差分方程(1)-基礎(chǔ)知識

差分方程(1)——基礎(chǔ)知識2021/5/91一、差分二、差分方程的概念三、一階常系數(shù)線性差分方程四、二階常系數(shù)線性差分方程2021/5/92一、差分

微分方程是自變量連續(xù)取值的問題,但在很多實際問題中,有些變量不是連續(xù)取值的.例如,經(jīng)濟變量收入、儲蓄等都是時間序列,自變量

t

取值為0,1,2,,數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量.通常用差商來描述因變量對自變量的變化速度.定義1

設(shè)函數(shù)

y=f(x),記為

yx,則差yx+1

yx稱為函數(shù)

yx

的一階差分,記為yx,即

yx=

yx+1

yx.2021/5/93

(yx)=yx+1yx=(yx+2yx+1)(yx+1yx)

=yx+22yx+1+yx為二階差分,記為2yx,即3yx=(2yx),

同樣可定義三階差分3yx,四階差分4yx,即

4yx

=(3yx).

2yx

=(yx)=

yx+22yx+1+yx2021/5/94

例1求(x3),2(x3),3(x3),4(x3).解

(x3)=(x+1)3

x3=3x2+3x+1,2(x3)=(3x2+3x+1)=3(x+1)2+3(x+1)+1(3x2+3x+1)=6x+6,

3(x3)=(6x+6)=6(x+1)+6(6x

+6)=6,

4(x3)=(6)

6=0.2021/5/95二、差分方程的概念

定義2

含有自變量、未知函數(shù)及其差分的方程,稱為差分方程.差分方程的一般形式為F(x,yx,yx,,nyx)=0.(1)差分方程中可以不含自變量

x

和未知函數(shù)

yx,但必須含有差分.

式(1)中,當(dāng)

n=1時,稱為一階差分方程；當(dāng)n=2時,稱為二階差分方程.2021/5/96

例2將差分方程2yx+2yx

=0表示成不含差分的形式.解

yx=yx+1yx,2yx=yx+22yx+1+yx,代入得yx+2yx=0.

由此可以看出,差分方程能化為含有某些不同下標(biāo)的整標(biāo)函數(shù)的方程.2021/5/97

定義3

含有未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程,稱為差分方程.

其一般形式為G(x,yx,yx+1,,

yx+n)=0.(2)

定義3中要求yx,yx+1,,

yx+n不少于兩個.

例如,

yx+2+

yx+1

=0為差分方程,

yx=x不是差分方程.

差分方程式(2)中,未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)為

n,則稱差分方程為n階差分方程.2021/5/98

定義4

如果一個函數(shù)代入差分后,方程兩邊恒等,則稱此函數(shù)為該差分方程的解.

例3驗證函數(shù)

yx=2x+1是差分方程

yx+1

yx=2的解.解

yx+1=2(x+1)+1=2x+3,

yx+1

yx=2x+3(2x+1)=2,所以yx=2x+1是差分方程

yx+1

yx=2的解.

定義5

差分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與差分方程的階數(shù)相等,這樣的解稱為差分方程的通解.2021/5/99三、一階常系數(shù)線性差分方程

一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為yx+1

ayx=f(x).(3)其中

a

為不等于零的常數(shù).稱為齊次差分方程;當(dāng)

f(x)0時,稱為非齊次差分方程.

當(dāng)

f(x)=0時,即yx+1

ayx=0(4)2021/5/910先求齊次差分方程

yx+1

ayx=0的解設(shè)

y0

已知,代入方程可知

y1=

ay0,

y2=

a2y0,

yx=

axy0,令y0=

C,則得齊次差分方程的通解為

yx=

Cax.(5)2021/5/911

例4求差分方程

yx+1+2yx=0的通解.

解

這里

a=2,由公式(5)得,通解為

yx=C(2)x.2021/5/912

定理

設(shè)

y0*是非齊次差分方程(3)對應(yīng)的齊次差分方程(4)的通解,再討論非齊次差分方程

yx+1

ayx=f(x)解的結(jié)構(gòu)是(3)的一個特解,則程(3)的通解.是方下面用待定系數(shù)法來求兩種類型函數(shù)的特解.(1)令f(x)=

b0+b1x++bmxm設(shè)特解的待定式為

或(6)(7)其中B0,B1,,Bm為待定系數(shù).

2021/5/913

例5求差分方程

yx+12yx=3x2

的一個特解.

解

這里

a=2,設(shè)代入差分方程,得B0+B1(x+1)+B2(x+1)22(B0+B1x+B2x2)=3x2.整理,得

(B0+B1+B2)+

(

B1+2B2)

xB2x2=3x2.比較系數(shù),得

B0+B1+B2=0,B1+2B2=0,B2=3.解出B0=

9,B1=6,B2=3,故所求特解為2021/5/914

例6求差分方程

yx+1yx=x+1的通解.

解

對應(yīng)的齊次方程

yx+1yx=0的通解為這里

a=1,設(shè)

(x+1)[B0+B1(x+1)]

x(B0+B1x)=x+1.整理,得

2B1x+

B0+B1

=x+1.比較系數(shù),得

2B1=1,B0+B1=1,解出故所求通解為代入差分方程,得2021/5/915(2)f(x)=Cbx設(shè)特解的待定式為

或(8)(9)其中

k為待定系數(shù).

2021/5/916

例7求差分方程

的通解.

解

對應(yīng)的齊次方程的通解為因為故可設(shè)特解為則2021/5/917解出則所求通解為2021/5/918四、二階常系數(shù)線性差分方程

形如yx+2+

ayx+1+byx=f(x).(10)(其中

a,b0,且均為常數(shù))的方程,稱為二階常系數(shù)線性差分方程.稱為齊次差分方程;當(dāng)

f(x)0時,稱為非齊次差分方程.當(dāng)

f(x)=0時,即yx+2+

ayx+1+byx=0(11)

類似于二階線性常微分方程,二階線性差分方程與其有相同的解的結(jié)構(gòu).故先求齊次方程(11)的通解.2021/5/919

當(dāng)

為常數(shù)時,yx

=x和它的各階差商有倍數(shù)關(guān)系,所以可設(shè)

yx

=x為方程(11)的解.代如方程(11)得

x+2+ax+1+bx=0,方程(12)稱為齊次差分方程(11)的特征方程.特征方程的解兩個不相等的實根

1,2一對共軛復(fù)根

1,2=i兩個相等實根

1=2

x+2+ax+1+bx=0的通解

2+a+b=0,(12)

由特征方程的根的情況可得齊次方程的通解：2021/5/920

例8求差分方程

yx+27yx+1+6yx

=0的通解.

解

特征方程為

方程的根為

1=1,

2=6.

27+6=0.原方程的通解為

yx

=C1+C26x.2021/5/921

例9求差分方程

yx+24yx+1+16yx

=0滿足條件y0=0,y1=1的特解.

解

特征方程為

方程的根為

24+16=0.原方程的通解為2021/5/922代入初始條件

y0=0,y1=1得解出故所求特解為2021/5/923(1)f(x)=

b0+b1x++bmxm

根據(jù)非齊次差分方程

yx+2+

ayx+1+byx=f(x)的函數(shù)

f(x)的形式,用待定系數(shù)法可求出一個特解.設(shè)特解的待定式為

其中B0,B1,,Bm為待定系數(shù).

2021/5/924

例10求差分方程

yx+2+yx+12yx

=12x的通解.

解

對應(yīng)的齊次方程的特征方程為

方程的根為

1=2,2=1,

2+2=0.齊次方程的通解為

因為

a=1,b=2,1+a+b=0,但

a+2=30,所以