無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計()

無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計()第一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：(6.1.1)(6.1.2)第二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性第三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求第四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)第五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六3.數(shù)字濾波器設(shè)計方法概述

IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設(shè)計方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法進行的。其設(shè)計步驟是：先設(shè)計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。第六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

6.2模擬濾波器的設(shè)計

模擬濾波器的理論和設(shè)計方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設(shè)計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計人員使用。第七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性第八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六1.模擬低通濾波器的設(shè)計指標及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計指標有αp,Ωp,αs和Ωs。其中Ωp和Ωs分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，αp是通帶Ω(=0~Ωp)中的最大衰減系數(shù)，αs是阻帶Ω≥Ωs的最小衰減系數(shù)，αp和αs一般用dB數(shù)表示。對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)第九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標用圖6.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因(6.2.3)(6.2.4)第十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.2低通濾波器的幅度特性第十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

濾波器的技術(shù)指標給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標αp和αs，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實數(shù)，因此(6.2.5)第十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)

圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系第十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：(6.2.7)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：(6.2.8)第十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點分布第十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取s平面左半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個極點構(gòu)成Ha(s)。Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點有6個，它們分別為第十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六取s平面左半平面的極點s0,s1,s2組成Ha(s)：第十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)(6.2.11)第十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

式中，pk為歸一化極點，用下式表示：將極點表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項式，用下式表示：

(6.2.12)

將Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14)(6.2.15)第十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：令,則N由下式表示：(6.2.16)第二十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率Ωc，如果技術(shù)指標中沒有給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：由(6.2.15)式得到：(6.2.17)(6.2.18)第二十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計步驟如下：

(1)根據(jù)技術(shù)指標Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。

(2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。第二十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)第二十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六第二十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。解(1)確定階數(shù)N。第二十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)按照(6.2.12)式，其極點為按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為第二十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：極點：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361第二十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：第二十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

我們這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計方法。圖6.2.5分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：(6.2.19)第三十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性第三十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，ε愈大，波動幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。令λ=Ω/Ωp，稱為對Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項式，定義為第三十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六當(dāng)N=0時，C0(x)=1；當(dāng)N=1時，C1(x)=x；當(dāng)N=2時，C2(x)=2x21；當(dāng)N=3時，C3(x)=4x33x。由此可歸納出高階切比雪夫多項式的遞推公式為

CN+1(x)=2xCN(x)CN-1(x)(6.2.20)第三十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時的切比雪夫多項式特性。由圖可見：

(1)切比雪夫多項式的過零點在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)|x|<1時，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當(dāng)|x|>1時，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。第三十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項式曲線第三十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

按照(6.2.19)式，平方幅度函數(shù)與三個參數(shù)即ε,Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋δ用下式表示：(6.2.21)因此(6.2.22)第三十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線第三十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)阻帶的起始點頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出第三十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式：(6.2.26)第三十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。求解的過程請參考有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。

設(shè)Ha(s)的極點為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)第四十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計算公式：(6.2.26)設(shè)Ha(s)的極點為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.27)式中(6.2.28)第四十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(6.2.28)式是一個橢圓方程，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)第四十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.8三階切比雪夫濾波器的極點分布第四十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點分布如圖6.2.8所示(極點用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)

式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)第四十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

按照以上分析，下面介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計步驟。

1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωsαp是Ω=Ωp時的衰減系數(shù)，αs是Ω=Ωs時的衰減系數(shù)，它們?yōu)槿w一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)第四十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

這里αp就是前面定義的通帶波紋δ，見(6.2.21)式。歸一化頻率

2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε

由(6.2.19)式，得到：第四十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將以上兩式代入(6.2.34)式和(6.2.35)式，得到：令(6.2.36)(6.2.37)第四十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于N的最小整數(shù)。按照(6.2.22)式求ε，這里αp=δ。

ε+2=100.1δ13)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

為求Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出歸一化極點pk,k=1,2,:,N。第四十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將極點pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)第四十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.2.2設(shè)計低通切比雪夫濾波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解

