小學(xué)重點知識

計算部分

第一章小數(shù)的巧算

第一節(jié)小數(shù)的巧算

小數(shù)的計算技巧指小數(shù)運算的速算與巧算。它除了可以靈活運用整

數(shù)四則計算中我們己經(jīng)學(xué)過的許多速算與巧算的方法外，還可以利用小

數(shù)本身的特點。計算時要注意審題，善于觀察題目中數(shù)字的特征，靈活

地運用小數(shù)的性質(zhì)及運算性質(zhì)、運算技巧，確定合理簡便的算法。

例1計算：5.32+2.06+19.4+1.84+7.68(36.3)

例2計算：1-0.1-0.01-0.001-....-0.000000001

[0.888888889]

例3計算：7.63-4.98+5.26+1.89

[9.8]

例4計算：

(1)80X25X2X1.25X0.5X0.4

(2)64X12.5X0.25X0.05

[1000,10]

例5計算：0.56X9.8

[5.4881

例6計算：0.1254-(3.64-80)X0.18

[0.5]

想一想，下面各題怎樣計算比較簡便？

(1)4.924-0.254-0.4

(2)47.85+6.38X0.638

(3)36.363+(1.2121X4)

(4)(0.6X1.38)+(13.8X4.8)

例7計算：312.5X12.3-312.5X6.9+312.5

[2000]

例8計算：2000X199.9-1999X199.8

【399.8]

例9計算：12.94-0.72+43.5+3.6

=30

例10計算：45.3X3.2+578X0.68+12X9.25

=649

例11譚：(1)2.5+3.2+7.5+2.8=16

(2)18.6-9.3-1.6-2.7=5

例12計算：(1)17.483717.481917,4882=1748

(2)6.25X0.16+264X0.0625+5.2X6.25+0.625X20=62.5

例13計算：0.125X0.25X0.5X64=1

例14計算：(1)0.525+13.1254-4X85.2=0.852

(2)(4.8X7.5X8.1)4-(2.4X2.5X2.7)=18

例15

計算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9=1111110.3

例16在口內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：

73.06-[QX(4.465+5.535)+42.06]=3

例17小明在計算某數(shù)除以3.75時，把除號看成了乘號，得結(jié)果225,求這道

題的正確答案。(16)

例18比較下面兩個積的大小

A=5.4321X1.2345

B=5.4322X1.2344

(A>B)

練習(xí)

1.用簡便方法計算下面各題：

(1)8.69+7.35+3.41+2.65

(2)10-0.1-0.2-0.3-...-0.9

(3)76.4-42.13-9.76-5.87-6.24

(4)10.56+0.48-1.36+9.52

(5)20.68-(7.21-6.32+3.79)

(6)20X12.5X0.8X0.5

(7)76.5X10.2

(8)9.56X4.18-7.3X4.18-0.26X4.18

(9)364-0.154-0.3

(11)1.4X56.8+4.32X14

(12)4.56X0.27+483X0.0456+1.9X4.56+0.456X30

(13)1.34-0.25

(14)117.84-2.3-4.88+0.23

(15)8.63X0.25+1.37+4

2.用簡便方法計算下列各題：

(1)9.98+14.13+99.89

(2)20.36-7.98-5.02-4.36

(3)6.88+5.29-2.54+3.42-3.29-1.46

(4)13.75-(6.25-4.86)-9.86

(5)1999X0.99X0.9

(6)66.66664-12.5+3.7+0.8+0.3

(7)(0.39X0.7)+(0.56X3.9)

(8)16.46X15.1+8.54X15.I-25X14.7

(9)7.63X5.4+6.37X5.4-17.5X5.35X0.8

(10)0.625X0.625X..0.625X8X8義...8X

<.________>v_________/

VV

1998個0.6251999個8

2X2X...2

3.2嘴9送填上合適的數(shù)，使等式成立。

0.27X1.5+DX1.5+1.5X0.32=0.77X1.5

4.比較下面兩個積的大?。?/p>

A=9.876543X3.456789

B=9.876544X3.456788

第二節(jié)循環(huán)小數(shù)

