求圓錐曲線離心率的幾種方法

有這么一個故事離心率關(guān)于橢圓離心率一二一X2V2/ 入、 、--、__.一設(shè)橢圓—十菅=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，如果橢圓上存在點P,使/F1PF2=90。，求離心率e的取值范圍。解法1：利用曲線范圍設(shè)P(x，y)，又知0Jc,0),F2(c,0)，則F^P=(x+c,y),FP=(x一c,v)由/F1PF2=90°，知華1晨P,則『P?kP=0,1 2即(x+c)(x一c)+y2=0得x2+y2=c2將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得a2c2—a2b2x2= a2一b2但由橢圓范圍及/FPF2=90°知0<X2<a2a2c2一a2b2TOC\o"1-5"\h\z即0< <a2a2一b2可得c2>b2，即c2>a2一c2,且c2<a2從而得e=c>2，且e=c<1a2 a所以eep22，1)解法2：利用二次方程有實根由橢圓定義知IPF1+1PFI=2anlPF|2+1PFI2+21PFIIPFI=4a21 2 1 2 1 2經(jīng)典的，不會那么容易過時-

有這么一個故事離心率有這么一個故事離心率又由/FPF2=90。，知IPFI2+IPFI2=IFFI2=4c212則可得IPFIIPFI=2(a2-c2)因此這樣，IPFI與PFI是方程u2-2au+2(a2-c2)=0的兩個實根，因此A=4a2一8(a2一c2)>0c2 1ne2=——>—a2 2ne>一2解法3：利用三角函數(shù)有界性記/PFF2=a,/PF2F]=P記/PFF2=a,/PF2F]=P，由正弦定理有IPFI 1-IPFI IFFI―1~2-sinP sina sin90°IPF1+1PFIn 1 sina+sin=IFFI又IPFI+IPFI=2a,21

sina+sinPIFFI=2c，則有121c.a+p~~a-p2sin cos 1a-pv2cos 2而0<Ia-pI<90。知0<Ia-PI<45。立<立<cos

2OzP<12從而可得?J2V1從而可得~2~<e<1經(jīng)典的，不會那么容易過時-有這么一個故事離心率解法4：利用焦半徑由焦半徑公式得IPFI=a+ex,IPFI=a一ex又由IPF1I2+IPF2I2=IF1F2|2，所以有a2+2cx+e2x2+a2-2cx+e2x2=4c22c2-a2x2= e2又點P(x,y)在橢圓上，且xw±a,八 2c2-a20< <a2e2得e￡[三!，1)2解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有2愕巧用”平方后得4a2=IPFJ+IPF212+2IPF1IIPFI<2(IPFJ+IPF212)=2I勺F\2=8c2得三>1所以有ee[=，1)a2 2 2解法6：巧用圖形的幾何特性由/FPF=90。，知點P在以IFFI=2c為直徑的圓上。1 2 12又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P故有c>bnc2>b2=a2-c2由此可得ee[，1)2經(jīng)典的，不會那么容易過時-

有這么一個故事離心率有這么一個故事離心率演練一.直接求出a,c或求出a與b的比值，以求解e。在橢圓中,.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于.已知橢圓兩條準(zhǔn)線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為.若橢圓經(jīng)過原點，目焦點為F1(1,0),勺3,0)，則橢圓的離心率為.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為5.若楠=L(a>b>0)短軸端點為P滿足尸F(xiàn)11PF2則橢5.若楠的離心率為e=一12..已知一+—=1(m>0.n>0)則當(dāng)mn取得最小值時，楠mn二十二=1的的離心率為m2n2經(jīng)典的，不會那么容易過時-

有這么一個故事離心率有這么一個故事離心率.橢圓竺+y2=2b>0）的焦點為F,F，兩條準(zhǔn)線與x軸的交a2b2 1 2點分別為M,N，若|MN|W2|F1FJ,則該橢圓離心率的取值范圍.已知F為橢圓的左焦點，A、B分別為橢圓的右頂點和上頂點，P為橢I上的點，當(dāng)PF^FA,PO〃AB（O為橢圓中心）時1,橢圓的離心率為9.P是橢9.P是橢Ix2+y2=1(a>b>0)上一點，是楠畫的左右焦點，已知1 2ZPFF=jNPFF1 2ZPFF=jNPFF=2o,

12 21e= /FPF=3a,1 2.已知勺、「是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，若/PFF=15。,/PFF=75。,則橢圓的離心率為.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，則該橢圓的離心率為二、構(gòu)造a,c的齊次式，解出e.已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是.以橢圓的右焦點F為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交2于M、N兩點，橢圓的左焦點為F，直線MF與圓相切，則橢圓的離心率是經(jīng)典的，不會那么容易過時-有這么一個故事離心率有這么一個故事離心率.以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于M,N兩點如果|MF|=|M0|則橢圓的離心率是4.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F、14.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F、1、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若△FPF為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是125.已知0F2是橢圓的兩個焦點，過1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,若△ABF是正三角形,則這個橢圓的離心率是三、尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。uuuruumr.已知F、F是橢圓的兩個焦點，滿足MF.MF=0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點『是橢圓上一點，目/F1PF2-90。，橢圓離心率e的取值范圍為.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點息/F1PF2-60。，橢圓離心率e的取值范圍為4.設(shè)橢X24.設(shè)橢X2——+a2-1(a>b>0)的兩焦點為々F2,若橢圓上存在一點Q，使NFQF=120°,橢圓離心率e的取值范圍為12一.一一 一 7 一一5.在△ABC中，AB-BC,cosB=