數(shù)值分析線性空間

數(shù)值分析線性空間第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第一節(jié)線性空間

一、線性空間的定義

二、線性空間的性質(zhì)

三、線性空間的基與維數(shù)

四、元素在給定基下的坐標(biāo)

五、線性空間的同構(gòu)

六、基變換公式與過渡矩陣

七、坐標(biāo)變換公式

八、線性空間的子空間第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析一、線性空間的定義第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．

線性空間是為了解決實際問題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個抽象，即把實際問題看作線性空間，進而通過研究線性空間來解決實際問題．第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析設(shè)是一個非空集合，為數(shù)域．如果(1)對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的和，記作(2)對于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應(yīng)，稱為與的積，記作定義如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規(guī)律，那么V就稱為數(shù)域F上的線性空間．第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析

2．線性空間中的元素不一定是有序數(shù)組．

3．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數(shù)乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．

說明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運算，稱為線性運算．第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析（１）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算是通常的實數(shù)間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．例１實數(shù)域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析

通常的多項式加法、數(shù)乘多項式的乘法兩種運算滿足線性運算規(guī)律．第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析例４

正弦函數(shù)的集合對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析是一個線性空間.例５在區(qū)間上全體實連續(xù)函數(shù)，對函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間．第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析例６正實數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運算為驗證對上述加法與數(shù)乘運算構(gòu)成線性空間．

（２）一個集合，如果定義的加法和數(shù)乘運算不是通常的實數(shù)間的加乘運算，則必需檢驗是否滿足八條線性運算規(guī)律．證明所以對定義的加法與數(shù)乘運算封閉．第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析下面一一驗證八條線性運算規(guī)律：第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析所以對所定義的運算構(gòu)成線性空間．第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析不構(gòu)成線性空間．對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析(1)零元素是唯一的．二、線性空間的性質(zhì)(2)負元素是唯一的．(4)如果，則或.第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析三、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關(guān)的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關(guān)的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析

第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析定義

在線性空間中，如果存在個元素滿足：第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析

當(dāng)一個線性空間中存在任意多個線性無關(guān)的向量時，就稱是無限維的．第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析定義四、元素在給定基下的坐標(biāo)第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析注意

線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標(biāo)一般不同，一個元素在一個基下對應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析例２

所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析五、線性空間的同構(gòu)第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析定義設(shè)是兩個線性空間，如果它們的元素之間有一一對應(yīng)關(guān)系，且這個對應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對應(yīng)，那末就稱線性空間與同構(gòu).第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析例如與維數(shù)組向量空間同構(gòu).形成一一對應(yīng)關(guān)系；第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析則有３．同維數(shù)的線性空間必同構(gòu)．

２．同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對稱性與傳遞性．結(jié)論１．?dāng)?shù)域上任意兩個維線性空間都同構(gòu)．第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析同構(gòu)的意義

在線性空間的抽象討論中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運算的代數(shù)性質(zhì)．從這個意義上可以說，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析六、基變換公式與過渡矩陣

那么，同一個向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問題：在維線性空間中，任意個線性無關(guān)的向量都可以作為的一組基．對于不同的基，同一個向量的坐標(biāo)是不同的．第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析稱此公式為基變換公式．第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析基變換公式矩陣稱為由基到基的過渡矩陣．過渡矩陣是可逆的．第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析若兩個基滿足關(guān)系式七、坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式或第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析證明第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析組第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析八、線性空間的子空間定義設(shè)是一個線性空間，是的一個非空子集，如果對于中所定義的加法和數(shù)乘兩種運算也構(gòu)成一個線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對于中的線性運算封閉．第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析解(1)不構(gòu)成子空間.因為對例

有第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析即對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對任意有于是第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析滿足且第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析生成子空間第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析例求由P[x]3中的元素生成的子空間的基和維數(shù)第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析矩陣代數(shù)中的幾個重要子空間第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析第五十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析A非奇異（滿秩）第六十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期六數(shù)值分析數(shù)值分析2、矩陣的