一個小數(shù)，從小數(shù)部分的某一位起，一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷地重復(fù)出現(xiàn),

這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。

例1在下列混合小數(shù)中，移動循環(huán)節(jié)左邊的循環(huán)點，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能

大。

（1）3.618172（2）0.95695683

【分析】把循環(huán)節(jié)左邊的循環(huán)點移到最大的數(shù)字上面。

解（1）3.618172（2）0.95695683

例2劃去小數(shù)0.46362701961后面若干位上的數(shù)字，再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個循

環(huán)點，得到一個循環(huán)小數(shù)，例如：0.4636270,請找出其中最大和最小的循環(huán)小數(shù)。

解：最大的循環(huán)小數(shù)是0.46,最小的循環(huán)小數(shù)是0）63。

例3在循環(huán)小數(shù)0.302i99l中，小數(shù)點右面第1997位上的數(shù)字是幾？⑼

例4在1+7+34+101的計算結(jié)果中，小數(shù)點的右面第100

位上的數(shù)字是幾？（4）

例5一個小于1的純循小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有5個數(shù)字，已知

它小數(shù)點右面第20位上的數(shù)字是3,第36位上的數(shù)字是4,第

52位上的數(shù)字是5,第79位上的數(shù)字是7,求這個純循環(huán)小數(shù)。

（這個純循環(huán)小數(shù)是0.45763）

例6在循環(huán)小數(shù)0.2763824中，最少從小數(shù)點右面第幾位開始到第幾位為止的

數(shù)字之和等于1987?（從小數(shù)點右面第4位開始到438位為止的數(shù)字之和才等于1987）

練習(xí)

1.在下列混循環(huán)小數(shù)中，移動循環(huán)節(jié)左邊的循環(huán)點，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可

能小。

(1)0.453536(2)0.95695683

2.循環(huán)小數(shù)0.3702054小數(shù)點右面第100位上的數(shù)字是幾？

3.在2+7—26+111的計算結(jié)果中，小數(shù)點的右面第200

位上的數(shù)字是幾？

4.一個小于1的純循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)有3個數(shù)字，己

知它的小數(shù)右面第20位上的數(shù)字是4,第30位上的數(shù)字是7,

第40位上的數(shù)字是9。求這個循環(huán)小數(shù)。

5.劃去小數(shù)0.362070354后面的若干位上的數(shù)字再添上表示循環(huán)節(jié)的兩個圓點,

得到一個循環(huán)小數(shù)，例如0.3620)08,請找出這樣的小數(shù)中最大的和最小的循環(huán)小數(shù)。

6.在循環(huán)小數(shù)0.67406379,最少從小數(shù)點右面第幾位開始，到幾位為止的數(shù)字

之和等于2010?

第三節(jié)大小比較

比較兩個小數(shù)的大小，先比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分的那個數(shù)較大；整數(shù)部

分相同時，比較它們的小數(shù)部分，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)較大；十分位上的數(shù)也相

同時，比較它們的百分位，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)較大；百分位上的數(shù)也相同時，

比較它們的千分位，千分位上的數(shù)大的那個數(shù)較大……

如果兩個小數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)都相同，那么這兩個小數(shù)的大小相等。

例1把下面的小數(shù)按從大到小的順序進(jìn)行排列，那么先要比較出這八個數(shù)的大

小。為了便于分析比較，我們可以把這八個數(shù)用豎式排列，并根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)，把這

些小數(shù)的末尾添上適當(dāng)?shù)摹?”，使它們成為小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù):

0.45=0.450(4)

4.05=4.050(1)

0.445=0.445(5)

0.455=0.455(3)

0.4=0.400(7)

0.5=0.500(2)

0.345=0.345(8)

0.405=0.405(6)

先比較這八個數(shù)的整數(shù)部分，只有4.050的整數(shù)部分“4”

