(gè)變量共可以組成2n個(gè)最小項(xiàng)，即3個(gè)變量可以組成8個(gè)最小項(xiàng)。通常用mi表示最小項(xiàng)，下標(biāo)i是怎樣確定的呢？當(dāng)ABC…確定后，如果將原變量看成1，反變量看成0，則1和0就排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是最小項(xiàng)的下標(biāo)i的值。例如：ABC→(011)2=(3)10→m3,3個(gè)變量的最小項(xiàng)有如下8個(gè)：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7。26第二十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六所以函數(shù)F(A、B、C)=ABC+ABC+ABC+ABC=∑m(2、3、6、7)注意：等式左邊括號(hào)內(nèi)變量的順序非常重要，與最小項(xiàng)的編號(hào)有關(guān)，切記！任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成若干個(gè)最小項(xiàng)的“和”。27第二十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六最小項(xiàng)性質(zhì)：１、對于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量的取值使其為１。２、對于任一組變量的取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積為０。３、ｎ變量的全部最小項(xiàng)之和為１。４、ｎ個(gè)變量的任一最小項(xiàng)，都有ｎ個(gè)相鄰的最小項(xiàng)。28第二十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2、“和之積”指一個(gè)函數(shù)表達(dá)式中包含著若干個(gè)“和”項(xiàng)，每個(gè)“和”項(xiàng)中可有一個(gè)或多個(gè)以原變量或反變量形式出現(xiàn)的字母，所有這些“和”項(xiàng)的“積”就表示了一個(gè)函數(shù)。例如：(A+B)、(B+C)、(A+B+D)均為“和”項(xiàng)，而它們的“和”之“積”就構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)：

F=(A+B)(B+C)(A+B+D)“和之積”又被稱為“或-與表達(dá)式”。29第二十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六最大項(xiàng)表達(dá)式：一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“和”項(xiàng)如果包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)“和”項(xiàng)被稱為最大項(xiàng)。例如：A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。如果一個(gè)函數(shù)完全由最大項(xiàng)組成，則稱該函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“和之積”表達(dá)式，即最大項(xiàng)表達(dá)式。30第三十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六問題：由n個(gè)變量組成的最大項(xiàng)總共可有多少個(gè)？因?yàn)樽畲箜?xiàng)中每個(gè)變量可以用原變量和反變量兩種形式出現(xiàn)，所以n個(gè)變量共可以組成2n個(gè)最大項(xiàng)，即3個(gè)變量可以組成8個(gè)最大項(xiàng)，例如：由A、B、C三個(gè)變量組成的最大項(xiàng)可以有如下8個(gè)：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C。通常用Mi

表示最大項(xiàng)，i是怎樣確定的呢？當(dāng)ABC…確定后，如果將原變量看成0，反變量看成1，則0和1就排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是最大項(xiàng)的下標(biāo)i的值。例如：A+B+C(010)2=(2)10M231第三十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六所以函數(shù)F(A、B、C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=∏M(2、3、6、7)注意：等式左邊括號(hào)內(nèi)變量的順序非常重要，與最大項(xiàng)的編號(hào)有關(guān)，切記！任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成若干個(gè)最大項(xiàng)的“積”的形式。32第三十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六推論：n個(gè)變量的2n個(gè)最大項(xiàng)不是包含在F的標(biāo)準(zhǔn)“和之積”之中，便是被包含在F的標(biāo)準(zhǔn)“和之積”之中。推論：n個(gè)變量的2n個(gè)最大項(xiàng)之積恒等于0。33第三十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六問題：最小項(xiàng)和最大項(xiàng)有什么關(guān)系？下標(biāo)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系。即：

Mi=mi

mi=Mi

例如：m3=ABC，則M3=A+B+C

因?yàn)镸3=A+B+C，所以M3=A+B+C=ABC=m334第三十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3、其它形式例如F=(AB+D)(AB+CD)上式既不是“與或”表達(dá)式，也不是“或與”表達(dá)式，但通過一定的運(yùn)算，可以轉(zhuǎn)換成“與或”表達(dá)式或“或與”表達(dá)式。

