數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)名題

數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)名題第一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日一、希爾伯特的23個問題希爾伯特（德國，1862—1943年）是19世紀末和20世紀上半葉最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他提出的23個問題更是功勛卓著、影響深遠。那是1900年8月在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會上，年僅38歲的希爾伯特做了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演，根據(jù)19世紀數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢提出23個問題，成為數(shù)學(xué)史上的一個重要里程碑。第二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日第三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日在世紀之交提出的這23個問題，涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。一個世紀以來，這些問題激發(fā)著數(shù)學(xué)家們濃厚的研究興趣，對20世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展起著巨大的推動作用。第四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日希爾伯特的23個問題1.證明“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”，即證明“可數(shù)基數(shù)”與“連續(xù)統(tǒng)基數(shù)”之間不存在任何基數(shù)。2.研究算術(shù)公理的相容性。(S)

3.兩個等底等高的四面體的體積相等。(S)

4.直線作為兩點間最短距離的問題。（P）第五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日5.李（S.Lie）的連續(xù)變換群概念，但不要定義群的函數(shù)的可微性假設(shè)。(S)

6.物理學(xué)的公理化。(P)7.某些數(shù)的無理性和超越性。(P)8.素數(shù)問題。(P)9.在任意數(shù)域中證明最一般的互反定律。(S)10.丟番圖方程的可解性。(F)11.系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型。(P)第六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日12.阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理在任意代數(shù)有理域上的推廣。(P)13.不可能用僅有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。(W)14.證明某類完全函數(shù)系的有限性。(F)15.舒伯特(Schubert)計數(shù)演算的嚴格基礎(chǔ)。(W)16.代數(shù)曲線與代數(shù)曲面的拓撲問題。(P,W)第七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日17.正定形式的平方和表示。(S)18.用全等多面體構(gòu)造空間。(P)19.正則變分問題的解一定是解析的嗎？(P)20.一般邊值問題。(P)21.具有指定單值群的線性微分方程解的存在性證明。(S)22.通過自守函數(shù)使解析關(guān)系單值化。(P)23.變分法的進一步發(fā)展。(P)第八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日適當(dāng)?shù)膯栴}對科學(xué)發(fā)展的價值

1．有問題的學(xué)科才有生命力

問題，在學(xué)科進展中的意義是不可否認的。一門學(xué)科充滿問題，它就充滿生命力；而如果缺乏問題，則預(yù)示著該學(xué)科的衰落。正是通過解決問題，人們才能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)科的新方法、新觀點和新方向，達到更為廣闊和高級的新境界。

數(shù)學(xué)問題的動力，不僅來自數(shù)學(xué)以外的客觀世界，也來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯發(fā)展。例如：素數(shù)的理論；非歐幾何；伽羅瓦理論；代數(shù)不變量理論。第九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

2．提出問題是解決問題的一半問題不是隨便提的，它必須是人們關(guān)心的、有價值的。要想預(yù)先判斷一個問題的價值是困難的。問題的價值最終取決于科學(xué)從該問題得到的收益。只有對該學(xué)科的知識有廣泛而深入了解的學(xué)者，對該學(xué)科的發(fā)展有清醒的認識和深刻洞察力的學(xué)者，才能提出有較大價值的“好的問題”。第十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

3．“好的問題”的標(biāo)準希爾伯特在他的演講中就提出了這樣的標(biāo)準。1）清晰易懂:“一個清晰易懂的問題會引起人們的興趣，而復(fù)雜的問題使人們望而生畏?！?）難而又可解決3）對學(xué)科發(fā)展有重大推動意義問題解決的意義，不是局限于問題本身，而是波及整個學(xué)科，推動整個學(xué)科的發(fā)展。第十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日“好的問題”舉例費馬大定理五次方程根式解最速降線問題三體問題第十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日“希爾伯特問題”解決的現(xiàn)狀

經(jīng)過整整一個世紀，希爾伯特的23個問題中，將近一半已經(jīng)解決或基本解決。有些問題雖未解決，但也取得了重要進展。能夠解決一個或基本解決一個希爾伯特問題的數(shù)學(xué)家，就自然地被公認為世界一流水平的數(shù)學(xué)家，由此也可見希爾伯特問題的特殊地位。第十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日希爾伯特問題的研究與解決，大大推動了許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，包括：數(shù)理邏輯、幾何基礎(chǔ)、李群、數(shù)學(xué)物理、概率論、數(shù)論、函數(shù)論、代數(shù)幾何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面論、變分法等。第二問題和第十問題的研究，還促進了現(xiàn)代計算機理論的成長。