最大，所以4.05應(yīng)排在第（1）位。

再來比較剩下的七個數(shù)，這七個數(shù)的整數(shù)部分都是“0”,

就比較它們的十分位，只有0.500的十分位上的“5”最大，

0.345的十分位上的“3”最小，所以0.5應(yīng)排在第（2）,

0.345應(yīng)排在第（3）位。

現(xiàn)在比較剩下的五個數(shù)的百分位，0.450和0.455百分位上的“5”最大但0.455

千分位上的數(shù)“5”,比0.450千分位上的“0”大，所以0.455應(yīng)排在第（3）位，

0.45應(yīng)排在第（4）位；其次是0.445百分位上的數(shù)“4”所以0.445應(yīng)排在第（5）

位；0.400和0.405百分位上的數(shù)“0”最小，但0.405千分位上的數(shù)是“5”,比

0.400千分位上的數(shù)“0”大，所以0.405應(yīng)排在第（6）位，0.4應(yīng)排在第（7）

位。

這樣，就確定了這八個數(shù)從大到小排列的順序。

解：這八個數(shù)從大到小的排列順序是：

4.05>0.5>0.455>0.45>0.445>0.405>0.4>0.345

說明把上面八個小數(shù)用豎式排列時，一定要注意把相同數(shù)位上的數(shù)對齊，這

樣方便于比較。

例2把下面的小數(shù)按從小到大的順序排列起來。

12.231.2331.231.0231.2312.3

解:1.023<1.23<l.233<1.23<12.23<12.3

例3有七個數(shù)，0.618,0.618,0.618,0.618,0.68是其中的五個。已知

按從大到小順序排列的第四個數(shù)是0.618,那么按從小到大順序排列的第三個數(shù)是多

少？(第三個數(shù)是0.6區(qū))

例4用1,0,5,8和小數(shù)點可以組成許多不同的小數(shù)，其中小于1的三位小數(shù)

共有多少個？并將它們按從小到大的順序排列出來。

(0.158<0.185<0.518<O.581<0.815<0.851)

例5現(xiàn)有五個數(shù)A、B、C、D、E,如果A大于D；C大于B,而小于E；B

大于D；E小于A。那么>

>>>。

(A>E>C>B>D)

例6設(shè)A=9876543X3456789,

B=9876544X3456788,那么()

(C)A<B(D)AWB

選(A)

例7在下面四個算式中,求出最大的得數(shù)是誰？

(1)1992X1999+1999(2)1993X1998+1998

(3)1994X1997+1997(4)1995X1996+1996

第(4)算式1996X1996的積最大。

例11養(yǎng)雞專業(yè)戶要用96米長的竹籬笆圍成一個長方形或正方形的養(yǎng)雞場。若圍

成長方形則其長是寬的2倍，且一條長邊利用舊墻；若圍成正方形，則也有一條邊利

用舊墻，那么的面積比的面積大，大平

方米。

所以長方形的面積比正方形的面積大，第三個空：128。

故應(yīng)填第一個空：長方形，第二個空：正方形，第三個空：128。

練習(xí)

1.判斷A、B、C、D與1的大小關(guān)系。

AH-0.1=1,1.2+B=l,CX0.03=1,120XD=l,

C()1,

2.有24個整數(shù):

112、106、132、118、107、102、

189、153、142、134、116、254、

168、119、126、445、135、129、

113、251、342、901、710、535.

問：當(dāng)把這些數(shù)從小到大排列起來時，第12個數(shù)是多

3.用1,7,0,4這四個數(shù)字寫成一個四位數(shù)，可以寫出很多個。把這些四位數(shù)

從小到大依次排列起來，那么排在第10個的數(shù)是多少？

4.如圖，是兩個紅色的圓和兩個藍(lán)色的圓，紅色圓的~、

直徑分別是1992厘米和1949厘米。藍(lán)色圓的直徑分別是

1990厘米和1951厘米，問：紅色二圓的面積大還是藍(lán)色二

圓的面積大？

5.把下列小數(shù)按從小到大的順序排列起來。

(1)0.727.027.27.2020.7020.722

(2)6.5656.55665.6556.5665.5655.6660.655

6,把下列小數(shù)按從大到小的順序排列起來。

(1)0.3080.3080.30830.3080.30880.308

(2)9.049.0140.9949.i049.049.0149.14010.49

7.有八個數(shù)，0.366,0.336,0.36,0.36,0.336,3.036是其中的六個,

已知按從小到大順序排列的第四個數(shù)是0.3?6,那么按從大到小順序排列的第四、第

五個數(shù)各是多少？

8.大于3而小于4的兩位小數(shù)共有多少個?

