江蘇省無錫市2023屆高三三模數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁數(shù)學練習卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解對數(shù)不等式可得集合，解一元二次不等式即可得集合，再根據(jù)韋恩圖求集合即可.【詳解】因為，所以，則集合，又，解得，則集合，所以，由圖可知陰影部分表示集合.故選：A.2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】設，，根據(jù)復數(shù)模的計算公式得到方程，解得即可.【詳解】設，，則，因為，所以，則，解得，所以復數(shù)的虛部為.故選：C3.已知，是空間中兩條不同的直線，，，是空間中三個不同的平面，則下列命題中錯誤的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】A【解析】【分析】設出、、的法向量，利用空間位置關系的向量證明判斷B，C，D；根據(jù)線面關系判斷A.【詳解】設平面、、的法向量分別為、、，直線，的方向向量為，，對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，則，又，則，所以，則，故B正確；對于C：若，，則，，又，則，所以，則，故C正確；對于D：因，，則，，因此向量、共面于平面，令直線的方向向量為，顯然，，而平面，即、不共線，于是得，所以，故D正確.故選：A4.“青年興則國家興，青年強則國家強”，作為當代青少年，我們要努力奮斗，不斷進步.假設我們每天進步1%，則一年后的水平是原來的倍，這說明每天多百分之一的努力，一年后的水平將成倍增長.如果將我們每天的“進步”率從目前的10%提高到20%，那么大約經過（）天后，我們的水平是原來應達水平的1500倍.（參考數(shù)據(jù)：，，）A.82 B.84 C.86 D.88【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算性質結合估算即可求得結果.【詳解】設大約經過天后，我們的水平是原來應達水平的1500倍，可得，兩邊取對數(shù)得，，，又因為,又因為，所以.故選：B.5.已知，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角，再利用已知條件即可求解.【詳解】因為，又因為，，所以，所以因，所以，所以，所以當為奇數(shù)時，，，當為偶數(shù)時，，，因為，所以，因為，所以.故選：C.6.已知，為兩個隨機事件，，，，，則（）A.0.1 B. C.0.33 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥、對立事件的加法公式和條件概率公式和乘法公式即可求解?！驹斀狻?，所以，，所以，所以，即，所以，即，解得，故選：B.7.已知點在雙曲線上，到兩漸近線的距離為，，若恒成立，則的離心率的最大值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】設雙曲線上的點，可得，利用點到直線的距離公式可求得，由恒成立可得，從而可求得離心率的最大值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，設雙曲線上的點，所以，即則到兩條漸近線的距離分別為，，所以，又，因為恒成立，所以，整理得，即所以離心率，則的離心率的最大值為.故選：A.8.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結構構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性比較b與c，a與b，利用中間值比較即可.【詳解】記，則，記，則，又，所以，所以在上單調遞減，所以，則，所以在上單調遞減，所以，故時，，所以，所以，又，所以，記，則，所以在上單調遞增，所以，即時，，所以，所以，所以.故選：D【點睛】思路點睛：要比較大小的幾個數(shù)之間可以看成某個函數(shù)對應的函數(shù)值，我們只要構造出函數(shù)，然后找到這個函數(shù)的單調性，就可以通過自變量的大小關系，進而找到要比較的數(shù)的大小關系，有些時候構造的函數(shù)還需要通過放縮法進一步縮小范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在中，若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】求得大小關系判斷選項A；舉反例否定選項B；求得大小關系判斷選項C；求得的正負情況判斷選項D.【詳解】選項A：在中，若，則，則.判斷正確；選項B：令，則.判斷錯誤；選項C：在中，若，則，又余弦函數(shù)在單調遞減，則.判斷正確；選項D：在中，若，則，，又正切函數(shù)在單調遞增，則.判斷正確.故選：ACD10.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.的圖象關于直線對稱 B.的圖象關于點對稱C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點對稱【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷得答案.【詳解】因為奇函數(shù)，所以，所以函數(shù)關于點對稱，又為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)關于直線對稱.故選：AD.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在區(qū)間上單調遞增C.在區(qū)間上有且僅有2個極小值點D.在區(qū)間上有且僅有2個極大值點【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像的單調性和圖像特點即可求解.【詳解】因為，所以，且所以，所以結合數(shù)軸知，，故選項A正確；在時，又因為，區(qū)間的左端點是，區(qū)間的右端點位于，

令，所以圖像如下圖所示，因此在區(qū)間上不一定遞增，故選項B錯誤；在時，,又因為，區(qū)間的左端點是，區(qū)間的右端點位于，令，所以的圖像如下圖所示，所以在即在上有且僅有2個極小值點，故選項C正確；所以在即在上有2或3個極大值點，故選項D錯誤.故選：AC.12.用一個平行于正三棱錐底面的平面去截正三棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做正三棱臺.如圖，在正三棱臺中，已知，則（）A.在上的投影向量為B.直線與平面所成的角為C.點到平面的距離為D.正三棱臺存在內切球，且內切球半徑為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義和線面角的定義以及線面平行線間的點到平面距離以及內切球的大圓切面求法即可求解.【詳解】在上的投影向量即為在上的投影向量,即為，故A錯；過作直線的垂線，交直線AC于點M，過作直線的垂線，交直線AC于點N，連接，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，所以，平面，所以直線與平面所成的角為，故B正確；取中點，因為，所以，所以，又平面，所以平面，所以點到平面的距離為，且，所以點到平面的距離等于點到平面的距離等于，故選項C正確；取中點H，中點，的外心為，的外心為，過作垂線交于點，所以，，所以，所以，所以，即，故選項D正確；故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②的圖象過點；③對任意的非零實數(shù)，，.