第十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日解決著名猜想的人很牛！提出這些猜想的人更牛！如此集中地提出一批猜想，并持久地影響了一門學(xué)科的發(fā)展，史無前例！第十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

在20世紀末，人們也想模仿19世紀末的希爾伯特，提出一批有價值的數(shù)學(xué)問題。但由于20世紀數(shù)學(xué)的分支越來越細，已沒人能像當(dāng)年的Hilbert那樣涉足數(shù)學(xué)的廣泛領(lǐng)域。于是人們想到了組成一個數(shù)學(xué)家小組，并且已經(jīng)付諸行動。新世紀的數(shù)學(xué)難題：七個由美國克雷數(shù)學(xué)研究所(ClayMathematicsInstitute,CMI)于2000年5月24日公布的數(shù)學(xué)難題，稱為千禧難題。但是，千禧年難題只是想記載重大的未解決問題，而不是要去指導(dǎo)數(shù)學(xué)。第十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

當(dāng)然，希爾伯特當(dāng)年也不是盡善盡美的。一些評論者認為，其局限性是，希爾伯特問題未包括拓撲學(xué)和微分幾何，而這兩者在20世紀也成了數(shù)學(xué)的前沿和熱點，這是希爾伯特沒有預(yù)見到的。此外，希爾伯特問題除數(shù)學(xué)物理外，很少涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)。第十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日希爾伯特其人希爾伯特不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的數(shù)學(xué)成就，也包括他優(yōu)秀的人品。第十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

1．第一次世界大戰(zhàn)時拒絕在“宣言”上簽字在第一次世界大戰(zhàn)爆發(fā)時，德國政府讓它的一批最著名的科學(xué)家和藝術(shù)家出來發(fā)表一個“宣言”，聲明他們擁護德國皇帝威廉二世?！靶浴钡牡谝痪涫牵骸罢f德國人發(fā)動了戰(zhàn)爭，這不是事實”。第十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

“宣言”的題目是《告文明世界》，邀請了一批知名人士簽字。數(shù)學(xué)家中只邀請了世界聲望最高的希爾伯特和克萊因兩人簽名。前邊提到過的發(fā)表埃爾朗根綱領(lǐng)、用不變量觀點統(tǒng)一幾何學(xué)的那位數(shù)學(xué)家克萊因，未有什么懷疑就簽了名。但希爾伯特仔細閱讀后，卻表示他不能判斷“宣言”內(nèi)容的真實性，從而拒絕簽字。第二十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

在宣言上簽字的，除了克萊因，還有德國的另一些著名的科學(xué)家，如普朗克，倫琴等。這份1914年10月15日發(fā)表的“宣言”，使文明世界震驚：那些素來受人尊敬的科學(xué)家們怎么會同意在這樣一份欺騙文明世界的“宣言”上簽字？第二十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

希爾伯特拒絕簽字，也特別引人注目。在國內(nèi)，似乎他是一個賣國賊。當(dāng)1914年11月開學(xué)時，許多學(xué)生不再來聽希爾伯特的課。但是希爾伯特的大多數(shù)同行理解和同情他?？巳R因也很快就后悔自己的所謂“愛國”行動。當(dāng)時世界上最著名的巴黎科學(xué)院開除了克萊因，希爾伯特則更加受到尊重。第二十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

