概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件置信區(qū)間

概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件置信區(qū)間第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

1,2分別稱為置信下限和置信上限.(1-)稱為置信度。注意：區(qū)間[1,2]是隨機(jī)區(qū)間。二、單側(cè)置信限

若對于給定的(0<<1),統(tǒng)計(jì)量1(x1,x2,,xn)滿足

2第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六則稱區(qū)間[1,+)為相應(yīng)于置信度是1-的單側(cè)置信區(qū)間，1稱為置信度是1-的單側(cè)置信下限。類似，滿足下式問題:

如何確定總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)[1,2]呢？對于一般總體是難于確定的.現(xiàn)僅能確定正態(tài)總體N(,2)中參數(shù),2的區(qū)間估計(jì)這對許多實(shí)際應(yīng)用已經(jīng)夠了.的2為單側(cè)置信上限。第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

第四節(jié)正態(tài)分布均值和方差的區(qū)間估計(jì)4第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六抽樣本分布的某些結(jié)論(Ⅰ)

一個(gè)正態(tài)總體與相互獨(dú)立設(shè)總體的樣本為()，則(1)(2)5第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六(II)

兩個(gè)正態(tài)總體設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本它們相互獨(dú)立.令6第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六則若則(3)7第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六設(shè)是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本是來自正態(tài)總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本,它們相互獨(dú)立.則8第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六與相互獨(dú)立9第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六(4)10第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)總體X~N(,2)，其中2已知，又X1,X2,,Xn為來自于總體的樣本。一.均值EX的區(qū)間估計(jì)下面分兩種情況進(jìn)行討論。1.方差DX已知，對EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì)由第七章第三節(jié)中的結(jié)論可知于是

11第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六即

由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可知，對于給定的，可以找到一個(gè)數(shù)z1-/2

，使12第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

當(dāng)＝0.05時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值此時(shí)的置信區(qū)間是

即為的置信區(qū)間。稱z1-/2為在置信度1-下的臨界值，或稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。區(qū)間第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

當(dāng)＝0.01時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得臨界值此時(shí)的置信區(qū)間是14第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例1.已知某種滾珠的直徑服從正態(tài)分布，且方差為0.06，現(xiàn)從某日生產(chǎn)的一批滾珠中隨機(jī)地抽取6只，測得直徑的數(shù)據(jù)（單位mm）為14.615.114.914.815.215.1

試求該批滾珠平均直徑的95％置信區(qū)間。解當(dāng)＝0.05時(shí)，1-=0.95,查表得

第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六于是故所求置信區(qū)間為第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六實(shí)際應(yīng)用中往往是D(X)未知的情況。

設(shè)x1,x2,,xn為正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，由于2未知，我們用樣本方差S2來代替總體方差2，

2.方差D(X)未知，對EX進(jìn)行區(qū)間估計(jì)17第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六U與V獨(dú)立根據(jù)第七章定理四，統(tǒng)計(jì)量請比較U與T第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

對給定的，查t分布表可得臨界值使得19第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六即故得均值的置信區(qū)間為當(dāng)=0.05，n=9時(shí)，查t分布表得臨界值

因此，在方差2未知的情況下，的置信區(qū)間是20第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例2:設(shè)有某種產(chǎn)品,其長度服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9件,得樣本均值＝9.28(cm),樣本標(biāo)準(zhǔn)差

s＝0.36(cm),試求該產(chǎn)品平均長度的90％置信區(qū)間.解：當(dāng)=0.1,n=9時(shí),查t分布表得于是故所求置信區(qū)間為〔9.06，9.50〕。21第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)總體是來自于總體的樣本?，F(xiàn)利用樣本給出2的置信區(qū)間。考慮統(tǒng)計(jì)量二.方差DX的區(qū)間估計(jì)由第七章定理三可知，統(tǒng)計(jì)量

22第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

于是，對給定的(0<<1)，查2分布表，可得臨界值使得23第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

因此，當(dāng)總體N(,2)中的參數(shù)為未知的情況下，方差2的置信區(qū)間為24第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六注意這里選取的臨界值不是唯一的。例如可以選取順便指出，的置信區(qū)間是

等等。25第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例3.某自動車床生產(chǎn)的零件,其長度X服從正態(tài)分布,現(xiàn)抽取16個(gè)零件，測得長度(單位：mm)如下：

12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06試求DX的置信度為95%的置信區(qū)間。解：經(jīng)計(jì)算查分布表得26第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六故DX的置信區(qū)間為

27第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六第五節(jié)二正態(tài)總體均值和方差比的區(qū)間估計(jì)相應(yīng)的樣本均值和樣本方差為一.二正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)和任務(wù):求按總體方差的不同情況分別進(jìn)行討論。的置信區(qū)間.28第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六1.方差和都已知由第七章第三節(jié)中的結(jié)論可知于是29第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六如同上節(jié)一樣討論，可得的置信區(qū)間為30第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六2.方差和都為未知

這時(shí)，只要m,n足夠大，就以分別代替并用作為的近似置信區(qū)間。難題31第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六3.方差且為未知由第七章定理五知,統(tǒng)計(jì)量

服從t(m+n-2)分布。由此可得的置信區(qū)間為

32第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六據(jù)經(jīng)驗(yàn)兩臺車床產(chǎn)品的直徑都服從正態(tài)分布，且它們的方差相等，求二總體均值差的95%置信區(qū)間。

例1.兩臺車床A和B生產(chǎn)同一種零件，現(xiàn)比較AB所生產(chǎn)的零件的直徑的均值是否有差異。隨機(jī)取A車床產(chǎn)品8個(gè)，測得均值標(biāo)準(zhǔn)差抽取B車床產(chǎn)品9個(gè)，測得均值標(biāo)準(zhǔn)差33第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六解：由抽樣的隨機(jī)性可推知兩樣本相互獨(dú)立，又因它們的總體方差相等，因此由(*)式可求得置信區(qū)間。查t分布表得臨界值在這里34第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六故所求置信區(qū)間是[0.077，0.683]，由此可認(rèn)為

35第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)二正態(tài)總體和，其中參數(shù)均為未知。是分別來自于兩總體且容量各為m和n的獨(dú)立樣本的方差考慮統(tǒng)計(jì)量二.正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)36第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六由于所以~F(m-1,n-1)37第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六

對于給定的，查F分布表得臨界值

于是，的1-置信區(qū)間為

和使38第三十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期六例2

設(shè)有二正態(tài)總體和，其中參數(shù)均為未知，隨機(jī)地從兩總體中分別抽取容量為10和15的獨(dú)立樣本，測得樣本方差分別為