應(yīng)用題部分

第一章平均數(shù)問題（二）

康大學(xué)校甲班和乙班，在數(shù)學(xué)期末考試中，考一樣的題目,哪一個班考得好呢？

把第一個班所有人的得分加起來，然后除以這個班的人數(shù),就得出這個班的平均

數(shù)。哪一個班平均分?jǐn)?shù)高，就算哪一個班考的好。

籃球隊員身材都很高，一個隊里有高有矮，哪個籃球隊身

材更高呢？

把一個隊所有隊員的身高數(shù)加起來，再除以全隊人數(shù)，就

算出這個隊的平均身高。通常，用平均身高來衡量一個球隊的

身材高矮。

要衡量“若干個數(shù)”的大小，常用的辦法就是求它們的平

均數(shù)。

求平均數(shù)的基本數(shù)量關(guān)系是：

總數(shù)量+總份數(shù)=平均數(shù)

這個基本的數(shù)量關(guān)系還可以寫成另外兩種形式，也就是：

總數(shù)量+平均數(shù)=總份數(shù)

平均數(shù)X總份數(shù)=總數(shù)量

求平均數(shù)可以產(chǎn)生許多數(shù)學(xué)題，解答這類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)問題與條件，條件

與條件之間相對應(yīng)的關(guān)系，通常要確定“總數(shù)量”以及與“總數(shù)量”相對應(yīng)的“總份

數(shù)”，再求平均數(shù)。

我們先通過一些簡單例子，增加對“平均”這一概念的理解。

例1康大學(xué)校三年二班有40名學(xué)生，期末數(shù)學(xué)考試，有2名同學(xué)因故缺考，這

時班級平均分為89分,缺考的同學(xué)補(bǔ)考各得99分,這個班期中考試平均分?jǐn)?shù)是多少？

（這個班期中考試數(shù)學(xué)平均成績是89.5分）

例2康大學(xué)校五年級（1）班42名同學(xué)進(jìn)行畢業(yè)合影留念。拍6寸合影照片可附

送2張照片，費用為5.2元。如果需要加印，每張加收0.71元?，F(xiàn)在每人各得一

張照片，問平均每人需付多少元？

（平均每人需付0.8元）

例3石峰農(nóng)場先派48人參加收割水稻，前兩天收割了19.2公頃，后來增加到

66人，用同樣的速度又割4天，他們一共收割了多少公頃？

（他們一共收割了72公頃）

例4在一次登山比賽中，小剛上山每分鐘走40米，18分鐘到達(dá)山頂，然后按原

路下山，每分鐘走60米，小剛上、下山平均每分鐘走多少米？【48（米/分鐘）】

例5小華的第一次和第二次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是82分，第三次測試后，計算

得三次測驗的平均成績是85分，問他第三次測驗得了多少分？

［91分］

例6康大學(xué)校五年級四個班的少先隊員為“希望工程”捐款，一班、二班、三班

平均每班捐款24元，二班、三班、四班平均每班捐款26元，已知一班捐款22元，

求四班捐款多少元？【28（元）】

例7有八個數(shù)字排成一列，它們的平均數(shù)是9.3。已知前五個數(shù)的平均數(shù)是10.5,

后四個數(shù)的平均數(shù)是11.3,問第五個數(shù)是多少？【五個數(shù)是23.3］

例8甲、乙、丙三個數(shù)平均是6,甲、乙兩個數(shù)平均是4,乙、丙兩個數(shù)平均是

5.3,乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)平均是多少？

【乙數(shù)是0.6,甲、丙數(shù)的平均數(shù)是8.71

例9康大學(xué)校五年三班統(tǒng)計數(shù)學(xué)考試成績，平均成績87.26分，復(fù)查試卷時，

發(fā)現(xiàn)把李偉的成績98分誤作89分計算。經(jīng)重新計算后，該班平均成績是87.44分,

問該班有多少名學(xué)生？［50人）］

例10寒假中，小明興致勃勃地讀《西游記》，第一天讀83頁，第二天讀74頁，第

三天讀71頁，第四天讀64頁，第五天讀的頁數(shù)，比五天中平均讀的頁數(shù)多3.2頁,

問小明第五天讀了多少頁？【77頁】

練習(xí)

