矩陣練習題參考答案(完整版)實用資料

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第四章矩陣練習題參考答案矩陣練習題參考答案（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）1.解:(1)∴(2)2．解：(1).(2).(3)所以(4)∵∴(5)(6)原式=(7)∴(8)所以3．(1)(2)∴4.解：(1)設由∴任取。(2)∵∴令∴(3)同樣設5.解：設左邊位于i行j列的元為，右邊位于i行j列的元素.當ij時，得，.只能是對角矩陣.6.解：設（），，且∴∴為與A同型的準對角形矩陣.7.解：(1)設,∴A的第一列A的第二行(2)∴A的第i列：,且,(k≠i)A的第j行，且,(s≠j)(3)由于A與所有n級矩陣可換，故的第一行只留下a11可非0.的第二行只留下a22=a11其余全為0.的第三行只留下a33=a11,其余全為0.的第n行只留下ann=a11.其余全為0.所以8.證明：9．證明：..10．證明：若A為實對稱矩陣，若A2=0,則A=0.若為，矛盾，。11．證明：。12．證明：設A=B+C，∴∴13．令∴，∴.14.設A是nn矩陣,證明存在一個nn非零矩陣B使得AB=0的充要條件是|A|=0.證明：∴.∵∴15．設A是nn矩陣,如果對于任意的n維向量x,均有Ax=0,證明A=0.證明：考慮AE.∵E的每一列去乘A的各行為0,∴AE=0.又AE=A,∴A=0.16.設B是一個rr矩陣,C為一個rn矩陣,且R(C)=r,證明:(1)如果BC=0，則B=0。(2)如果BC=C,則B=E.證明：(1)考慮齊線方程組,CTx=0,有r個未知量,而R(C)=R(CT)=r=未知量個數,所以Cx=0只有零解.BC=0,CTBT=0,所以BT的各列元素均為零,得BT=0,B=0.(2)若BC=C,則(B-E)C=0,由(1)得B-E=0，B=E.17.證明：R(A+B)R(A)+R(B).證明：設（I）,B的行向量為（Ⅱ），而（Ⅲ），那么.∴設為（Ⅰ）的極大無關組，那么R(A)=R(I)=r.設（Ⅱ′）為（Ⅱ）的極大無關組，那么R(B)=R(II)=p.令{}為向量組(IV),由于(III)可由(I)和(II)線性表出，所以(III)可由(Ⅳ)線性表出，又(IV)只含有r+p個向量，所以R(IV)r+p,得R(A+B)=R(C)=R(III)R(Ⅳ)r+p=R(A)+R(B).18.設A,B為nn矩陣，證明：如果AB=0,則R(A)+R(B)n.證明：設R(A)=r,那么，線性方程組AX=0的基礎解系可設為.設B的各列為1,2,…,m.∵AB=0.說明B的每列j乘以A的每行都為0，Aj=0,即Bj是AX=0的解,所以1,2,…,m.可由線性表示，于是R(1,2,…,m.)R()=n-r,R(A)+R(B)r+n-r=n.19.證明：如果Ak=0,那么,證明：由Ak=0,得,從而. 20.解(1)∴(2)∴而∴(3)∴∴(4)A=a1-1=∴A-1=(5)法1：∴法2：∴(6)A=……→a+=(7),(8),(9)∴A-1=(10)求A-1，A=.解法1：令A=2E+B,由于B4=0,所以(E-A)4=0，再令C=E-A=B，則C4=0.由19題的結論，(E-C)-1=(A)-1=2A-1=E+C+C2+C3=E+B+(B)2+(B)3A-1=E++BB2+B3=.解法2:A==，，，，A-1=.21.設解：由于，所以.22.設，求X-1.解：將X分塊為，由21題，（見上面）23.求矩陣X.解：(1)∵∴(2)(A,B)=∴.(3)由AX=B，且A可逆得X=A-1B，故所以(4),∴24.①∵∴∴若若②若∴∴于是A不可逆。P202.T25①若A,B上三角形，則∴時，∴C=AB為上三角,∴∴C=AB為下三角②∴∴上三角，故A-1上三角∵當A為下三角時，AT上三角∴（AT）-1為上三角，即（A-1）T為上三角，故A-1為下三角。P202.T26∵∴若∴若∴秩∴總之，各種情形均有P202.T27證明：如果A是nn矩陣(n2)，那么證明：(1)若R(A)=n,則|A|0,由AA*=|A|E,可知A*可逆.(2)若R(A)=n-1，則Ax=0的解空間是一維的.又AA*=0,所以A*的列向量都是Ax=0的解.于是得R(A*)1.再由于R(A)=n-1,所以A至少有一個n-1階子式非零，即R(A*)1,得R(A*)=1.