F=(A+D)(B+D)(AB+C)(AB+D)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)(A+D)(B+D)=(A+D)(B+D)(A+C)(B+C)

即得“或與”表達(dá)式，同理可得“與或”表達(dá)式35第三十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.3.4邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換通常都轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式(最小項(xiàng)或最大項(xiàng)):一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法1、轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對表達(dá)式進(jìn)行邏輯變換。過程如下：①將表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“與—或表達(dá)式”。②將表達(dá)式中非最小項(xiàng)的“與”項(xiàng)都擴(kuò)展成最小項(xiàng)。36第三十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例：將F=A+BC轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和F=A+BC=A(B+B)(C+C)+(A+A)BC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=∑m(1,4,5,6,7)37第三十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例：將F=(AB+AB+C)AB轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)之和38第三十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2、轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對表達(dá)式進(jìn)行邏輯變換。過程如下：①將表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“或—與表達(dá)式”。②將表達(dá)式中非最大項(xiàng)的“或”項(xiàng)都擴(kuò)展成最大項(xiàng)。39第三十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例如2.3：將F=AB+AC轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)之積。F=AB+AC=AB?AC=(A+B)(A+C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M6M7M1M3=∏M(1,3,6,7)40第四十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六二、真值表轉(zhuǎn)換法由邏輯變量的所有可能取值的組合及其對應(yīng)的邏輯函數(shù)值所構(gòu)成的表格。是一種輸入變量的窮舉表。對應(yīng)每一個(gè)邏輯函數(shù)的表達(dá)式可以列出其真值表，由每一個(gè)真值表也可以寫出其對應(yīng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式。41第四十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六真值表轉(zhuǎn)換為邏輯表達(dá)式１、轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)當(dāng)列出真值表后，只要將真值表中取值為1的最小項(xiàng)或起來，就可以得到函數(shù)的與或表達(dá)式這樣得到的一般是最小項(xiàng)表達(dá)式。２、轉(zhuǎn)換成最大項(xiàng)當(dāng)列出真值表后，只要將真值表中取值為0的最大項(xiàng)與起來，就可以得到函數(shù)的表達(dá)式。42第四十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例如：三人表決器。43第四十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3、卡諾圖：

邏輯關(guān)系的一種圖形表示形式。同時(shí)也是化簡邏輯表達(dá)式的一種非常有效的方法。卡諾圖是一種直觀的平面方塊圖。它根據(jù)輸入變量的數(shù)量n將平面劃分為2n

個(gè)方格，用來表示全部輸入變量組合項(xiàng)或者表示全部輸出項(xiàng)。后面詳細(xì)討論。44第四十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.4邏輯函數(shù)的化簡為什么要討論邏輯函數(shù)的化簡?

一般地說,邏輯函數(shù)表達(dá)式愈簡單,則其對應(yīng)的邏輯電路也就愈簡單,工作就愈可靠,成本就愈低。雖然同一個(gè)邏輯函數(shù)可以有不同的表達(dá)式的形式,但是它們的邏輯功能都是相同的,所以人們必須對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡,求得最簡的邏輯表達(dá)式。45第四十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六什么樣的邏輯函數(shù)表達(dá)式算是最簡的呢？

1、如果最后得到的式子是“與-或”形式的，則在滿足“與”項(xiàng)必須為最少的條件下，每個(gè)“與”項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)必須為最少。

2、如果最后得到的式子是“或-與”形式的，則在滿足“或”項(xiàng)必須為最少的條件下，每個(gè)“或”項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)必須為最少。46第四十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.4.1代數(shù)化簡法：