2．為法國數(shù)學(xué)家達布寫悼念文章“達布上和”、“達布下和”，在定積分理論中為大家所熟知。達布是法國人，而當(dāng)時法國是與德國交戰(zhàn)的敵國。所以1917年達布逝世時，德國人不敢悼念他。而希爾伯特對達布非常敬佩，他寫了一篇悼念文章。第二十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日文章發(fā)表后，一群學(xué)生到希爾伯特的家門口示威，要他收回和銷毀這篇悼念“敵人數(shù)學(xué)家”的文章。希爾伯特斷然拒絕這一無理要求，并且到校長那里提出辭職。結(jié)果希爾伯特很快收到了校方的道歉信。悼念達布的文章也繼續(xù)刊登。希爾伯特一生只寫過四篇悼念文章，除這篇外，其余三篇分別是悼念魏爾斯特拉斯（創(chuàng)造語言者）、閔可夫斯基（蘋果樹下散步者）和赫爾維茨（蘋果樹下散步者）。第二十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日蘋果樹下散步者希爾伯特在海德爾堡上了一學(xué)期以后，接下來的一個學(xué)期，本來可以允許他再轉(zhuǎn)到柏林去聽課，但他念家，于是他又回到了哥尼斯堡大學(xué)．1882年春天，赫爾曼?閔可夫斯基從柏林學(xué)習(xí)了三個學(xué)期后也回到了哥尼斯堡大學(xué)．閔可夫斯基從小就數(shù)學(xué)才能出眾，據(jù)說有一次上數(shù)學(xué)課，老師因把問題理解錯了而“掛了黑板”，同學(xué)們異口同聲叫道：“閩可夫斯基去幫幫忙！”在柏林上學(xué)時，他因為出色的數(shù)學(xué)工作曾得到過一筆獎金．這件事轟動了整個哥尼斯堡．希爾伯特的父親因此曾告誡自己的兒子不要冒冒失失地去和“這樣知名的人”交朋友．但由于對數(shù)學(xué)的熱愛和共同的信念，希爾伯特和比他小兩歲的閩可夫斯基很快成了好朋友．第二十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1884年春天，25歲的阿道夫?赫爾維茨從哥廷根來到哥尼斯堡擔(dān)任副教授，他在函數(shù)論方面已有出色的研究成果．希爾伯特和閩可夫斯基很快就和他們的新老師建立了密切的關(guān)系．三個年輕人每天下午準5點必定相會去蘋果樹下散步．希爾伯特回憶道：“日復(fù)一日的散步中，我們?nèi)悸耦^討論當(dāng)前數(shù)學(xué)的實際問題；相互交換對問題新近題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃．”第二十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日在他們?nèi)酥?，赫維爾茨有著“堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，”所以理所當(dāng)然的是帶頭人。但后來者居上。當(dāng)時希爾伯特發(fā)現(xiàn)，這種學(xué)習(xí)方法比鉆在教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍！這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久．以有趣的學(xué)習(xí)方式，他們探索了數(shù)學(xué)的“每一個角落”，考察著數(shù)學(xué)世界的每一個王國。希爾伯特回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼．”第二十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

3．對康托集合論的支持

康托的集合論打出實無限的旗幟，遭到另一些持潛無限觀點的數(shù)學(xué)家的反對，包括他的老師克羅涅克爾的反對?？肆_涅克爾個性專橫、語言刻薄，利用他的威望和權(quán)勢壓制康托，所以康托當(dāng)年的地位和待遇都不好。而希爾伯特則客觀、公正地評價康托的學(xué)術(shù)成就，并給予支持，這表現(xiàn)了希爾伯特的學(xué)術(shù)公正和為人正直。第二十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日二、費馬（Fermat）大定理費馬大定理亦稱“費馬猜想”，最先由費馬在閱讀巴歇（CBachet）校訂的丟番圖《算術(shù)》時作為一條頁邊批注而提出。1670年費馬之子連同其父的批注一起出版了巴歇的書的第二版，此后三個多世紀，費馬大定理成為世界上最著名的數(shù)學(xué)問題，歷代數(shù)學(xué)家為它的證明付出了巨大努力.1994年,這一曠世難題終于被英國數(shù)學(xué)家威爾斯（A.Wi1es）解決。曠日持久的努力，不僅解決了猜想本身，更是有力地推動了數(shù)論乃至整個數(shù)學(xué)的進步。第二十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日業(yè)余數(shù)學(xué)家之王費爾瑪(Fermat,1601—1665),法國人，職業(yè)是議員。他非常喜歡數(shù)學(xué)，常常利用業(yè)余時間研究高深的數(shù)學(xué)問題，結(jié)果取得了很大的成就，被人稱為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費馬憑借豐富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的數(shù)學(xué)猜想。第三十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費爾馬小猜想

1640年，費爾馬在研究質(zhì)數(shù)性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：

當(dāng)n=1時，22n+1=221+1=5；當(dāng)n=2時，22n+1=222+1=17；當(dāng)n=3時，22n+1=223+1=257；當(dāng)n=4時，22n+1=224+1=65537；猜測：只要n是自然數(shù)，22n+1一定是質(zhì)數(shù)

