2022-2023學年江西省南昌二十八中教育集團八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江西省南昌二十八中教育集團八年級（下）期中數(shù)學試卷一、單選題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥5 B．x＞5 C．x≤5 D．x＜52．下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，153．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)4+a6＝a10 B． C． D．4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°時，它是矩形 B．當AB＝BC時，它是菱形 C．當AC⊥BD時，它是菱形 D．當AC＝BD時，它是正方形5．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A，B，C都在網(wǎng)格的格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．AC＝5 C． D．∠ACB＝30°6．如圖，已知正方形ABCD邊長是6，點P是線段BC上一動點，過點D作DE⊥AP于點E．連接EC，若CE＝CD，則△CDE的面積是（）A．18 B． C．14.4 D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．將化為最簡根式是．8．已知﹣1＜x＜3，化簡：＝．9．已知a，b，c是△ABC的三邊長且c＝5，a，b滿足關(guān)系式，則△ABC的最大內(nèi)角為．10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD的交點為O，矩形的長、寬分別為7cm、4cm，EF過點O分別交AB、CD于E、F，那么圖中陰影部分面積為cm2．11．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝30，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為．12．如圖，點P在x軸上，且，點M也在x軸上，在OA上找點N，以P、M、N為頂點作正方形，則ON＝（如結(jié)果中有根號，請保留根號）．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計算：；（2）計算：．14．設(shè)，．（1）求a﹣b，ab的值；（2）求a2+b2﹣5ab的值．15．我市某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面積；（2）若每種植1平方米草皮需要350元，問總共需投入多少元？16．如圖，在菱形ABCD中，點E為AB的中點，請只用無刻度的直尺作圖（1）如圖1，在CD上找點F，使點F是CD的中點；（2）如圖2，在AD上找點G，使點G是AD的中點．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F．（1）求證CD＝BE；（2）若點F為DC的中點，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的長．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分18．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．19．如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．20．如圖1，某中學的校門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，伸縮電動門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30cm，當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°（如圖2）時，校門打開了5m．（1）求該中學校門的總寬度是多少m．（2）當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為90°時，校門打開了多少m？五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．規(guī)定（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：，（a＞0，b＞0）．將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對（4，1）的一對“對稱數(shù)對為（）與（1，）．（1）數(shù)對（9，3）的一對“對稱數(shù)對”是．（2）若數(shù)對（3，y）的一對“對稱數(shù)”相同，則y的值是多少？（3）若數(shù)對（x，2）的一個“對稱數(shù)對是（，1），則x的值是多少？若數(shù)對（a，b）一個“對稱數(shù)對”是（，3），求a，b的值．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動．P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動．（1）當運動時間為t秒時，用含t的代數(shù)式表示以下線段的長：AP＝BQ＝；（2）當運動時間為多少秒時，四邊形PQCD為平行四邊形？（3）當運動時間為多少秒時，四邊形ABQP為矩形？六、解答題（本大題共1小題，共12分23．綜合與實踐數(shù)學活動：數(shù)學活動課上，老師提出如下數(shù)學問題：已知四邊形ABCD與四邊形BEFG都為正方形，P為DF的中點，連接AP，EP，如圖1，當點E在AB上時，求證：AP＝PE．獨立思考：（1）請你證明老師提出的問題；合作交流：（2）解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，當點F落在對角線BD上時（如圖2），他們認為老師提出的結(jié)論仍然成立．請你予以證明；問題解決：（3）解決完上述問題后，“善思”小組提出如下問題，把正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（如圖3），當點D，E，F(xiàn)在同一條直線上時，DE與BC交于點H．若，BG＝1，請直接寫出HC的值．?