1.用4個同樣的杯子裝水，水面的高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,

這4個杯子水面平均高度是多少厘米？

2.果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖。己知酥糖每

千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元。問什錦糖每千克多少

元？

3.縫紉機(jī)廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機(jī)750臺，第二季度生產(chǎn)的是第一季度

生產(chǎn)的2倍多66臺。下半年平均每月生產(chǎn)1200臺。求這個廠一年的平均每月產(chǎn)量。

4.從甲地到乙地全程是60千米，小宏騎自行車從甲地到乙地的速度是每小時15

千米，從乙地返回甲地的速度是每小時10千米。求這個往返行程中的平均速度。

5.王新同學(xué)期末考試成績?nèi)缦拢赫Z文和數(shù)學(xué)平均成績

是94分；數(shù)學(xué)和外語平均成績是88分；外語和語文平均成

績是86分。王新同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、外語各得多少分？

6.小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是84分，這一次要考100分，才能把平均成

績提高到86分，問這一次是第幾次測驗？

7.芳芳上學(xué)期期末考試成績：語文87分，數(shù)學(xué)96分，地理93分，思想品德95

分，外語考試成績比五科考試的平均成績低2分，求外語成績和五科平均成績。

第二章歸一問題

歸一問題是常見的典型應(yīng)用題之一。因為這種問題的求解，往往歸結(jié)到先求出一

個單位的數(shù)量（通稱“單一量”）然后再求若干個單一量是多少或某數(shù)里包含幾個單

一量，因此，把用這種方法解答的應(yīng)用題，稱為歸一問題。

歸一問題可分為單歸一問題（包括直進(jìn)單歸一、返回單歸一）和復(fù)歸一問題（包

括直進(jìn)復(fù)歸一、返回復(fù)歸一）兩大類。為了便于理解，結(jié)合具體題目分述如下。

（1）復(fù)歸一問題

例2某專業(yè)戶承包了5公頃稻田，去年每公頃產(chǎn)水稻12000千克，共收入42000

元；今年由于天旱，每公頃減產(chǎn)1500千克，政府為減少農(nóng)民的損失，水稻的收購價

提高了10%,這樣，該專業(yè)戶今年能收入多少元？[40425元】

例3紡織工100人工作20天可織布200000米，現(xiàn)在要織布100000米，由125

人工作，需要多少天？【8天】

例4糧店上午賣出大米5包，重325千克。下午又賣出同樣的7包。（1）下午

賣出大米多少千克？（2）這一天共賣出大米多少千克？（3）下午比上午多賣多少干

克？

解（1）325+5X7=455（千克）

（2）3254-5X（5+7）=780（千克）

（3）3254-5X（7-5）=130（千克）

例5一堆同樣的螺絲釘，總重量是765克，取出50個后，重量為750克。這堆

螺絲釘共有多少個【2550（個）】?