1732年，歐拉進行了否定

第三十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬小定理如果P是一個質(zhì)數(shù)，那么對于任何自然數(shù)n，nP-n一定能夠被P整除這個猜想已證明是正確的，這個猜想被稱為“費馬小定理”利用費馬小定理，是目前最有效的鑒定質(zhì)數(shù)的方法

第三十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日PierredeFermat1601-1665第三十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日第三十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日Cubemauteminduoscubos,autquadratoquadratuminduosquadratoquadratos,etgeneraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduoseiusdemnominisfasestdividere;Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexhancmarginisexiguitasnoncaparet.對于該命題，我確信已發(fā)現(xiàn)一種奇妙的證明，可惜這里的空白太小，寫不下。不可能將一個立方數(shù)寫成兩個立方數(shù)之和；或者將一個四次冪與成兩個四次冪之和；或者，一般地，不可能將一個高于2次的冪寫成兩個同樣次冪的和。第三十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日xn+yn=zn,(n>2)無整數(shù)解（1637年）這是真的（1994年）第三十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬大定理產(chǎn)生的歷史性背景

費爾馬大定理，啟源于兩千多年前，挑戰(zhàn)人類三個多世紀，多次震驚全世界，耗盡人類最杰出大腦的精力，也讓千千萬萬業(yè)余者癡迷古希臘,丟番圖《算術(shù)》第II卷第八命題：

“將一個平方數(shù)分為兩個平方數(shù)”即求方程x2+y2=z2

的正整數(shù)解

第三十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日PythagorasofSamosB.C.572–B.C.497畢達哥拉斯定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。x2+y2=z2

萬物皆數(shù)第三十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日上帝恩賜他生命的1/6為童年；再過生命的1/12，他雙頰長出了胡子；再過1/7后他舉行了婚禮；婚后5年他有了一個兒子。不幸的孩子只活到父親生命的一半年齡；他以研究數(shù)論寄托自己的哀思，4年之后亦撒手人寰?！獊G番圖的墓志銘L=84DiophantusofAlexandriaB.C150-A.D.364不定方程:

是指末知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)的代數(shù)方程或代數(shù)方程組。第三十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日（1）為什么費馬猜想叫做費馬定理呢？

因為費馬曾經(jīng)提出過的命題，都已經(jīng)被證實或否定，只剩下這一題，未能獲證。

因為經(jīng)過三百多年，都沒有人能作出反例，所以人們相信是它是正確的，是一個定理。（2）費馬提出這命題后三十年才去世，為什么會把這個命題做“費馬最后定理”呢？

兩個問題

第四十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日n

=4的證明費馬在給朋友的信中，曾經(jīng)提及他已證明了n=4的情況。但沒有寫出詳細的證明步驟1674年，貝西在少量提示下，給出這個情形的證明證明步驟主要使用了“無窮遞降法”第四十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日再進一步歐拉1770年提出n=3的證明xn+yn=zn，當(dāng)n=3,4時無整數(shù)解第四十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日LeonhardEuler,1707-1783歐拉的策略：證明某結(jié)論對于簡單情形成立，再證明任何使情形復(fù)雜化的操作都將繼續(xù)保持該結(jié)論的正確性。第四十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日若xk+yk=zk

無正整數(shù)解，則xmk+ymk=zmk也無正整數(shù)解。為證明費馬大定理對n的一切值成立，我們僅僅需要證明它在n

取素數(shù)值時成立。數(shù)學(xué)家們認為素數(shù)是最重要的數(shù)，因為它們是數(shù)學(xué)中的“原子”。素數(shù)是數(shù)的建筑材料，因為所有別的數(shù)都可以由若干個素數(shù)相乘而得。第四十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日n=5的證明勒讓德

Legendre(1752-1833)狄利克雷

Dirichlet(1805-1859)法國人1823年，證明了

n=5德國人1828年，獨立證明了

n=51832年，解決了

n=14的情況第四十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日索非?熱爾曼,法國數(shù)學(xué)家熱爾曼素數(shù)：使2p+1為素數(shù)的那些素數(shù)p熱爾曼定理：當(dāng)p和2p+1皆為素數(shù)時xp+yp=zp無整數(shù)解熱爾曼初步完成了

n=5的證明新的方向SophieGermain1770-1831第四十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日n=7的證明拉梅

