高一數(shù)學(xué)蘇教版必修四講義第2章21向量的概念及表示

eq\a\vs4\al(向量的概念及表示)預(yù)習(xí)課本P59～61，思索并完成以下問題1．向量的定義是什么？向量與數(shù)量有什么區(qū)分？2.零向量、單位向量、相等向量的定義是什么？3．共線(平行)向量的定義是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．向量的有關(guān)概念(1)定義：既有大小又有方向的量稱為向量．(2)表示方法：①幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記為；②字母表示：用小寫字母a，b，c表示．[點(diǎn)睛]向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段．向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn)的線段．2．向量的長(zhǎng)度(或稱模)與特別向量(1)向量的長(zhǎng)度定義：向量的大小稱為向量的長(zhǎng)度．(2)向量的長(zhǎng)度表示：向量，a的長(zhǎng)度分別記作：||，|a|.(3)特別向量：①長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作0；②長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量．[點(diǎn)睛]定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有很多個(gè)，它們大小相等，但方向不肯定相同．3．向量間的關(guān)系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共線向量；a平行于b，記作a∥b；規(guī)定零向量與任一向量平行．(2)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記作：a＝b.(3)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量，記作a＝－b.eq\a\vs4\al([小試身手])1．假設(shè)向量a與任意向量b共線，那么a滿意的條件是________．答案：a＝02．假設(shè)a＝b，b＝c，那么向量a與c的關(guān)系為________．答案：a＝c3．如圖，在一個(gè)3×6的方格紙中，分別以方格紙的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與向量相等的向量(除)有________個(gè)．答案：114．如圖，四邊形ABCD是菱形，那么在向量，，，，和中，相等的有________對(duì)．答案：2向量的有關(guān)概念[典例]給出以下各命題：(1)零向量沒有方向；(2)單位向量都相等；(3)向量就是有向線段；(4)兩相等向量假設(shè)其起點(diǎn)相同，那么終點(diǎn)也相同；(5)假設(shè)向量a與b同向，且|a|>|b|，那么a>b；(6)假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.其中正確命題的序號(hào)是________．[解析](1)不正確，零向量不是沒有方向，只是方向不定；(2)不正確，單位向量只是模為單位長(zhǎng)度1，而對(duì)方向沒要求；(3)不正確，有向線段只是向量的一種表示形式，但不能把兩者等同起來；(4)正確，因兩相等向量的模相等，方向相同，故當(dāng)它們的起點(diǎn)相同時(shí)，其終點(diǎn)必重合；(5)不正確，由于向量由兩個(gè)因素來確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比擬大??；(6)不正確，假設(shè)b＝0，那么對(duì)兩不共線的向量a與c，也有a∥0，0∥c，但a，c不共線．[答案](4)要充分理解與向量有關(guān)的概念，明白它們各自所表示的含義，搞清它們之間的區(qū)分是解決與向量概念有關(guān)問題的關(guān)鍵．[活學(xué)活用]給出以下命題：(1)假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b或a＝－b；(2)向量的?？隙ㄊ钦龜?shù)；(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；(4)向量與是共線向量，那么A，B，C，D四點(diǎn)必在同始終線上．其中正確命題的序號(hào)是________．解析：(1)錯(cuò)誤．由|a|＝|b|僅說明a與b的模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系．(2)錯(cuò)誤.0的模為零．(3)正確．對(duì)于一個(gè)向量，只要不轉(zhuǎn)變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的．(4)錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量，必需在同始終線上．答案：(3)向量的表示[典例]在如下圖的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出以下向量：(1)，使||＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；(2)，使||＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；(3)，使||＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.[解](1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又||＝4eq\r(2)，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如下圖．(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且||＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如下圖．(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且||＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如下圖．(1)用有向線段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最終依據(jù)向量模的大小確定向量的終點(diǎn)．(2)能夠運(yùn)用向量的觀點(diǎn)將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，“數(shù)學(xué)建模〞是今后力量培育的主要方向，需要在日常學(xué)習(xí)中不斷積累閱歷．[活學(xué)活用]飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)B地，再從B地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達(dá)D地，問D地在A地的什么方向？D地距A地多遠(yuǎn)？

解：依題意知，三角形ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又由于∠ACD＝45°，CD＝1000eq\r(2)km，所以△ACD為直角三角形，即AD＝1000eq\r(2)km，∠CAD＝45°.答：D地在A地的東南方向，距A地1000eq\r(2)km.共線向量與相等向量[典例]如下圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？[解](1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，，，.(2)與a共線的向量有，，，，，，，，.[一題多變]1．[變?cè)O(shè)問]本例條件不變，試寫出與向量相等的向量．解：與向量相等的向量有，，.2．[變條件，變?cè)O(shè)問]在本例中，假設(shè)|a|＝1，那么正六邊形的邊長(zhǎng)如何？解：由正六邊形性質(zhì)知，△FOA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF＝|a|＝1.3．[變?cè)O(shè)問]請(qǐng)寫與b，c相等的向量．解：與b相等的向量有，，；與c相等的向量有，，.共線向量或相等向量的推斷方法(1)向量共線與向量平行是同一個(gè)概念的兩個(gè)名稱．