例6陳師傅加工800個零件，原計劃40小時完成，實際前6小時生產(chǎn)了150個。

照這樣計算：（1）實際幾小時完成加工任務(wù)？（2）實際提前了幾小時完成加工？（3）

實際40小時加工了多少個零件？（4）實際40小時比計劃多加工幾個零件？（5）剩

下的加工任務(wù)還要幾小時才能完成？

例7修一條長2.7千米的公路，前6天修好540米，照這樣計算，修完這條公

路還要多少天？24（天）

例8兩只大熊貓一天要吃4千克玉米面糕，現(xiàn)在有玉米面糕150千克，夠5只

大熊貓吃多少天？15（天）

例94輛貨車7次運煤112噸，現(xiàn)在同樣的貨車5輛運9次，能運多少噸？180

（噸）

例10一臺拖拉機(jī)2.5小時可耕地30公頃。以同樣的效率工作，現(xiàn)在耕地72

公頃，需多少小時耕完？（需6小時耕完）

例116輛汽車4小時可運面粉720噸，照這樣計算，要運1500噸面粉，用8

輛汽車運5小時后，還剩下多少噸面粉沒運完？（剩下300噸面粉沒運完）

例12小型玉米脫粒機(jī)每分脫粒1.8千克，中型脫粒機(jī)每分脫粒2.4千克，如

果把4臺小型脫粒機(jī)1.5小時脫的玉米，改用中型機(jī)來脫，限45分脫完，需幾臺中

型玉米脫粒機(jī)？（需6臺中型玉米脫粒機(jī)）

例13一本書稿，原計劃共印540頁，每頁24行，每行26個字?，F(xiàn)在又改為每

頁30行，這本書稿比原計劃減少多少頁？（這本書稿比原計劃減少108頁）

練習(xí)

1.上海至武漢的水路長1075千米，輪船從上海開往武漢，前12小時航行300

千米。照這樣的速度，到武漢還要多少小時？

2.面粉廠第一組運出3小車面粉共720千克，第二組用同樣的小車運出面粉1920

千克。（1）第二組需要幾輛小車？（2）第二組比第一組多用幾輛小車？（3）兩組同

時運共需要幾輛小車？

3.36千克綠豆可制12千克粉絲，要生產(chǎn)144千克粉絲，需多少千克綠豆？

4.一個施工隊安裝一條水管，頭6天裝了222米，照這樣的

速度，又用15天把水管全部安裝完。這條水管共長多少米？

5.運輸隊原有汽車8輛，一次共能運水泥32噸。后來又買來了幾輛同樣的汽車,

因此一次共能運52噸。問：又買來幾輛汽車？

6.汽車油箱里裝有汽油36升，行駛100千米后，還剩汽油4升。照這樣計算，

最多還能行駛多少千米？

7.制帽廠原來30個工人，10天生產(chǎn)草帽1500頂，照這樣計算，現(xiàn)在70個工人

20天能生產(chǎn)草帽多少頂？

8.制帽廠原來30個工人10天生產(chǎn)草帽1500頂，照這樣計算，現(xiàn)在人數(shù)增加了

40人，20天能生產(chǎn)草帽多少頂？

9.制帽廠原來30個工人10天生產(chǎn)草帽1500頂，照這樣計算，現(xiàn)在人數(shù)增加了

40人，要生產(chǎn)草帽2450頂，需要生產(chǎn)多少天？

10.服裝廠加工一批童裝，4天加工了320套，照這樣的速度，再工作7天就可

以完成任務(wù)，求：這批任務(wù)是多少套童裝？（用三種方法解答）

11.拖拉機(jī)廠計劃生產(chǎn)手扶拖拉機(jī)200臺，5天生產(chǎn)了44臺，照這樣計算，15

天后還剩下多少臺沒生產(chǎn)？

12.燈泡車間要生產(chǎn)25度燈泡12000只，6天生產(chǎn)了4800只，還需要幾天才能

完成任務(wù)？

13.15輛汽車3天節(jié)約汽油56.7千克，照這樣

計算，25輛汽車7天可以節(jié)約汽油多少千克？

14.某機(jī)械廠原來30人10天能生產(chǎn)1500個機(jī)器

零件，照這樣計算，現(xiàn)在120人要生產(chǎn)9000個零件，

需要多少天?

