力學大會2015集弱界面損傷耦合模型及其對多鐵性層合材料斷裂行為的影

，，兵機械工程系，摘要：考慮多鐵性復合材料界面力、電損傷之間的兩兩耦合作用，建立了弱界面損傷耦合模型。作為對弱界面損傷耦合模型的應(yīng)用，進一步研究了含耦合弱界面的壓電壓磁層合材料的層內(nèi)斷裂問題揭示了弱界面損傷及其耦合對斷裂行為的如下4方面影響規(guī)律：()損傷會增大斷裂參數(shù)值；在張開型和滑開型兩種機械損傷居于主導；(b)在力-磁力-電損傷耦合同時存在，則磁-電損傷耦合會增大平面裂紋的斷裂參數(shù)值A(chǔ)newinterfacialimperfectioncouplingmodelanditseffectonthefacturebehavioroflayeredmultiferroiccompositesKaiZhou,TaoXiong,YongDong*DepartmentofMechanicalEngineering,Academyof Engineering,100072,*通信作者..:+86-10-6671-7732(Li,Y.D.).E- (Li,本文的研究受到國家自然科學基金項目 :Ainterfacialimperfectioncouplingmodelisproposedtodescribetheinter-couplingsamongtheinterfacialmechanical,magneticandelectricimperfectionsinlayeredmultiferroiccomposites.Asanapplicationofthemodel,fractureysisisperformedonthemultiferroiccompositescontainingintra-layercracks,andtheeffectsofinterfacialimperfectionsandtheirinter-couplingsonthecracksyieldfourmainconclusions:1.Thevaluesoffractureparameterscanbeenhancedbytheinterfacialmechanicalimperfections.Forthetwotypesofmechanicalimperfections,theoneassociatedwithtransversetensionorcompressiongenerallyhasthedominanteffect.2.Whenmagneto-mechanical(orelectro-mechanical)imperfectioncouplingexists,thevaluesoffractureparameterscanbelowereddownbymagnetic(orelectric)imperfection.Strongercouplinggenerallyleadstomoreremarkableeffectofthemagnetic(orelectric)imperfection.3.Strongermagneto-mechanical(orelectro-mechanical)imperfectioncouplingwillgeneratelowervaluesoffractureparameters.Astheintensityofthecouplingincreases,thefractureparameterwillfinallyreducetoalimit.Moreseriousmagnetic(orelectric)imperfectionwillgiverisetomorequickreductionofthefractureparameter.4.Inanti-necases,magneto-electricimperfectioncouplinghasnoeffectonthecracks.Butinin-necases,ifthemagneto-mechanicalandelectro-mechanicalimperfectioncouplingsexistsimultaneously,themagneto-electricimperfectioncouplingwillhavenotableeffectonthefractureparameter.:Imperfectinterface;Interfacialimperfections;Couplingmodel;Layeredmultiferroiccomposites;Fractureτkτ

τkα

,(

r,y k

ΓT其中，kr對應(yīng)圖1(a)的力學模型，ky對應(yīng)圖1(b)的力學模型；廣義應(yīng)力τk DkTT，廣義位移wwφ?]τ為切應(yīng)w為z軸B、φD和?分別表示面內(nèi)的磁感應(yīng)強度、磁勢、電位移和電勢。αΓ為弱界面廣義剛度矩陣，其具體形式為T 鐵鐵磁yrθyrθoxyoxzox多鐵性層合(受軸向剪切載荷

多鐵性層合(受反平面剪切載荷

多鐵性層合(受面內(nèi)載荷圖1含弱界面的多鐵性層,σzσz β )z

Γ其中，廣義應(yīng)力σz Dz]T，廣義位移u wφ?]T；σ為正應(yīng)力，u為x方的機械位移。βΓ為弱界面的廣義剛度矩陣，具體形式 其中，系數(shù)β1和β2分別表示與uw所對應(yīng)的機械損傷的強β3和β4分別表示磁學損傷和電完好界面完好界面鐵磁弱界面(b)界面層存弱界面(b)界面層存在損鐵磁圖2含界面層的多鐵性復其中，M為界面層的材料系數(shù)矩

τyM hMh

e5

11 其中c44為剪切模量μ11為磁導率，11為介電系數(shù)h15為壓磁系e15為壓電系數(shù)d11為磁電廣義剛度矩陣αΓ具有如下形

h h

~ 4 2 611

α

15

36)前乘以界面層材料常數(shù)是為

有統(tǒng)一的量綱(即[長度]-1)，從而便于后續(xù)α

分別為力αα 4~4

5

6取零值時，分別表示力-磁損傷間、力-電損傷間、磁

4

5

60m1時，耦合的廣義線彈簧模 σz 其中，廣義應(yīng)力σz和廣義位移u見式(3)，而矩陣M c44, c44, h15, e15,x c c h eM13, 33, 33, 33,z h31, h