參考答案一、單選題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥5 B．x＞5 C．x≤5 D．x＜5【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．解：∵x﹣5≥0，∴x≥5．故選：A．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．下列給出的四組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形三邊的一組是（）A．5，12，14 B．6，8，9 C．7，24，25 D．8，13，15【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．解：A、52+122≠142，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；B、62+82≠92，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；C、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；D、82+132≠152，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．3．下列計算正確的是（）A．a(chǎn)4+a6＝a10 B． C． D．【分析】根據(jù)合并同類項法則、二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法運算即可求出答案．解：A、a4與a6不是同類項，故不能合并，故A不符合題意．B、原式＝3，故B不符合題意．C、原式＝4，故C符合題意．D、與不是同類二次根式，故不能合并，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查合并同類項法則、二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．當∠ABC＝90°時，它是矩形 B．當AB＝BC時，它是菱形 C．當AC⊥BD時，它是菱形 D．當AC＝BD時，它是正方形【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個判斷即可．解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了對矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應用，能正確運用判定定理進行判斷是解此題的關(guān)鍵，難度適中．5．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A，B，C都在網(wǎng)格的格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．AC＝5 C． D．∠ACB＝30°【分析】首先根據(jù)勾股定理求出AB，AC，BC的長度即可判斷A，B，C選項，然后利用勾股定理逆定理得到∠ABC＝90°，最后根據(jù)30°度角直角三角形的性質(zhì)即可判斷D選項．解：根據(jù)勾股定理可得，，故A選項正確，不符合題意；根據(jù)勾股定理可得，，故B選項正確，不符合題意；根據(jù)勾股定理可得，，故C選項正確，不符合題意；∵AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∵AC≠2AB，∴∠ACB≠30°，故D選項錯誤，符合題意．故選：D．【點評】此題考查了勾股定理和網(wǎng)格的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．6．如圖，已知正方形ABCD邊長是6，點P是線段BC上一動點，過點D作DE⊥AP于點E．連接EC，若CE＝CD，則△CDE的面積是（）A．18 B． C．14.4 D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定可以得到△ADE和△DCF全等，然后即可得到CF和DE的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到DF和DE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理可以得到DF2的值，然后即可計算出△CDE的面積．解：作CF⊥ED于點F，如右圖所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠CDA＝90°，∴∠ADE+∠FDC＝90°，∵CF⊥DE，CD＝CE，∴EF＝DF＝DE，∠CFD＝90°，∴∠FDC+∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE＝CF，∴DF＝CF，∵∠CFD＝90°，CD＝6，∴DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，∴S△CDE＝＝＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故選：C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出DF2的值．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．將化為最簡根式是3．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，即可解答．解：＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．8．已知﹣1＜x＜3，化簡：＝4．【分析】由﹣1＜x＜3知x﹣3＜0、x+1＞0，據(jù)此再根據(jù)二次根式的性質(zhì)2和絕對值的性質(zhì)化簡可得．解：∵1＜x＜3，∴x﹣3＜0、x+1＞0，則原式＝|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4，故答案為：4．【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)．9．已知a，b，c是△ABC的三邊長且c＝5，a，b滿足關(guān)系式，則△ABC的最大內(nèi)角為90°．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方式的非負性求得a和b值，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．解：由得：a﹣4＝0，b﹣3＝0，解得：a＝4，b＝3，∵c＝5，∴c2＝b2+a2，∴△ABC的形狀為直角三角形，且∠C＝90°，故答案為：90°．【點評】本題考查勾股定理的逆定理、算術(shù)平方根和平方式的非負性，熟練掌握勾股定理的逆定理，正確求出a和b值是解答的關(guān)鍵．10．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD的交點為O，矩形的長、寬分別為7cm、4cm，EF過點O分別交AB、CD于E、F，那么圖中陰影部分面積為14cm2．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，AB＝DC，AD＝BC，AB∥DC，證△AOD≌△COB推出△AOD的面積和△BOC面積相等，證△AEO≌△CFO推出△AEO和△CFO的面積相等，同理得出△BEO和△DFO的面積相等，即可得出陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝DC，AD＝BC，AB∥DC，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（SSS），∴△AOD的面積和△BOC面積相等，∵AB∥CD，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴△AEO和△CFO的面積相等，同理△BEO和△DFO的面積相等，∴陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半，即是×7cm×4cm＝14cm2，故答案為：14．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：全等三角形的面積相等．11．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝30，大正方形的面積為16，則小正方形的面積為2．