15.250千克薨麻籽可以榨出100千克薨麻油，照這樣計算，用2000千克麓麻籽

可以榨出多少千克建麻油？

16.4臺吊車7小時可裝煤1414噸，照這樣計算，如果增加5臺吊車，在同樣的

時間里可多裝多少噸？

17.三名工人8小時可以安裝12輛自行車，現(xiàn)在有60輛自行車，要求12小時

內(nèi)裝完，至少要增加幾名工人？

第三章還原問題

有的數(shù)學(xué)問題，題中敘述某一未知量，經(jīng)過一系列已知的變化，最后變成另一個

已知數(shù)量，要求原來未知的數(shù)量。這類問題，我們稱之為還原問題。

解答還原問題，可以根據(jù)加法與減法、乘法與除法互為逆運算關(guān)系，從最后一個

已知數(shù)出發(fā)，逐步逆推上去，原來加的，運算時用減，原來減的，運算時用加；原來

乘的，運算時用除；原來除的，運算時用乘，直至把原未知數(shù)求出來為止。

例1同學(xué)們玩扔沙袋游戲，甲、乙兩班共有140只沙袋，

如果甲班先給乙班5只，乙班又給甲班8只，這時兩班沙袋數(shù)相

等，兩班原來各有沙袋多少只？（甲班原有67只，乙班原有73只）

例2在做一道加法試題時，某學(xué)生把個位上的5看作9,把卜位上的8看作3,

結(jié)果“和”得123o正確的答案是多少？（正確的答案是169）

例3小馬虎做一道減法題，把被減數(shù)十位的6當(dāng)作9,把減數(shù)個位的3當(dāng)成5,

結(jié)果是217,正確的答案是多少？

（（正確的答案是189）

例4小軍在做一道減法題的時候，真粗心！把被減數(shù)個位上的3錯寫成8,十

位上的0錯寫成6,這樣他算得的差是199,正確的差應(yīng)該是多少？

正確的差是134?

例5如果某數(shù)擴(kuò)大5倍，再減去6得39,如果這個數(shù)先減

去6,再擴(kuò)大5倍得多少？（15）

例6某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,

求這個數(shù)。（這個數(shù)等于1）

例7有甲、乙兩堆小球，各有若干個。按下面的要求移動小球：先從甲堆拿出

和乙堆同樣多的小球放到乙堆；再從乙堆拿出和這時甲堆同樣多的小球放到甲堆。這

時，甲乙兩堆的小球恰好都是16個。問甲乙兩堆最初各有小球多少個？（甲堆最初有

20個小球，乙堆最初有12個小球）

例8甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的錢數(shù)給乙；

第二次乙拿出與丙相同的錢數(shù)給丙；第三次丙拿出這時與甲相同的錢數(shù)給甲。這時甲、

乙、丙三人的錢數(shù)恰好相等。原來甲比乙多多少元？（甲比乙多28元）

例9有甲、乙、丙三個數(shù)，從甲數(shù)取出15加到乙數(shù)，從乙數(shù)取出18加到丙數(shù),

從丙數(shù)取出12加到甲數(shù)，這時三個數(shù)都是180,甲、乙、丙三個數(shù)原來各是多少？（甲

數(shù)、乙數(shù)原來都是183,丙數(shù)原來是174）

例10小明爺爺今年的年紀(jì)減去15后，縮小4倍，再減去6之后，擴(kuò)大10倍,

恰好是100歲，請你算一算，小明的爺爺今年多少歲？（小明爺爺是79歲）

例11某人去儲蓄所取款，第一次取了存款數(shù)的一半還多15元，第二次取了余

下的一半還多10元，這時還剩125元，他原有存款多少元？（他原有存款550）

例12書架分上、中、下三層，一共分放192本書?，F(xiàn)在從上層取出與中層同樣

多的書放到中層，再從中層取出與下層同樣多的書放到下層，最后從下層取出與上層

剩下的本數(shù)同樣多的書放到上層，這時三層所放的書本數(shù)相同。試問：這個書架的上、

中、下層原來各有多少本書？

（上層原有88本書，中層原有56本書，下層原有48本書）

例13有鉛筆若干支，分給甲、乙、丙三個學(xué)生。甲得最多，乙得較少，丙得最

少。后重新分配。第一次分配，甲分給乙、丙，各給乙、丙所有數(shù)多4支，結(jié)果乙得

最多；第二次分配，乙給甲、丙，各給甲、丙所有數(shù)多4支，結(jié)果丙得最多；第三次

分配，丙給甲、乙，各給甲、乙所有數(shù)多4支。經(jīng)三次重新分配后，甲、乙、丙三個

學(xué)生各得鉛筆44支。最初甲、乙、丙三個學(xué)生各得鉛筆多少支？（最初甲有鉛筆74支,

乙有38支，丙有20支）

例14將八個數(shù)從左到右排成一行，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都恰好等于前面兩