(1)濾波器的技術(shù)要求：第五十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)求階數(shù)N和ε：第五十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時的極點pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：第五十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六4.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計為了防止符號混淆，先規(guī)定一些符號如下：

1)低通到高通的頻率變換

λ和η之間的關(guān)系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：(6.2.41)(6.2.40)第五十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性第五十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

模擬高通濾波器的設(shè)計步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標：通帶下限頻率Ω′p，阻帶上限頻率Ω′s，通帶最大衰減αp，阻帶最小衰減αs。

(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計指標：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項設(shè)計指標為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω′p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω′s；③通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減仍為αs。第五十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p)。

(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得例6.2.3設(shè)計高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。(6.2.42)第五十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

解①高通技術(shù)要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：第五十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六③設(shè)計歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故第五十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六④求模擬高通H(s)：

2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。第五十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對應(yīng)關(guān)系第六十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

由η與λ的對應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于第六十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)第六十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計步驟。(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標，即：帶通上限頻率Ωu，帶通下限頻率Ωl下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=ΩuΩl與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：第六十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：

λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。

(3)設(shè)計歸一化低通G(p)。

(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。第六十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.2.4設(shè)計模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解(1)模擬帶通的技術(shù)要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6第六十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)設(shè)計模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有第六十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：第六十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性第六十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

圖中，Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl，阻帶帶寬B=ΩuΩl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對應(yīng)關(guān)系第六十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

根據(jù)η與λ的對應(yīng)關(guān)系，可得到：且ηuηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)第七十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六下面總結(jié)設(shè)計帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω+20=ΩuΩl，阻帶寬度B=ΩuΩl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。第七十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：取λs和λs的絕對值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計歸一化模擬低通G(p)。

(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。第七十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.2.5設(shè)計模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計巴特沃斯帶阻濾波器。解

(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω20=ΩlΩu=4π+2×1000025,B=ΩuΩl=2π×200;

第七十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計歸一化低通濾波器G(p):第七十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(4)帶阻濾波器的H(s)為第七十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR

數(shù)字低通濾波器

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點要求：

(1)因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。

(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。第七十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)第七十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：(6.3.3)對上式進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：(6.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，第七十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

對進行拉氏變換，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)第七十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

上式表示采樣信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(6.3.6)第八十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六將s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)第八十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標準映射關(guān)系。下面進一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)第八十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

那么

σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1

另外，注意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)第八十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系第八十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象第八十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令第八十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

一般Ha(s)的極點si是一個復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點放在一起，形成一個二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點為(6.3.11)

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實數(shù)乘法)的形式為(6.3.12)第八十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點為(6.3.13)(6.3.14)第八十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解首先將Ha(s)寫成部分分式：極點為那么H(z)的極點為第八十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到設(shè)T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，則

轉(zhuǎn)換時，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點s1,2=σ1±jΩ1,則第九十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六再按照(6.3.14)式，H(z)為第九十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.3.3例6.3.1的幅度特性第九十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

6.4用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字

低通濾波器

正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：(6.4.1)

式中T仍是采樣間隔，當(dāng)Ω1從π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω則由∞經(jīng)過0變化到+∞，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的±π/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(6.4.2)第九十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)第九十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系。圖6.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系第九十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系第九十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.4.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射第九十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

設(shè)第九十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

表6.4.1系數(shù)關(guān)系表第九十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六第一百頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為第一百零一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(a)H1(z);(b)H2(z)第一百零二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。

(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標：通帶截止頻率ωp、通帶衰減αp、阻帶截止頻率ωs、阻帶衰減αs。

(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標。

如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為第一百零三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性第一百零四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標設(shè)計模擬低通濾波器。

(4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例6.4.2設(shè)計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2πrad時，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3π到π之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計濾波器。第一百零五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

解

(1)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通的技術(shù)指標為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標為

T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB第一百零六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率Ωc。第一百零七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