兩非零向量共線，其所在直線未必是同一條直線，也可能是平行直線．兩非零向量平行，其所在直線未必平行，也可能重合．(2)相等向量：先找與表示向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共線．層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．有以下說法：①假設(shè)向量a與向量b不平行，那么a與b方向肯定不相同；②假設(shè)向量，滿意||>||，且與同向，那么>；③假設(shè)a≠b，那么a肯定不與b共線；④由于零向量方向不確定，故其不能與任何向量平行．其中，正確說法的個(gè)數(shù)是________．解析：對(duì)于①，由共線向量的定義知，兩向量不平行，方向肯定不相同，故①正確；對(duì)于②，由于向量不能比擬大小，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，兩個(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以a與b有共線的可能，故③不正確；對(duì)于④，由于零向量與任一向量平行，故④錯(cuò)誤．答案：12.設(shè)a0，b0是兩個(gè)單位向量，那么|a0|＋|b0|＝________.解析：由于a0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：23．以下圖中，小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么||＝______；||＝________；||＝________.解析：依據(jù)勾股定理可得||＝3eq\r(2)，||＝eq\r(26)，||＝2eq\r(2).答案：3eq\r(2)eq\r(26)2eq\r(2)4.如下圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，那么與向量相等的向量為________．解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．答案：與5.如下圖，AD＝3，B，C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模長(zhǎng)度為2的向量有________________．解析：滿意條件的向量有以下幾類：模長(zhǎng)為2的向量有：，，，.答案：，，，6．以下物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有________個(gè)．解析：一個(gè)量是不是向量，就是看它是否同時(shí)具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的，所以是向量；而質(zhì)量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，所以不是向量．答案：47．假設(shè)a0是與a同向的單位向量，那么向量eq\f(a,|a|)與單位向量a0的長(zhǎng)度的大小關(guān)系是________．解析：依題意，a是非零向量，eq\f(a,|a|)表示與a同向的單位向量．答案：相等8．在以下推斷中，真命題的是_________．①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長(zhǎng)度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．解析：由定義知①正確，②由于兩個(gè)零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個(gè)詳細(xì)方向，故不正確．明顯，③⑤正確，④不正確．答案：①③⑤9．如下圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AB＝4，AD＝2，設(shè)＝a，＝b.圖中的七個(gè)向量，，，，，，中，滿意以下條件的向量分別是什么？(1)與a相等的向量；(2)與b相等的向量；(3)與a平行的向量；(4)與b共線的向量；(5)與b長(zhǎng)度相等的向量．答案：(1)(2)(3)，(4)，，(5)，，，，，10．一輛汽車從A點(diǎn)動(dòng)身，向西行駛100公里到達(dá)B點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)變方向，向西偏北60°走了200公里到達(dá)C點(diǎn)，然后又轉(zhuǎn)變了方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點(diǎn)．(1)作出向量，，；(2)求A，D兩點(diǎn)間的距離，并確定A點(diǎn)與D點(diǎn)之間的方位關(guān)系．解：(1)向量，，，如下圖．(2)由題意，知與方向相反，所以與平行．又||＝||，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以＝.故||＝200公里，且D點(diǎn)在A點(diǎn)的西偏北60°的方向處．層級(jí)二應(yīng)試力量達(dá)標(biāo)1.假設(shè)||＝||且＝，那么四邊形ABCD的外形為_________．解析：由于＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形，又由于||＝||，所以四邊形ABCD為菱形．答案：菱形2．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，假設(shè)||＝1，那么由全部滿意條件的點(diǎn)P組成的平面圖形是________________．解析：由||＝1，知P到O的距離為1，即點(diǎn)P落在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上．答案：以O(shè)為圓心，1為半徑的圓3．設(shè)O是正△ABC的重心，那么eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1())與eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1())的大小關(guān)系為________．解析：由于O是正△ABC的重心，所以O(shè)是正△ABC的中心，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1())＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1()).答案：相等4．如下圖，四邊形ABCD是矩形，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不相等}，那么集合T有________個(gè)元素．解析：以矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)及它的對(duì)角線交點(diǎn)O五點(diǎn)中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)，其余四點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)的向量共有5×4＝20(個(gè))．但這20個(gè)向量不是各不相等的，它們有12個(gè)向量各不相等，即為()，()，()，()，()，()，()，()，，，，，由元素的互異性知T中有12個(gè)元素．答案：125．||＝1，||＝2，假設(shè)∠ABC＝90°，那么||＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(3)，所以||＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6.如圖，O是正三角形ABC的中心，四邊形AOCD和AOBE均為平行四邊形，那么與向量相等的向量為________；與向量共線的向量為__________；與向量的模相等的向量為______．(填圖中所畫出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四邊形AOCD和四邊形AOBE均為菱形，∴與相等的向量為；與共線的向量為，；與的模相等的向量為，，，，.答案：，，，，，7．如下圖，點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中：(1)分別寫出與，相等的向量；(2)寫出與共線的向量；(3)寫出與的模相等的向量；(4)向量與是否相等？解：(1)＝，＝.(2)與共線的向量為：，，.(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.(4)不相等．8．飛機(jī)從A