μ

d33,z 33, 33

e33,

d33,

,z為偏導符號，其下標中逗號后的坐標表示偏導運算所針對的變c13、c33和c44為彈性常數(shù)；μ33為磁導率；33為介電系數(shù)；h15、h31和h33為壓磁系數(shù)；e15、e31和e33為壓電系數(shù)；d33為磁電系數(shù)。由式(8)和(9)可以看出，對τzx有貢獻的是ux沿z方向的梯度以及w、φ和?沿x方向的梯度；σz、Bz和Dz有貢獻的是ux沿x方向的梯度以及w、φ和?沿z方向的梯度。因此，從理論上講在建立圖2(b)中弱界面的耦合廣義線彈簧模型時，需要考慮弱界面沿x方向和z方向的廣義位移間b)中弱界面的耦合廣義線彈簧模型仍然可以用式(3)表示，只是其中的廣義剛度矩陣βΓ應(yīng)替換 dβd

βh

βμβ

β6e33

~5 ~3 ~733 β433其前乘以界面層材料常數(shù)同樣是為中，~i=1,2, 其前乘以界面層材料常數(shù)同樣是為中 和~分別為力-磁損傷耦合系數(shù)、力 電損傷耦合系數(shù)和磁 當β1、β2、β3和β4全取零值時，界面在力學上處于“完全脫粘”狀態(tài)、在電學和磁學上處于“ 完全導通”狀態(tài)。當β5、β6和β7取零值時，力、電、磁三類損傷之間無耦合作用；當它們?nèi)〈笥谌踅缑?。以橫截面圓心O為原點，分別建立直角坐標系與極坐標系，則鐵電層內(nèi)、外半徑分別為r0r1，而鐵磁層內(nèi)、外半徑分別為r2和r3。假設(shè)在鐵電層和鐵磁層中各有一條弧形裂紋，它們都關(guān)于軸對稱，其中心角分別為2α和2β，半徑分別為rI和rII。假設(shè)圖3中的材料沿軸向極化，則鐵電層,y θα

τ(j)

γ(j) j γ(j)rδ j,k τ(j)r1τ(j)r1τ(j kr,θ,j1,2；上、下標中的1和2分別代表鐵電層和鐵磁層γk[γkz Hk Ek]T，而γkz、Hk和Ek分別為切應(yīng)變分量、磁場強度分量和電場強度分量；δkθ為Kronecker符號，當其兩個下標相同時，其值為1，否則其值為0；系數(shù)矩陣M 為2j 1jc(2j 1jMδ （j ,(j1,2 2j 1 (j)1Mj0(j1,2)。所以，將式(11)代入式(12)2w

0,(j1, 2 其中，為二維 算子，rr2θ2rr τ(1)(r,θ)α[w(r,θ)w(r 2 其中，αΓ為弱界面的廣義剛度矩陣，見式(7)E1E2。此外，材料的內(nèi)、外表面還受到機械約束作用，約束面力τ01和τ02將通過。于如下兩個子問題的疊加該多鐵性層合柱中無裂紋而且受到圖3所示外電場和機械約束作用；為rrIr該多鐵性層合柱中存在圖3所示的裂紋，兩條裂紋的表面分別受到大小為τI和τII的等效軸向剪在電場加載和機械約束作用的條件下，除了式(15)和式(16)以外，子問題A的邊界條件還包 E(1)(r,θ)E;E(2)(r,θ) B(1)(r,θ)0;B(2)(r,θ) 利用子問題A的軸對稱性質(zhì)，可簡化控制方程組式(14)，求解簡化后的控制方程并代入式(17)~(19)中[14]ττc(1)[(1k2 r r](re(1) 011 13 I15 其中，無量綱壓電硬化因子[14]為ke τ(1)(r,θ)τ(1)(r,θ);φ(r,θ)φ(r,θ);?(r,θ)?(r 1 1 1 2 2 2 2 密度函數(shù)，并基于正（余）弦函數(shù)的正交導裂紋問題的Cauchy奇異積分方程組；最后利用配點法度方向且垂直向上。鐵電層厚度h1h0，鐵磁層厚度h2，弱界面厚度hsh0h2。鐵電層和鐵磁層中各有一組平行于弱界面的非等長裂紋，裂紋左右尖端的橫坐標分別表示為a(I)、b(I) i1,2,,n)和a(II)、b(II)(j1,2,,n)，其中n、 xoy平面內(nèi)的均勻電場（或磁場）中。外加電（磁）場的方向垂直于材料的上、下表面且大小分別為E1和E2（或H1和H2）。此外，材料的上、下表面還受到機械約束作用，約束面力τ01和τ02將通過后文分析得出。假設(shè)圖4中的材料沿z軸極化，則鐵電層與鐵磁層的基本方程可以表示為[11,12]E1或 E2或H τ(j)Mγ(j)(j 圖4含弱界面的多鐵性層合板反平k斷裂jk(j γ wj, τ(j τ(j