【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2＝30，大正方形的面積為16，可以得出直角三角形的面積，進而求出答案．解：由題意可知：每個直角三角形面積為，則四個直角三角形面積為2ab，大正方形面積為a2+b2＝16，小正方形面積為16﹣2ab，∵（a+b）2＝30，∴a2+2ab+b2＝30，∵大正方形的面積為16，∴2ab＝30﹣16＝14，∴小正方形的面積為16﹣14＝2，故答案為：2．【點評】本題主要考查了勾股定理的應用，熟練應用勾股定理解大正方形面積為a2+b2＝16是解題關(guān)鍵．12．如圖，點P在x軸上，且，點M也在x軸上，在OA上找點N，以P、M、N為頂點作正方形，則ON＝2或3﹣或3+（如結(jié)果中有根號，請保留根號）．【分析】根據(jù)題意，因為PN是邊還是對角線沒有明確，所以分①PN是正方形的邊長，②PN是正方形的對角線，且∠OPN＝45°與∠OPN＝135°兩種情況進行討論，設(shè)出ON的長度是2x，然后表示出正方形的邊長與OP的長度，再根據(jù)OP的長度列式求解．解：設(shè)ON＝2x，①如圖1，當PN是正方形的邊長時，∵∠AOP＝30°，∴OP＝2x?cos30°＝2x×＝x，又∵OP＝，∴x＝1，∴ON＝2x＝2；②如圖2，PN是正方形的對角線，且∠OPN＝45°時∵∠AOP＝30°，∴OM＝2x?cos30°＝2x×＝x，MP＝MN＝ON?sin30°＝2x×＝x，又∵OP＝，∴x+x＝，解得x＝，∴ON＝2x＝3﹣；③如圖3，PN是正方形的對角線，且∠OPN＝135°時，∵∠AOP＝30°，∴OM＝2x?cos30°＝2x×＝xMP＝MN＝ON?sin30°＝2x×＝x，又∵OP＝，∴x﹣x＝，解得x＝，∴ON＝2x＝3+．綜上所述，ON的值為：2或3﹣或3+．故答案為：2或3﹣或3+．【點評】本題主要考查了解直角三角形，坐標與圖形的性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，30°角的正弦與余弦，難度不是很大，但要注意分情況討論，容易漏解而導致出錯．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（1）計算：；（2）計算：．【分析】（1）先把每一個二次根式化成最簡二次根式，然后再進行計算即可解答；（2）先計算二次根式的乘除法，再算加減，即可解答．解：（1）＝＝0；（2）＝6+3＝6+3＝9．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．14．設(shè)，．（1）求a﹣b，ab的值；（2）求a2+b2﹣5ab的值．【分析】（1）將a，b的數(shù)值直接代入計算即可；（2）將a2+b2﹣5ab拆分組合成完全平方公式，然后代入數(shù)值即可．解：（1）＝＝；＝＝1；（2）a2+b2﹣5ab＝a2+b2﹣2ab﹣3ab；＝（a﹣b）2﹣3ab＝＝9．【點評】本題考查了二次根式的計算，相關(guān)知識點有：完全平方公式，熟記運算法則是解題關(guān)鍵．15．我市某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，為了綠化環(huán)境，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面積；（2）若每種植1平方米草皮需要350元，問總共需投入多少元？【分析】（1）直接利用勾股定理AC，再用勾股定理的逆定理得出∠ACD＝90°，進而得出答案；（2）利用（1）中所求得出所需費用．解：（1）連接AC∵∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，∴，∵CD＝24m，AD＝26m，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝＝＝144（m2）；即空地ABCD的面積為144m2．（2）144×350＝50400元，即總共需投入50400元．【點評】此題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，將四邊形化為三角形后，正確用勾股定理及其逆定理是解題關(guān)鍵．16．如圖，在菱形ABCD中，點E為AB的中點，請只用無刻度的直尺作圖（1）如圖1，在CD上找點F，使點F是CD的中點；（2）如圖2，在AD上找點G，使點G是AD的中點．【分析】（1）先連接對角線AC和BD，相交于點O，再連接EO并延長交CD于F；（2）先連接AC和ED相交于點O，再連接BO并延長交AD于點G．解：（1）如圖所示：（2）如圖所示：【點評】本題考查的是作圖的應用，掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理、正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E，與DC交于點F．（1）求證CD＝BE；（2）若點F為DC的中點，DG⊥AE于G，且DG＝3，AB＝10，求AE的長．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線證出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出結(jié)論；（2）同（1）證出DA＝DF，由F為DC中點，AB＝CD，求出AD與DF的長，得出三角形ADF為等腰三角形，根據(jù)三線合一得到G為AF中點，在直角三角形ADG中，由AD與DG的長，利用勾股定理求出AG的長，進而求出AF的長，再由三角形ADF與三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的長．【解答】（1）證明：∵AE為∠BAD的平分線，∴∠DAE＝∠BAE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F為DC的中點，AB＝10，∴DF＝CF＝DA＝5．∵DG⊥AE，DG＝3，∴AG＝GF．∴AG＝＝4．∴AF＝2AG＝8．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝16．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（2）的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分18．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點．BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF．（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面積．【分析】（1）由三角形中位線定理得DE∥BC，且BC＝2DE，再證四邊形BCFE是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得∠BEF＝∠BCF＝120°，∠BCE＝∠BEC＝60°．再證△EBC是等邊三角形．得BE＝BC＝CE＝4．過點E作EG⊥BC于點G．則BG＝BC＝2．然后由勾股定理求出EG的長，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，且BC＝2DE，∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形，又∵BE＝FE，∴平行四邊形BCFE是菱形；（2）解：∵四邊形BCFE是菱形，∴∠BEF＝∠BCF＝120°，∴∠BCE＝∠BEC＝×120°＝60°．∴△EBC是等邊三角形．∴BE＝BC＝CE＝4．過點E作EG⊥BC于點G，∴BG＝BC＝2．