GabrielLamé

(1795-1870)法國人1839年，證明了n=7第四十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日3月1日，拉梅宣布他已證明了“費馬最后定理”：拉梅將x

n+y

n分解成(x+y)(x+

y)(x+2y)…(x+n-1y)其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程

r

n=1的復(fù)根如果x

n+y

n=z

n，那么拉梅認為每一個(x+ky)都會是n次冪乘以一個單位，從而可導(dǎo)出矛盾但是，拉梅的好友劉維爾Liouville指出，拉梅的證明中有很大的漏洞拉梅忽略了“唯一分解定理”的考慮第四十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日同時，柯西（Cauchy）亦宣布他早已取得“費馬最后定理”的初步證明3月22日，兩人同時向巴黎科學(xué)院提出自己的證明。不過，對于“唯一分解定理”的問題，二人都未能成功地解決。5月24日，德國數(shù)學(xué)家?guī)禧湢柊l(fā)表了一封信，指出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地顯示，拉梅和柯西的方法是行不通的，從而平息了二人的爭論。第四十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日“唯一分解定理”在一般的整數(shù)中，每一個合成數(shù)都只可能被分解成一種“質(zhì)因數(shù)連乘式”但在某些“復(fù)整數(shù)”中，情況未必相同例如：第五十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日ErnstKummer1810-1893德國數(shù)學(xué)家E·庫莫爾1847年他證明了對于小于100的除了37，59和67這三個所謂非正則素數(shù)以外，費馬大定理成立。為了重建唯一分解定理，庫默爾在1844-1847年間創(chuàng)立了理想數(shù)理論。1857年，庫麥爾獲巴黎科學(xué)院頒發(fā)獎金三千法郎突破性的進展第五十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日懸賞十萬馬克德國的沃爾夫斯克勒Wolfskehl(1856-1908)訂立遺囑，懸賞十萬馬克，獎賞在他死后一百年內(nèi)能證明“費馬最后定理”的人在最后時刻挽救自殺

德國商人，學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)，1883年跟庫麥爾學(xué)習(xí)第五十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日DavidHilbert,1862-1943

“費馬猜想是一只會下金蛋的雞”。

“證明這種不可能性的嘗試，提供了一個明顯的例子，說明這樣一個非常特殊、似乎不十分重要的問題會對科學(xué)產(chǎn)生怎樣令人鼓舞的影響”。

第五十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日無數(shù)英雄盡折腰1941年，雷麥證明當(dāng)n〈253747887時

，“費馬最后定理”的第一種情況成立。1977年，瓦格斯塔夫證明當(dāng)n<125000時，“費馬最后定理”成立。第五十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日無數(shù)英雄盡折腰1983年德國數(shù)學(xué)家G.法爾廷斯證明：對于每一個大于2的指數(shù)n，方程xn+yn=zn

至多有有限多個解。贏得1986年的菲爾茲獎1988年，日本數(shù)學(xué)家宮岡洋一宣布以微分幾何的角度，證明了“費馬最后定理”！不過，該證明后來被發(fā)現(xiàn)有重大而無法補救的缺陷，證明不成立！第五十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日RobertLanglands1936.10.06-“朗蘭茲綱領(lǐng)”，是美國數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲在20世紀70年代提出的。“朗蘭茲綱領(lǐng)”是對數(shù)論領(lǐng)域中重大難題的一個系統(tǒng)研究計劃和綱領(lǐng)。

第五十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

朗蘭茲綱領(lǐng)：尋找所有主要數(shù)學(xué)課題之間存在著的統(tǒng)一的連接的環(huán)鏈。在某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中無法解答的任何問題，可以被轉(zhuǎn)換成另一個領(lǐng)域中相應(yīng)的問題，而在那里有一整套新武器可以用來對付它。如果仍然難以找到解答，那么可以把問題再轉(zhuǎn)換到另一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，繼續(xù)下去直到它被解決為止。第五十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬大定理的解決費馬大定理被徹底征服的途徑涉及到的領(lǐng)域讓所有前人出乎意外，最后的攻堅路線跟費馬本人、歐拉和庫莫爾等人的完全不同，他是現(xiàn)代數(shù)學(xué)諸多分支(橢圓曲線論、模形式理論、伽羅華表示理論等等)綜合發(fā)揮作用的結(jié)果。其中最重要的武器是橢圓曲線和模形式理論。