j1,2kx,y；上、下標中的1和2分別代表鐵電層和鐵磁層τk和w見(1)γk見式(11)，其中kx,y；材料常數(shù)矩陣Mj見式(13)Mj0(j1,2)，所以，將式(28)代入式(29)，可得控制方程 其中，為二維 算子，x

2wy

0,(j1,2 τ(1)(x,h)τ(2)(x,h τ(1)(x,h)α[w(x,h)w(x,h 其中，αΓ為弱界面的廣義剛度矩陣，見式(7),yhIyhII兩處所引起的的反平面切應(yīng)力分別記為τI和τII該多鐵性層合板具有圖4所示的兩組裂紋，兩組裂紋的表面分別受到大小為τI和τII的等效反平在電場加載和機械約束作用的條件下，除了式(31)和式(32)以外，子問題A的邊界條件還包τ(1)(x,h)τ;τ(2)(x,0) E(1)(x,h)E;E(2)(x,0) B(1)(x,h)0;B(2)(x,0) 在磁場加載和機械約束作用的條件下，除了式(31)、式(32)和式(33)以外，子問題A的邊界條件H(1)(x,h)H;H(2)(x,0) D(1)(x,h)0;D(2)(x,0) 對于子問題A，由于結(jié)構(gòu)幾何特征、外載荷以及材料性能參數(shù)等都在x方向上保持不變義y的函數(shù)。據(jù)此可簡化控制方程組式(30)，求解簡化后的控制方程組并代入式(33)~式(37)c[ετττ (電場c[ε 11 c[μτττ (1k2)μ(2)H] (磁場c[μ 其中，ke k

分別為無量綱壓電硬化因子和無量綱壓磁硬化因子[12]τ(1)(x,h)0；τ(2)(x,0) τ(1)(x,h)τ(1)(x,h);φ(x,h)φ(x,h);?(x,h)?(x,h τ(2)(x,h)τ(2)(x,h);φ(x,h)φ(x,h);?(x,h)?(x,h w(x,h)w(x,h),xnI(a(I),b(I) x , w(x,h)w(x,x , jτ(1)(x,h)τ,xnI(a(I),b(I) x , τ(2)(x,h)x , j。鐵磁層、鐵電層和弱界面的厚度分別為h1h0、h2和h0。上、下層中各有一組沿水平方向的非等裂紋，其在鉛垂方向的位置分zdzd；其左右尖端的橫坐標分別為a(I)、b(I)1i1,2,n)和a(II)b(II)(j1,2,

)，其nn分別為兩組裂紋的條 鐵磁

o

aja

aiabbj

bibdxd2σ(i)c(i) c(i) δh δe? 11i, i, 1i31i, 2i31i,z 1i2i33i,σ(i)c(i)ui,xc(i)wi,zδhφi, 1i2i33i,τ(i) (icw)τ(i) (ic i, i, 1i15i, 2i15i, B(i)δh w)μ(i 1i i, i, 11(i)i, B(i)δ(h hw)μz

31i,

33i,

33i, Dx

δe2i i,

i,

δ(e e ) 31i, 33i, i, σ(i)τ(i)0; σ(i)x, xz, zx, z, B(i)B(i)0 D(i)D(i)x, z, x, z, i1,2；上、下標中的1和2分別代表鐵磁層和鐵電層中的量；下標中的逗號表示關(guān)于其后面的坐標求偏導。δ1i和δ2i為Kronecker符號，當兩個下標相同時，其值為1，否則 [c(1)c(1) (hh 111, 441, 1, 1, cw φ c [c(1)c(1)cw φ c331, 441, 1, 151, 331,h h (hh 311, 111, 331,

1,

1,

(ee

112, 442, 2, 2, [c(2)c(2) e e 2, 2, 2, 152, 33e e (ee (2) (2)152, 332, 2, 2, 2, μ 2, 332, σ(1)(x,h)σ(2) σ(1)(x,h)β[u(x,h)u