(3)若R(A)<n-1,則A的所有元素的代數余子式全為零，所以A*=0,R(A*)=0.28.解：(1)(A,E)=∴A-1=(2)A=B=B-1=-= 而=方法3：∵A2=4A∴A-1=29.∴30.又∴∴補充題設A是一個nn矩陣，R(A)=1,證明(1)證明：(1)因為R(A)=1,所以存在可逆矩陣P和Q,使得.于是，其中是P-1的第一列元素，是Q-1的第一行元素.(2)A2=設A是22矩陣，證明：如果Al=0(l2),那么A2=0.證明:由于Al=0，所以R(A)1.若R(A)=0,則A=0,結論成立.設R(A)=1,由第一題，.若k=0,則A2=0.若k0,則kl-10,得A=0.但R(A)=1.所以必有k=0，即A2=0.設A是nn矩陣，證明：如果A2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n.證明：由A2=E得(A+E)(A-E)=0.所以一方面A-E的列向量都是齊次線性方程組(A+E)x=0的解向量，從而R(A+E)+R(A-E)n.另一方面，考慮(E-A)+(E+A)=2E,所以n=R(2E)=R((E-A)+(E+A))R(E-A)+R(E+A).綜上得R(A+E)+R(A-E)=n.4.設A是nn矩陣，且A2=A,證明：R(A)+R(A-E)=n.證明與3題類似，略去.證明：證明：由于AA*=|A|E,所以A*(A*)*=|A*|E.又|A*|=|A|n-1,所以若R(A)<n,z則R(A*)1，n>2,所以(A*)*=0,結論成立.若R(A)=n,則A*=|A|A-1,于是由A*(A*)*=|A*|E，|A|A-1(A*)*=|A*|E=|A|n-1E,設A,B,C,D都是nn矩陣，且|A|0,AC=CA,證明.證法1:因為A可逆，所以證法2:因為，所以7.設A是一個nn矩陣,且R(A)=r.證明存在nn矩陣P使得PAP-1的后n-r行全為零.證明：由R(A)=r.存在nn矩陣P，Q，使得.于是，后者是一個后n-r行元素全為零的矩陣.8.(1)把矩陣表成形式為的矩陣的乘積.(2)設是一個復矩陣，|A|=1,證明|A|可以表成P(i,j(k))這一類初等矩陣的乘積.證明:不妨假設a0,否則由b,c均非零，可以對該矩陣作P(i,j(k))類變換，使其位于(1,1)位置的元素非零.對A做這一類的初等變換使其變?yōu)閱挝痪仃?得9.設A是一個n階矩陣，|A|=1,證明A看表成P(i,j(k))這一類初等矩陣的乘積.證明：(1)設A=(aij),由于|A|=1,所以A的第一列元素不全為零，于是可以用形如P(i,j(k))的初等變換把位于(1,1)位置的元變?yōu)榉橇阍?所以不妨假設a110,用變換r2-k2r1,r3-k3r1,…,rn-knr1,即對A左乘初等矩陣P(2,1(k2)),P(3,1(k3)),…,P(n,1(kn)),得=A1.由于這一類初等變換不改變行列式的值，所以.不妨假設a1220,對A1再進行一系列第三類的初等變換，把它變?yōu)?B(2)AB,且|A|=|B|=1.對B作如下變換：再對上式右端的矩陣作變換P(n,(n-1)(-b’n-1n)),P(n,(n-2)(-b’n-2n)),…,P(n,(1)(-b’1n)),…,最后化為單位矩陣.總結上述過程，相當于對A左乘了一系列的第三類初等矩陣，把它變?yōu)閱挝痪仃?由于第三類初等矩陣的逆仍為第三類，所以A可表為一系列第三類初等矩陣的乘積.10.設A=(aij)sn,B=(bij)nm,證明R(AB)R(A)+R(B)-n.證明：設R(A)=r,R(B)=t,則存在s階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q使得,于是由R(AB)=R(PAQQ-1B),我們有，其中C為矩陣Q-1B的前r行.考慮到R(Q-1B)=R(B)=t,所以假設Q-1B的行向量為1，2，…，n,則C的行向量為1，…，r.考慮矩陣和向量組的秩：R(B)=R(1，2，…，n,)R(1，…，r)+R(r+1，…，n)R(C)+n-r.所以，R(AB)=R(C)R(B)+r-n=R(A)+R(B)-n.11.矩陣的列(行)向量如果是線性無關的，就稱該矩陣為列(行)滿秩.設A是mr矩陣，則A是列滿秩的充要條件為存在mm可逆矩陣P使A=P,同樣A是行滿秩的充要條件為存在rr可逆矩陣P使A=(Em,0)Q.證明：假設A為列滿秩矩陣，則R(A)=r,且A的行向量組的秩為r.所以交換A的各行可以使