第五十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日谷山—志村猜想谷山豐(1927-1958)志村五郎（生于1926）第五十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1954年，志村五郎于東京大學(xué)結(jié)識谷山豐。之后，就開始了二人對“模形式”的研究。1955年，谷山開始提出他的驚人猜想。1958年，谷山突然自殺身亡。其后，志村繼續(xù)谷山的研究，并提出以下猜想：谷山—志村猜想

每一條橢圓曲線，都可以對應(yīng)一個模形式。谷山—志村猜想第六十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日法國數(shù)學(xué)家，發(fā)明“自守函數(shù)”龐加萊Poincaré(1854-1912)

所謂“自守函數(shù)”，就是周期函數(shù)的推廣，而“模形式”可以理解為在復(fù)平面上的某種周期函數(shù)“模形式”的起源第六十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日起初，大多數(shù)數(shù)學(xué)家都不相信“谷山志村猜想”60年代后期，眾多數(shù)學(xué)家反復(fù)地檢驗該猜想，既未能證實，亦未能否定它。到了70年代，相信“谷山志村猜想”的人越來越多，甚至以假定“谷山志村猜想”成立的前提下進行論證。第六十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日“谷山志村猜想”與“費馬最后定理”的關(guān)系德國數(shù)學(xué)家弗賴（GerhandFrey）弗賴曲線（猜想）1984年秋，弗賴提出以下的觀點：如果“費馬最后定理”不成立，那么“谷山志村猜想”也是錯的！第六十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬最后定理弗賴曲線谷山志村猜想錯假如錯第六十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬最后定理弗賴曲線谷山志村猜想錯假如對對第六十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日再換句話說，如果“谷山志村猜想”正確，那么“費馬最后定理”就必定成立！可惜的是弗賴在1984年的證明中出現(xiàn)了錯誤，他的結(jié)果未獲承認。因此只能稱之為“猜想”第六十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日美國數(shù)學(xué)家里貝特經(jīng)過多番嘗試后，終于在1986年的夏天成功地證得以下結(jié)果：如果“谷山志村猜想”對每一個半穩(wěn)定橢圓曲線都成立，則費馬最后定理成立。里貝特（KennethRibet）第六十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日里貝特的工作使得費馬大定理不可擺脫地與谷山志村猜想聯(lián)結(jié)在了一起，三個半世紀以之后，費馬大定理這個孤立的問題，這個在數(shù)學(xué)的邊緣上使人好奇的而無法解答地謎?，F(xiàn)在，重新回到臺前。17世紀的最重要的問題與20世紀最有意義的問題結(jié)合在了一起，一個在歷史上和感情上極為重要的問題與一個可能引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)革命的猜想聯(lián)結(jié)在了一起。

第六十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日懷爾斯AndrewWiles英國人，出生于1953年10歲已立志要證明“費馬最后定理”1975年，開始在劍橋大學(xué)進行研究，專攻橢圓曲線及巖澤理論在取得博士學(xué)位后，就轉(zhuǎn)到美國的普林斯頓大學(xué)繼續(xù)研究工作第六十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日秘密計算1986年，當(dāng)里貝特提出猜想后，懷爾斯就決心要證明“谷山志村猜想”由於不想被別人騷擾，懷爾斯決定秘密地進行此證明經(jīng)過三年的努力，他開始引入“伽羅瓦表示論”來處理將“橢圓曲線”的分類問題第七十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬最后定理谷山志村猜想橢圓曲線可模形化伽羅瓦

表示論水平

巖澤理論類數(shù)公式=?到了1991年，懷爾斯發(fā)覺無法以「水平巖澤理論」完成「類數(shù)公式」的計算在一個數(shù)學(xué)會議中，他得到了一個新的計算方法。第七十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬最后定理谷山志村猜想橢圓曲線可模形化伽羅瓦