σ(1)(x,h)0;σ(2)(x,h) σ(11)(x,d)σ(12)(x,d z zu(x,d)u(x,d),x(a(I),b(I) u(x,d)u

),x(a(II),b(II) jσ(1)(x,d)σ,x(a(I),b(I)),(i1,2,...,n σ(2)(x,d)σ,x(a(II),b(II)),(j1,2,...,n j其中，σ0為裂紋面的廣義等效面力，σ0 D0]T。σ0的大小需通過求解6]界面損傷及其耦合對斷裂行為的影為3mm和4mm；為消除裂紋間相互作用的干擾，假設(shè)兩條裂紋x方向間距為100mm，計算發(fā)現(xiàn)此時同一裂紋左右尖端的機械應(yīng)變能釋放率總是相等；假設(shè)裂紋面所受的力、、磁等效載荷具有如下關(guān)系[65]τλσ； λσ /c(1)；Dλσe/c(2)(λ、λ和 τ b0 d0 λBλD2此外，假設(shè)鐵磁層、鐵電層分別為CoFe2O4和BaTiO3[10]，其材料常數(shù)如附表1和附2所示[20]；完好界面層的磁電彈常數(shù)如附表3所示[21]ββ本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率分別 的變化曲線來討論機械損傷對裂紋的ββ 響。值得注意的是：~與面內(nèi)剪切損傷相對應(yīng)，而~與橫向拉壓損傷相對應(yīng)。由圖6可 β 越小，也就是說，機械損傷越嚴重，則機械應(yīng)變能釋放率越大；相對β

的影 ~β本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率β

3的變化曲線來討論磁學損傷對裂紋的影響。由圖可見~=0m1時，也就是說，當磁學損傷與機械損傷之間無耦合時~對機械應(yīng)變 釋放率無影響 0m1時，也就是說，當磁學損傷與機械損傷之間存在耦合時， ~械應(yīng)變能釋

3的減小而減小。由此得出結(jié)論：只有當磁學損傷與機械損傷之間在耦合時，它才能對裂紋造成影響；磁學損傷越嚴重( 越小)或力-磁損傷耦合越強(ββ3~β越大)，則機械應(yīng)變能釋放率越低，裂紋擴展驅(qū)動β5ββ4本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率ββ4