∴EG＝＝＝2，∴S菱形BCFE＝BC?EG＝4×2＝8．【點評】本題考查了菱形判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的定義和垂直的定義，可以證明結(jié)論成立；（2）①根據(jù)AAS可以證明結(jié)論成立；②根據(jù)S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母計算即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥DE于點D，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ADC+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE；（2）①∵AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，由（1）知：∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE；②由圖可知：S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴＝，化簡，得：a2+b2＝c2．【點評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．如圖1，某中學的校門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，伸縮電動門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30cm，當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°（如圖2）時，校門打開了5m．（1）求該中學校門的總寬度是多少m．（2）當每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為90°時，校門打開了多少m？【分析】（1）如圖，連接BD．根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形ABCD是正方形，如圖，連接BD，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：（1）如圖，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，又∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，BD＝AB＝30cm＝0.3m，0.3×21+5＝11.3（m），所以，該中學校門的總寬度是11.3m．（2）當菱形的∠A＝90°時，∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四邊形ABCD是正方形，如圖，連接BD，則，，所以，當每個菱形的內(nèi)角為90°時，校門打開了．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．規(guī)定（a，b）表示一對數(shù)對，給出如下定義：，（a＞0，b＞0）．將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對（a，b）的一對“對稱數(shù)對”．例如：數(shù)對（4，1）的一對“對稱數(shù)對為（）與（1，）．（1）數(shù)對（9，3）的一對“對稱數(shù)對”是（，）與（，）．（2）若數(shù)對（3，y）的一對“對稱數(shù)”相同，則y的值是多少？（3）若數(shù)對（x，2）的一個“對稱數(shù)對是（，1），則x的值是多少？若數(shù)對（a，b）一個“對稱數(shù)對”是（，3），求a，b的值．【分析】（1）根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，列等于＝，解方程進而得出結(jié)論；（3）根據(jù)新定義，列等于＝1，解方程進而得出結(jié)論；根據(jù)新定義，列方程組，解出進而得出結(jié)論．解：（1）∵＝，∴數(shù)對（9，3）的一對“對稱數(shù)對”是（，）與（，）；故答案為：（，）與（，）；（2）∵數(shù)對（3，y）的一對“對稱數(shù)對”相同，∴＝，∴y＝，答：y的值為；（3）∵數(shù)對（x，2）的一個“對稱數(shù)對”是（，1），∴＝1，∴x＝1，∵數(shù)對（a，b）的一個“對稱數(shù)對”是（，3），∴①或②，∴或．【點評】此題主要考查了新定義，解方程組，解方程，理解和應用新定義是解本題的關(guān)鍵．22．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動；Q從點C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運動．P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另外一點也隨之停止運動．（1）當運動時間為t秒時，用含t的代數(shù)式表示以下線段的長：AP＝tBQ＝26﹣3t；（2）當運動時間為多少秒時，四邊形PQCD為平行四邊形？（3）當運動時間為多少秒時，四邊形ABQP為矩形？【分析】（1）根據(jù)題意可直接得出；（2）由在梯形ABCD中，AD∥BC，可得當PD＝CQ時，四邊形PQCD是平行四邊形，即可得方程：24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；（3）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，可得當AP＝BQ時，四邊形ABQP是矩形，即可得方程：t＝26﹣3t，解此方程即可求得答案．解：（1）由題意知AP＝t，BQ＝26﹣3t，故答案為：t，26﹣3t；（2）由題意可得：PD＝AD﹣AP＝24﹣t，QC＝3t，∵AD∥BC，∴PD∥QC，設(shè)當運動時間為t秒時PD＝QC，此時四邊形PQCD為平行四邊形．由PD＝QC得，24﹣t＝3t，解得t＝6，∴當運動時間為6秒時，四邊形PQCD為平行四邊形．（3）∵AD∥BC，∴AP∥BQ，設(shè)當運動時間為t秒時AP＝BQ，四邊形ABQP為平行四邊形．由AP＝BQ得：t＝26﹣3t，解得：t＝，又∵∠B＝90°∴平行四邊形ABQP為矩形．∴當運動時間為秒時，四邊形ABQP為矩形．【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．六、解答題（本大題共1小題，共12分23．綜合與實踐數(shù)學活動：數(shù)學活動課上，老師提出如下數(shù)學問題：已知四邊形ABCD與四邊形BEFG都為正方形，P為DF的中點，連接AP，EP，如圖1，當點E在AB上時，求證：AP＝PE．獨立思考：（1）請你證明老師提出的問題；合作交流：（2）解決完上述問題后，“翱翔”小組的同學受此啟發(fā)，把正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，當點F落在對角線BD上時（如圖2），他們認為老師提出的結(jié)論仍然成立．請你予以證明；問題解決：（3）解決完上述問題后，“善思”小組提出如下問題，把正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（如圖3），當點D，E，F(xiàn)在同一條直線上時，DE與BC交于點H．若，BG＝1，請直接寫出HC的值．?【分析】（1）延長EP交AD于M，證明△DPM≌△FPE（ASA），由全等三