表示論水平

巖澤理論類數(shù)公式=懷爾斯將此方法改造后，成功地解決了有關(guān)問題科利瓦金弗萊契第七十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日劍橋演講1993年6月23日，在劍橋大學(xué)的牛頓研究所，懷爾斯以“模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示論”為題，發(fā)表了他對“谷山志村猜想”（即“費馬最后定理”）的證明演講非常成功，“費馬最后定理”已被證實的消息，很快便傳遍世界第七十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日噩夢開始！演講會過后，懷爾斯將長達二百多頁的證明送給數(shù)論專家審閱起初，只發(fā)現(xiàn)稿件中的有些細微的打印錯誤但是同年9月，證明被發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了問題，尤其是“科利瓦金—弗萊契方法”，并未能對所有情況生效！懷爾斯以為此問題很快便可以修正過來，但結(jié)果都失??！懷爾斯已失敗的傳聞，不徑而走。同年12月，懷爾斯發(fā)出了以下的一份電子郵件：第七十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)題：費馬狀況日期：1993年12月4日對于我在谷山志村猜想和費馬最后定理方面的種種推測，我要作一個簡短的說明。在審查過程中，我們發(fā)現(xiàn)了許多問題，其中大部分已經(jīng)解決，只剩一個問題仍然存在……。我相信不久后，我就能用在劍橋演講中說明的概念解決它?；谏杏性S多工作未能完成，所以目前不適宜發(fā)送預(yù)印本?！覍@工作給出一個詳細的說明。安德魯.懷爾斯第七十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日再次閉關(guān)1994年1月，懷爾斯重新研究他的證明。但到了同年9月，依然沒有任何進展。其間，不斷有數(shù)學(xué)家要求懷爾斯公開他的計算方法。更有人懷疑：既然過去都無法證明“費馬最后定理”，到底現(xiàn)在又能否證實“谷山志村猜想”呢？但在9月19日的早上，當(dāng)懷爾斯打算放棄并作最后一次檢視“科利瓦金—弗萊契方法”時，……第七十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬最后定理谷山志村猜想橢圓曲線可模形化伽羅瓦

表示論水平

巖澤理論類數(shù)公式=科利瓦金弗萊契成功！懷爾斯發(fā)現(xiàn)，只要配合使用“巖澤理論”，就可以解決目前的問題！經(jīng)過八年的努力，懷爾斯終于證實了“谷山志村猜想”和“費馬最后定理”！第七十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1995年5月，懷爾斯長一百頁的證明，在雜志《數(shù)學(xué)年鑒》中發(fā)表最后勝利第七十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1996年懷爾斯獲，美國國家科學(xué)院獎，菲爾茲特別獎1997年懷爾斯獲得沃爾夫斯克勒10萬馬克懸賞大獎第七十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日第八十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日費馬大定理只是千千萬萬個丟番圖方程中的一個，其它許許多多丟番圖問題并未解決，或者并沒有徹底解決，而這些方程仍將成為數(shù)學(xué)繼續(xù)前進的動力.費馬大定理引出的代數(shù)數(shù)論已經(jīng)成為一門獨立的前沿學(xué)科，它經(jīng)歷過代數(shù)數(shù)理論、類域論、局部理論、非阿貝爾理論，現(xiàn)在已匯入偉大的朗蘭茲綱領(lǐng)的框架之中，與許多學(xué)科，如代數(shù)K理論，群表示等密切相關(guān)。另外，它的一些原始問題如類數(shù)的計算仍是令人頭痛的事。

第八十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日代數(shù)數(shù)論與代數(shù)幾何已密不可分，特別是韋依猜想證明之后，這種關(guān)系越發(fā)密切，有一些統(tǒng)一的猜想，如貝林森猜想等正等待大手筆的解決。

代數(shù)曲線論仍有一些遺留問題，特別是橢圓曲線的三大猜想仍然迫在眉睫，但人們已經(jīng)開始向代數(shù)曲線進軍了。代數(shù)曲面問題很難，但是這條路肯定要走。

第八十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日三、哥德巴赫（Goldbach）猜想數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇后；數(shù)論是皇后的王冠；“哥德巴赫猜想”則是皇后王冠上的明珠！中國數(shù)學(xué)家做出了最好的成績；華羅庚，陳景潤、王元、潘承洞…..徐遲，1978年發(fā)表在《人民文學(xué)》第一期的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》，報告著科學(xué)的春天的到來！第八十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日華羅庚，陳景潤王元陳景潤潘承洞鄧小平接見陳景潤華羅庚，潘承洞第八十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日Goldbach(德國數(shù)學(xué)家，1690-1764)1725定居俄羅斯，圣彼得堡帝國科學(xué)院院士，1728年，彼得二世的宮廷教師。1742年在與好友歐拉的通信中提出了兩個有關(guān)正整數(shù)和素數(shù)的命題；其中，第二個問題很容易由第一個推得。而第一個問題就是著名的哥德巴赫猜想！第八十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1.每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和；1+1