利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對表達(dá)式進(jìn)行邏輯化簡。1、“與-或”表達(dá)式的化簡(1)并項(xiàng)法:ABC+ABC=AB(2)吸收法:B+ABD=B(3)消去法:A+AB+DE=A+B+DE(4)配項(xiàng)法:AB+AC+BC=AB+AC47第四十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例、化簡下面函數(shù)。F=A+AB+AB+ABF=AC+ABC+ACD+CDF=A(B+C)(A+B+C)(ABC)(AB+AC)=AB+AC48第四十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2、“或-與”表達(dá)式的化簡如何對“或-與”表達(dá)式進(jìn)行化簡？①利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對表達(dá)式進(jìn)行邏輯化簡。②如果對“或-與”不太熟悉，則可用兩次求對偶的方法。先將“或-與”求對偶轉(zhuǎn)換成“與-或”，然后化簡得出最簡式，最后再求一次對偶，即可得到最簡的“或-與”表達(dá)式。49第四十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六

總結(jié)

邏輯代數(shù)化簡要求對邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則非常熟悉，技巧性很強(qiáng)，有一定的難度，優(yōu)點(diǎn)是化簡時(shí)不受邏輯變量數(shù)目的約束。50第五十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2.4.2卡諾圖化簡法1、卡諾圖的構(gòu)成

n變量的卡諾圖是一種由2n個(gè)方格構(gòu)成的圖形，每個(gè)方格表示邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)，由于任何函數(shù)都可以表示成“最小項(xiàng)之和”形式，所以邏輯函數(shù)可由卡諾圖中若干個(gè)方格組成的區(qū)域來表示。51第五十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六

AAA+A=1BBB+B=1一變量卡諾圖52第五十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六兩變量卡諾圖如下：AB0101m0m2m1m3ABAA01ABABABABB0B1只有一個(gè)變量不同的任何兩個(gè)最小項(xiàng)稱為相鄰。每一個(gè)方格和2個(gè)方格相鄰.53第五十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六三變量卡諾圖

下圖為三變量卡諾圖?？ㄖZ圖的左邊、上邊書寫自變量的可能取值，規(guī)則是相鄰只有一位變。方格中間則表明最小項(xiàng)。ABC0001111001m0m2m6m4m1m3m7m5每一個(gè)方格和3個(gè)方格相鄰。ABCABCABCABCABCABCABCABCABC010001111054第五十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六四變量卡諾圖m0

m4

m12

m8

m1

m5

m13

m9

m3

m7

m15

m11

m2

m6

m14

m10CDAB0001111000011110ADBC每一個(gè)方格和4個(gè)方格相鄰。55第五十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六總結(jié)一個(gè)含有n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)方格組成，每個(gè)方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，在n個(gè)變量的卡諾圖中，能直觀、方便地找到每個(gè)最小項(xiàng)(方格)的n個(gè)相鄰最小項(xiàng)(方格)。所謂相鄰，就是最小項(xiàng)只含有一個(gè)不同的變量。56第五十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六2、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示如果邏輯函數(shù)已經(jīng)轉(zhuǎn)換成“最小項(xiàng)”之和的形式，則只要在卡諾圖上找到這些最小項(xiàng)的方格，并標(biāo)以1，其它方格，標(biāo)以0，就得到該函數(shù)的卡諾圖。例如：F=m1+m2+m3AB

0101

011157第五十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六又如：F(A.B.C)=∑m(0,3,5)畫出對應(yīng)的卡諾圖如下：ABC0001111001