取N=6。為求3dB截止頻率Ωc,將Ωp和αp代入(6.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混疊有一定好處。根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到實際的傳輸函數(shù)Ha(s),第一百零八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六④用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進行部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：第一百零九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.4.7例6.4.2圖——用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第一百一十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器。①數(shù)字低通技術(shù)指標仍為

ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模擬低通的技術(shù)指標為第一百一十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六③設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計算如下：

取N=6。為求Ωc,將Ωs和αs代入(6.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標滿足要求，通帶指標已經(jīng)超過。第一百一十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/Ωc代入Ha(p)，得實際的Ha(s)，④用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：第一百一十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六圖6.4.8例6.4.2圖——用雙線性變換法設(shè)計的數(shù)字低通濾波器的幅度特性第一百一十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計

例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計步驟如下：

(1)確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標。

(2)將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標，轉(zhuǎn)換公式為

第一百一十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(具體轉(zhuǎn)換公式參考本章6.2節(jié))。

(4)設(shè)計模擬低通濾波器。

(5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。

(6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。第一百一十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.5.1設(shè)計一個數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3

dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解

(1)數(shù)字高通的技術(shù)指標為

ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB第一百一十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)模擬高通的技術(shù)指標計算如下：令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標計算如下：第一百一十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將Ωp和Ωs對3dB截止頻率Ωc歸一化，這里Ωc=Ωp,(4)設(shè)計歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：第一百一十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

查表6.2.1，得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為

為去歸一化，將p=s/Ωc代入上式得到：(5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)：第一百二十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(6)用雙線性變換法將模擬高通H

(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即第一百二十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.5.2設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3πrad到0.4πrad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。解

(1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標為通帶上截止頻率

ωu=0.4πrad

通帶下截止頻率

ωl=0.3πrad第一百二十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

阻帶上截止頻率

ωs2=0.5πrad

阻帶下截止頻率

ωs1=0.2πrad

通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減αs=18dB。第一百二十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)模擬帶通濾波器技術(shù)指標如下：設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率)(帶寬)第一百二十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到

ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標：歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率λp=1αp=3dB,αs=18dB第一百二十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(4)設(shè)計模擬低通濾波器：查表6.2.1，得到歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),第一百二十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(5)將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通：

(6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計算：第一百二十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得第一百二十八頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

例6.5.3設(shè)計一個數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率ωl=0.19π,阻帶下截止頻率ωs1=0.198π，阻帶上截止頻率ωs2=0.202π，通帶上限頻率ωu=0.21π，阻帶最小衰減αs=13dB，ωl和ωu處衰減αp=3dB。采用巴特沃斯型。解

(1)數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標：

ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB第一百二十九頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(2)模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標：設(shè)T=1，則有阻帶中心頻率平方為

Ω20=ΩlΩu=0.421阻帶帶寬為

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s第一百三十頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

將以上邊界頻率對B歸一化：

ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標：按照(6.2.48)式，有

λp=1,αp=3dB第一百三十一頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(4)設(shè)計模擬低通濾波器：(5)將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)：第一百三十二頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六(6)將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。第一百三十三頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六6.6IIR數(shù)字濾波器的直接設(shè)計法1.零極點累試法稱為零極點累試法。在確定零極點位置時要注意：

(1)極點必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；

(2)復(fù)數(shù)零極點必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實的。第一百三十四頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

圖6.6.1例6.6.1圖(a)零極點分布；(b)幅度特性第一百三十五頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六2.在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器設(shè)IIR濾波器由K個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示，(6.6.1)

式中，A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(ejω)是希望設(shè)計的濾波器頻響。如果在(0，π)區(qū)間取N點數(shù)字頻率ωi,i=1,2,:,N，在這N點頻率上，比較|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為(6.6.2)第一百三十六頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

而在(6.6.1)式中共有(4K+1)個待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面我們研究采用(6.6.1)式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。按照(6.6.2)式，E是(4K+1)個未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示：

上式θ表示4K個系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令(6.6.3)第一百三十七頁，共一百四十八頁，編輯于2023年，星期六

為選擇A使E最