請寫出一個滿足上述條件的函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性、對數(shù)運算的性質即可得答案.【詳解】因為函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②的圖象過點；③對任意的非零實數(shù)，，所以滿足三個條件.故答案為：（答案不唯一）.14.已約是一組平面向量，記，若，則滿足的的值為______.【答案】5或6【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前項和公式可得的坐標，又由，可得，由此可得關于的方程，解可得答案．【詳解】記的前項和為，則，因為，所以，又，所以，整理得，解得或或，因為，所以或.故答案為：或15.已如，是拋物線上的動點（異于頂點），過作圓的切線，切點為，則的最小值為______.【答案】3【解析】【分析】設出點的坐標，結合圓的切線的性質求出，再借助式子幾何意義作答.【詳解】依題意，設，有，圓的圓心，半徑，于是，因此，表示拋物線上的點到y(tǒng)軸距離與到定點的距離的和，而點在拋物線內，當且僅當是過點垂直于y軸的直線與拋物線的交點時，取得最小值3，所以的最小值為3.故答案為：3.16.定義：若函數(shù)圖象上存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱是“重切函數(shù)”，，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”.由上述定義可知曲線的“雙重切線”的方程為______.【答案】【解析】【分析】由“重切函數(shù)、雙重切點及雙重切線的定義，判斷函數(shù)存在兩個不相等的實數(shù)，使得，結合函數(shù)奇偶性即可得出兩切點，關于原點對稱，從而列出方程，求出切點，即可求得答案.【詳解】，所以，其定義域為，因為，所以函數(shù)在為偶函數(shù)，令，，當時，，所以在為偶函數(shù)，且在上單調遞增，所以必存在兩個不相等的實數(shù)，使得，且，不妨設兩切點，，且因為函數(shù)，，所以函數(shù)在為奇函數(shù)，又，所以兩切點，關于原點對稱，即此時切線斜率，又，即，整理得，解得或，所以存在兩點，滿足條件，所以兩點，確定的直線方程即為曲線的“雙重切線”的方程，由直線的兩點式方程可得，即為曲線的“雙重切線”的方程，所以曲線的“雙重切線”的方程為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵點有兩個：一是利用導數(shù)的幾何意義求解切線的斜率；二是利用奇偶函數(shù)的對稱性特征得出切點關于原點對稱.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.記為數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，求除以3的余數(shù).【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和增位相減以及累乘法即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和和二項式定理即可求解.【小問1詳解】因為，，所以是首項為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即①，所以②，由②－①可得，即，所以.【小問2詳解】由（1）可得，則，所以，所以所以除以3的余數(shù)為2.18.已知的內角，，所對的邊分別是，，，且______.在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在上面橫線上，并加以解答.（1）求；（2）若，，點為的中點，點滿足，且，相交于點，求.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）若選擇條件①：利用三角形內角和、正弦定理可求答案；若選擇條件②：利用三角形內角和、正弦定理、輔助角公式可求答案；若選擇條件③：利用余弦定理、正切公式可求答案.（2）法一:利用換基底和平面向量數(shù)量積的運算；法二:建立坐標系，利用余弦公式.【小問1詳解】若選擇條件①：因為，所以，由正弦定理得，因為，所以，因為，所以，所以，又因為，所以.若選擇條件②：因為，所以由正弦定理得，即，所以，因為，所以，所以，又因為，所以.若選擇條件③：因為，所以由余弦定理得，即，因為，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】法一：因為中點，點滿足，所以，.因為，，，所以，所以，，故.又因為與的夾角即，所以.法二：以為原點建立平面直角坐標系（如圖），則，，，由可知.聯(lián)立直線，的方程解得，所以.19.如圖，已知在平面四邊形中，，，，現(xiàn)將沿翻折到的位置，使得.（1）求證：平面平面；（2）點在線段上，當二面角的大小為時，確定點的位置.【答案】（1）證明見解析（2）點是線段上靠近點的三等分點【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理先證線面垂直，即可得面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，確定平面與平面的法向量，由向量夾角余弦公式求解即可得結論.【小問1詳解】取線段的中點，連接在中，因為，所以，.在直角中，，故.故，所以，從而，即.又，平面，，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為，，，所以以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系（如圖）.由題意可得，，，.因為點是棱上點，設，則可得點.設平面的法向量，又，，所以，取.因為平面，故可取平面的法向量，設二面角大小為，則，則，整理得，解得（舍去）或，所以點是線段上靠近點的三等分點.20.為調查學生數(shù)學建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學生（其中男生4000名，女生6000名）參加數(shù)學建模能力競賽活動.（1）若將成績在的學生定義為“有潛力的學生”，經統(tǒng)計，男生中有潛力的學生有2500名，女生中有潛力的學生有3500名，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為學生是否有潛力與性別有關?是否有潛力性別合計男生女生有潛力沒有潛力合計（2）經統(tǒng)計，男生成績的均值為80，方差為49，女生成績的均值為75，方差為64.（?。┣笕w參賽學生成績的均值及方差；（ⅱ）若參賽學生的成績服從正態(tài)分布，試估計成績在的學生人數(shù).參考數(shù)據(jù)：①0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828②若，則，，.參考公式：，.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握認為學生是否有潛力與性別有關（2）（ⅰ），（ⅱ）人【解析】【分析】(1)根據(jù)條件填寫二聯(lián)表，并根據(jù)卡方公式計算判斷即可；(2)(i)根據(jù)分層抽樣的均值與方差計算公式計算即可；(ii)根據(jù)正態(tài)分布的三段區(qū)間公式計算并估計即可.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：是否有潛力性別合計男生女生有潛力250035006000沒有潛力150025004000合計4000600010000零假設為：學生是否有潛力與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，我們推斷不成立，即有99.9%的把握認為學生是否有潛