的變化曲線來討論電學損傷對裂紋的影響。由圖β可見：當電學損傷與機械損傷之間無耦合（β

=0

）時

對機械應(yīng)變能釋放率無 β6響；當電學損傷與機械損傷之間存在耦合（ β60

~的減小而減小。由此得出結(jié)論：只有當電學損傷與）時，機械應(yīng)變能釋β

越小)或力44電損傷耦合越強

越大)，則機械應(yīng)變能釋放率越低，裂紋擴展驅(qū)動力也就越 ~~ β=50500裂紋裂紋機械應(yīng)變機械應(yīng)變能釋放率0

~~~β1~~β1500~~裂紋裂紋0

~β2(m1~~33

4 5 6

70m1β本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率β磁損傷耦合對裂紋的影響。由圖

5變化曲線來討論力 從0m1開始增大，機械應(yīng)變能釋放率可見：隨 ~β械應(yīng)變能釋放率隨弱界面力β~5 ~=5000β~5 β5=20000裂紋釋放率釋放率機械應(yīng)變能釋放率

裂紋~ =0裂紋裂紋機械機械應(yīng)變能釋放率

β(10m3.5力-本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率隨~的變化曲線來討論力磁損傷耦合對裂紋的影響規(guī)律是相似的；機械應(yīng)變能釋放率隨弱界面力電損傷耦合的增強而降低，而且電學損傷越嚴重這種降低的趨勢越顯著

β=0m

β=5000 β3=3105m1 β

裂紋 ~β ~ ~=50006β47裂紋裂紋

6β~(102m1611

2 3 5

70m1β本小節(jié)用機械應(yīng)變能釋放率β

7變化曲線來討論磁電損傷耦合對裂紋的影響。由圖11可見：磁-電損傷耦合是否能影響裂紋取決于力β ~=0β

對裂紋無影響；當力-磁損傷耦合、力 電損傷耦合存在(~ 0m1

的減小而減小。在磁機械應(yīng)變能釋放率β 時，機械應(yīng)變能機械應(yīng)變能釋放率β電損傷耦合系β

由0

增大的過程中，機械應(yīng)變能釋放率逐漸增大并最終趨近于 β =0 β

時的值需要說明的是，這里磁電損傷耦合系數(shù)對斷裂參數(shù)的影響規(guī)律與多鐵性層面問題中的結(jié)果有很大不同。在多鐵性層合板的反平面斷裂問題中，無論是否存在力-磁損傷耦合與力-電損傷耦合，磁電損傷耦合系數(shù)都對斷裂參數(shù)無影響。由于反平面問題中裂紋一般是合的，所以假設(shè)裂紋面電磁可通；而平面問題中的裂紋一般不閉合，所以這里假設(shè)裂 =0 裂紋裂紋

機械應(yīng)變能釋放率β~(10機械應(yīng)變能釋放率β 圖11磁-電損傷耦合對機械應(yīng)變能釋放率的影 1 2 3 4 總析。在上述問題的研究中，運用Fourier積分變換法，推導了裂紋的Cauchy奇異積分方電學損傷)越嚴重，斷裂參數(shù)降低到極限值的速度越快；(d)在反平面問題中，磁-電損傷耦合對裂紋無影響；但在平面問題中，若力-磁損傷耦合、力電損傷耦合同時存在，則增強磁-電損傷耦合會增大裂紋的斷裂參數(shù)值致 附附表1鐵酸鈷的材料常數(shù)cc

cc

cc

cc

μμ

μμ10109NmN109C2(Nm2106Ns2286170.5269.5 580.3699.7 附表2鈦酸鋇的材料常數(shù)cc

cc

cc

cc

μμ

μμ109Nm Cm 109C2(Nm2 106Ns2 - 附表3完好界面層的磁電彈常數(shù) c33 e33 109NmCN109NmCN109C2(Nm2 104Ns2124216 -2.29.3 290.2350 參考文獻[1],,.弱界面壓電/壓磁層狀結(jié)構(gòu)中的SH波[J].力學學報.2011,43(5):948-FanH,SzeKY.Anmicro-mechanicsmodelforimperfectinterfaceindielectricmaterials[J].MechanicsofMaterials.2001,33(6):363-370.LiuCB,BianZG,ChenWQ,LüCF.Three-dimensionalpyroelectricysisofamultilayeredpiezoelectrichollowspherewithimperfectbonding[J].CompositeStructures.,2014,113(1):145-OteroJA,Rodríguez-RamosR,MonsivaisG,SternC,LebonF.Interfacialwavesbetweenpiezoelectricandpiezomagnetichalf-spaceswithmagneto-electro-mechanicalimperfectinterface[J].PhilosophicalMagazineLetters.2013,93(7):413-421.LiYD,LeeKY.Cracktipshieldingandanti-shieldingeffectsoftheimperfectinterfaceinalayeredpiezoelectricsensor[J].InternationalJournalofSolidsandStructures2009,46(7-8):1736-1742.SunWH,JuGL,PanJW,LiYD.Effectsoftheimperfectinterfaceandpiezoelectric/piezomagneticstiffeningontheSHwaveinamultiferroiccomposite[J].Ultrasonics2011,51(7):831-838.LiYD,LeeKY.EffectofanimperfectinterfaceontheSHwavepropagatinginacylindricalpiezoelectricsensor[J].Ultrasonics2010,50(4-5):473-478.ChenWQ,CaiJB,YeGR,WangYF.Exactthree-dimensionalsolutionsoflaminatedorthotropicpiezoelectricrectangulartesfeaturinginterlaminarbondingimperfectionsmodeledbyageneralspringlayer[J].InternationalJournalofSolidsandStructures2004,41(18-19):5247-5263.ZhouYY,ChenWQ,LüCF.Semi-yticalsolutionfororthotropicpiezoelectriclaminatesincylindricalbendingwithinterfacialimperfections[J].CompositeStructures2010,92(4):1009-1018.ZhengH,WangJ,LoflandSE,etal.MultiferroicBaTiO3-CoFe2O4Nanostructures[J].Science.2004,303(5658):661-663.LiYD,FengFX.,ZhaoH.Multipleinterfacialcracksinabi-layeredmultiferroiccompositeundermagnetostrictionorelectrostriction[J].EngineeringFractureMechanics.2012,90(1):65-75.LiYD,LeeKY.Effectsofmagneto-electricloadingsandpiezomagnetic/piezoelectricstiffeningonmultiferroicinterfacefracture[J].EngineeringFractureMechanics.2010,77(5):856-866.LiYD,LeeKY,FengFX.Magnetostrictive/electrostrictivefractureofthepiezomagneticandpiezoelectriclayersinamultiferroiccomposite:Anti-necase[J].InternationalJournalofSolidsandStructures.2011,48(9):1311-1317.LiYD,LeeKY.Magnetostrictivefractureofacylindricalmultiferroiccomposite[J].InternationalJournal