2.每個不小于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。

歌德巴赫的兩個問題：敘述如此簡單，連小學(xué)生都能明白，但至今沒有完全解決，最好的結(jié)果1+2屬于陳景潤！第八十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日驗證工作:

6=3+3,8=3+5,

10=5+5=3+7,

12=5+7,

14=7+7=3+11,

16=5+11,18=5+13,……等等，直到330000000的偶數(shù)都對，但歐拉等人也都無法證明！

Hilbert23個問題的第8個第八十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1920年挪威數(shù)學(xué)家布朗用一種古老的篩法證明，得出了一個結(jié)論：每一個比較大的偶數(shù)都可以表示為（9+9）。第八十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

布朗篩法的思路是這樣的：

任一偶數(shù)(自然數(shù))可以寫為2n，這里n是一個自然數(shù)。2n可以表示為n個不同形式的一對自然數(shù)之和：

2n=1+(2n-1)

=2+(2n-2)

=3+(2n-3)

=…

=n+n第八十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日再篩去不適合哥德巴赫猜想結(jié)論的所有那些自然數(shù)對之后，如果能夠證明至少還有一對自然數(shù)未被篩去，例如記其中的一對為p1和p2，并且p1和p2都是素數(shù)，即得n=p1+p2，這樣哥德巴赫猜想就被證明了。第九十頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開始，逐步減少每個數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了哥德巴赫猜想。

第九十一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日在陳景潤之前，關(guān)于偶數(shù)可表示為s個質(zhì)數(shù)的乘積與t個質(zhì)數(shù)的乘積之和(簡稱“s+t”問題)之進展情況如下:

第九十二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1920年，挪威的布朗證明了“9+9”。

1924年，德國的拉特馬赫證明了“7+7”。

1932年，英國的埃斯特曼證明了“6+6”。

1937年，意大利的蕾西先后證明了“5+7”,“4+9”,“3+15”

1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“5+5”。

1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了“4+4”。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了“1+c”，其中c是一很大的自然數(shù)。

1956年，中國的王元證明了“3+4”。

1957年，中國的王元先后證明了“3+3”和“2+3”。

1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了“1+5”，中國的王元證明了“1+4”。

1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了“1+3”。

第九十三頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日1966年，中國的陳景潤證明了“1+2”。

陳景潤的工作發(fā)表時，英國數(shù)學(xué)家哈伯斯坦和德國數(shù)學(xué)家黎希特的著作《篩法》正在印刷廠校印，他們立即暫停付印，并在書里把陳景潤的結(jié)果寫為第十一章：陳氏定理，并榮譽之為篩法的頂峰！第九十四頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日徐遲的報告文學(xué)陳景潤的成就伴隨徐遲的報告文學(xué)《哥德巴赫猜想》走入了1978年科學(xué)的春天，走進了千家萬戶！陳景潤成了家喻戶曉的明星，成了科學(xué)家和年輕人攀登科學(xué)高峰的楷模！第九十五頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日全國科學(xué)大會第九十六頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

北京解放軍309醫(yī)院由昆被稱為“癡人”和“怪人”的數(shù)字家陳景潤有了一個溫暖的家。第九十七頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

1984年4月27日，陳景潤在橫過馬路時，被一輛急駛而來的自行車撞倒，后腦著地，釀成意外的重傷。雪上加霜，身體本來就不大好的陳景潤，受到了幾乎致命的創(chuàng)傷。他從醫(yī)院里出來，蒼白的臉上，有時泛著讓人憂郁的青灰色，不久，終于誘發(fā)了帕金森氏綜合癥。

第九十八頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

1996年3月19日，著名數(shù)學(xué)家陳景潤因病長期住院，經(jīng)搶救無效逝世，終年63歲。第九十九頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日第一百頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日四、四色問題

四色問題也稱“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。第一百零一頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日

德?摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的,至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。

第一百零二頁，共一百一十三頁，編輯于2023年，星期日但德·摩根未能解決這個問題,就又把這個問題轉(zhuǎn)給了其他數(shù)學(xué)家,其中包括著名數(shù)學(xué)家哈密頓。但這個問題當(dāng)時沒有引起數(shù)學(xué)家的重視。直到1878年,英國數(shù)學(xué)家凱萊對該問題進行了一番思考后，認為這不是一個可以輕易解決的問題，并于當(dāng)年在《倫敦數(shù)學(xué)會文集》上發(fā)表了一