2023考研高等數(shù)學(xué)全考點(diǎn)精講-第六講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

#/9考點(diǎn):凹凸性與拐點(diǎn)1.凹凸性與拐點(diǎn)的定義定義1設(shè)/（］）在區(qū)間切，可上連續(xù),如果對(duì)件,易E何，可,且。工2時(shí)，恒有/（%丑）〉（＜）皿3也測(cè)稱/⑴在［。,可上的圖形是凸（凹）的.定義2連續(xù)曲綁⑴的凹與凸的分界點(diǎn)（與”統(tǒng)））稱為曲線的拐點(diǎn)定理1設(shè)/⑴在區(qū)間值，可上連續(xù)，在（久力）內(nèi)二階可導(dǎo)，^r（x）＜o(jì)（r?＞o）,則稱/w在［〃,可上的圖形是凸（凹）的.定理2（必要條件）若（扃/（琴）是曲線的拐點(diǎn)，貝r（xo）=0^（xo）不存在.定理3（第一判別法）設(shè)/'（X）在X。處連續(xù)，在X。的某去心鄰域二階可導(dǎo).（1） 部"（X）在與兩側(cè)變號(hào)，則（吒,/（工0））是拐點(diǎn)：（2） 苗"（x）在與兩側(cè)不變號(hào)，則（劉/'（琴）不是拐點(diǎn).定理4（第二判別法）設(shè)/'⑴在X。處三階可導(dǎo)J"（x°）=O.＜1）若/”（吒）/0,則（工。，/（工。））是拐點(diǎn)；（2）若廣（帛=0,則（％,/■（%））可能是拐點(diǎn),也可能不是拐點(diǎn).［例1］求曲線＞=決（121"-7）的凹凸區(qū)間.［例2］證明曲線尸斗有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上［例3］［例3］設(shè)），（工）由參數(shù)方程＜提駕:;確定測(cè)曲線尸心）的拐點(diǎn)是考點(diǎn):不等式與方程根［例1］證明：當(dāng)x＞0時(shí),1寸1+勺＜［例2］證明:當(dāng)*>(州?，土vIn(1+X)<x.［例3］證明:1磕＞2普,0＜。展.［例4］證明方程r+p+qcosx=0有且只有一個(gè)實(shí)根,其中p,q為常數(shù),且0<q<1.［例5］若方程％r"+巧廣+..?+《,_/=0有一個(gè)正根x=吒,證明方程％*+%(〃-1)/*"+???+%_］=0必有一個(gè)小于天的正根.［例6］在(-co,+00)內(nèi),方程|術(shù)+沖-cosx=0—.(A)無(wú)實(shí)根 (B)有且僅有一個(gè)實(shí)根(C)有且僅有兩個(gè)實(shí)根 (D)有無(wú)窮多個(gè)實(shí)根［例7］設(shè)當(dāng)x>附,方程女+丄=1有且僅有一個(gè)根,求&的取值范圍.X考點(diǎn):漸近線、曲率水平漸近線若lhn/(x)=^ =則稱y=〃是/'⑴在右側(cè)或左側(cè)的水平漸近線.鉛直漸近線若lim/(x)=cc或lim/(x)=oo,則稱^=柘野(x)的鉛直漸近線.XT.?'注：一般將無(wú)定義點(diǎn)作為鉛直漸近線的的考查對(duì)象.斜漸近線若J也縉=宀0,1灘［/(X)-司=5,則稱尸東+b是/'("在右側(cè)的斜漸近線:若lim0,lim［/(%)-Ax］=b,則稱y=々+b是/'(x)在左側(cè)的斜漸近線.注：在同一側(cè)，水平漸近線與斜漸近線不會(huì)同時(shí)存在.曲率及曲率半徑曲率主要用來(lái)研究曲線的彎曲程度，設(shè)/3)存在二階導(dǎo)數(shù),y=f(x)在點(diǎn)M(x,/(x))處的曲率4="L；(1+疔設(shè)曲線y=.f(x)在點(diǎn)處的曲率為K(K=0),作曲線在M處的法線，在凹向一側(cè)的法線上取一點(diǎn)N,以|MN|=丄為半徑,N為圓心作圓，K該圓稱為曲線y=f(jv)在點(diǎn)A/(x,/(x))處的曲率圓，曲率圓的半徑Q 稱為曲率半徑.K［例1］求曲線y=(2i)a的所有漸近線.9/99/99/99/9［例2］已知liml=0,貝此= ,b=_［飩］求曲線2尸-2尸+2打-尸=1在(1,1)處的曲率半徑［例4］設(shè)尸y(x)由.確定，則曲線尸)心)在，=-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的