1000010158第五十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六再如：F(A.B.C.D)=∑m(0,3,5,7,10,11,12,14)畫出對應(yīng)的卡諾圖如下：ABCD0001111000011110101001001101001159第五十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六如果邏輯函數(shù)是“與-或”表達(dá)式，則要將各“與”項(xiàng)分別表示在卡諾圖上，然后填入1。如：F(A.B.C)=AC+AB+ABC+BCABC00011110010100111160第六十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六3.卡諾圖上最小項(xiàng)的合并卡諾圖上合并最小項(xiàng)的基本原理是根據(jù)邏輯代數(shù)定理7：AB+AB=A，因?yàn)樗砻?，如果兩個(gè)“與”項(xiàng)(最小項(xiàng))只有一個(gè)變量不同，其余變量都相同，則這兩個(gè)“與”項(xiàng)可以合并，并消去這個(gè)不同的變量。由于卡諾圖的每個(gè)方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，兩個(gè)相鄰方格僅有一個(gè)變量不同，因而可以合并成一個(gè)較大的區(qū)域，并用一個(gè)“與”項(xiàng)來表示。61第六十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六二變量卡諾圖的三種典型相鄰方格的合并圖AB0101兩個(gè)最小項(xiàng)合并AB0101AB0101001110101110其中AB分別和AB及AB相鄰,合并消去兩個(gè)變量AB+AB=BAB+AB=AAB+AB+AB=A+B消去一個(gè)變量消去一個(gè)變量62第六十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六三變量卡諾圖的兩種典型相鄰方格的合并圖四個(gè)最小項(xiàng)合并ABC0001111001ABC0001111001001100101100110m0、m1、m4、m5相鄰，m2、m3、m6、m7相鄰，合并成B(消去2個(gè)變量)合并成B(同左)63第六十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六例如：C1111AB0001111001以三人表決邏輯為例：根據(jù)真值表得到的邏輯表達(dá)式為：F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7ABBCAC根據(jù)卡諾圖化簡結(jié)果：F=AB+BC+AC相鄰的方格可以合并。64第六十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六四變量卡諾圖的三種典型相鄰方格的合并圖四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的三種情況，消去2個(gè)變量ABCD0001111000011110ABCD0001111000011110ABCD000111100001111000101100110100101101001100101100100010011110100m0+m2+m8+m10=BDm5+m7+m13+m15=BDm1+m3+m9+m11=BDm4+m6+m12+m14=BDm4+m5+m6+m7=ABm3+m7+m11+m15=CD65第六十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六四變量卡諾圖的兩種典型相鄰方格的合并圖八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的兩種情況，消去3個(gè)變量ABCD0001111000011110ABCD000111100001111001100110011001101001100110011001F=BF=B66第六十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六推論在n個(gè)變量組成的卡諾圖中，2n個(gè)標(biāo)以1的相鄰方格都可以進(jìn)行合并，即由2n個(gè)相鄰方格所表示的最小項(xiàng)并成一項(xiàng)(為1)，并且消去n個(gè)變量。67第六十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六4、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)：１、任何兩個(gè)標(biāo)“1”的相鄰單元可以形成一個(gè)圈，從而消去一個(gè)變量；２、部分四個(gè)標(biāo)“1”的相鄰單元可以形成一個(gè)圈，從而消去兩個(gè)變量；３、部分八個(gè)標(biāo)“1”的相鄰單元可以形成一個(gè)圈，從而消去三個(gè)變量；４、卡諾圖化簡的過程就是在卡諾圖上找出能夠覆蓋給定函數(shù)全部為1的單元的圈，它應(yīng)該滿足個(gè)數(shù)最少、同時(shí)覆蓋面盡可能大。然后寫出其對應(yīng)的邏輯表達(dá)式。68第六十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六CDAB000111100001111011111111例：試用卡諾圖化簡下面的邏輯表達(dá)式。解：根據(jù)邏輯表達(dá)式做出卡諾圖如下：根據(jù)卡諾圖化簡規(guī)則，最后得到化簡后的結(jié)果：69第六十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期六CDAB000111101111000111101111例：試用卡諾圖化簡下面的邏輯表達(dá)式。

解：根據(jù)邏輯表達(dá)式做出卡諾圖如下： 根據(jù)卡諾圖化簡 規(guī)則，最后得到 化簡后的結(jié)果：ABCDD