個數(shù)之和。如果第7個數(shù)和第8個數(shù)分別是81,131,那第一個數(shù)是。（第一

個數(shù)是5）

例15一個數(shù)減去2487,小明在計算時錯把被減數(shù)百位和十位上的數(shù)交換了,

結(jié)果得：8439,正確的結(jié)果是?

(正確的結(jié)果是7809)

例16一群猴子分一堆桃子，第一個猴子取走了一半零一個，第二個猴子取走剩

下的一半零一個，……直到第七個猴子按上述方式取完后恰好取盡。這堆桃子一共有

()個。254個

例17兩棵樹上共有麻雀25只，第一棵上飛到第二棵上5只，又從第二棵樹上

飛走7只，這時第一棵上的麻雀是第二棵上的2倍。問原來每棵上的麻雀各幾只？

答：原來第一棵樹上有17只麻雀；第二棵樹上有8只麻雀。

練習(xí)

1.有一堆桃，第一個猴子拿走了這堆桃的一半加半個

桃子，第二個猴子又拿走了剩下桃的一半加半個，第三個猴

子拿走了最后剩下的桃的一半加半個，桃子正好被拿光。問：

這堆桃子原來有幾個？

2.袋子里有若干個球，小明每次拿出其中的一半再放

回一個球，一共這樣做了五次，袋中還有3個球。問：原來

袋中有多少個球？

3.有一個財迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個老人，老

人對他說：“你只要走過這座橋再回來，你身上的錢就會增中一倍，但作為報酬，你

每走一個來回要給我32個銅板?！必斆运懔怂阃纤悖屯饬?。他走過橋去又走回

來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老人32個銅板。這樣起走完第五個

來回，身上的最后32個銅板都給了老人，一個銅板也沒剩下。問：財迷身上原有多

少個銅板？

4.三堆蘋果共48個，先從第一堆中拿出與第二堆個數(shù)相同的蘋果并入第二堆，

再從第二堆里拿出與第三堆個數(shù)相同的蘋果并入第三堆，最后再從第三堆里拿出與這

時第一堆個數(shù)相等的蘋果并入第一堆。這時，三堆蘋果數(shù)完全相同。問：原來三堆蘋

果各有多少個？

5.甲、乙、丙三人各有銅錢若干枚，開始甲把自己的銅?印象派大舞莫奈?

錢拿出一部分給了乙、丙，使乙、丙的銅錢數(shù)各增加了一倍；

后來乙也照此辦理，使甲、丙的銅線數(shù)各增加了一倍；最后丙

也照此辦理，使甲、乙的銅錢數(shù)各增加了一倍。這時三人的銅

錢數(shù)都是8枚。問：原來甲、乙、丙三人各有多少枚銅線？

6.甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己的棋子

的一部分給了乙、丙，使乙、丙每人的棋子數(shù)各增加一倍：然

后乙也把自己棋子的一部分以同樣的方式分給了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以

這種方式給了甲、丁，最后丁也以這種方式將自己的棋子給了甲、乙，這時四人的棋

子都是16枚。問：原來甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？

第四章消元問題

有的應(yīng)用題由兩種數(shù)的關(guān)系組成，包含著兩個要求的數(shù)，解答這類應(yīng)用題，必須

想方設(shè)法先消去一個要求數(shù)，求出另一個要求數(shù)，然后再求出被消去的要求數(shù)。根據(jù)

解答方法的不同，消去法可分為加減消去法，比較消去法和代入消去法。

加減消去法是應(yīng)用加法和減法的運算，在兩個算式條件的等式中，消去一個要求

數(shù)，從而達(dá)到解答問題的目的。

比較消去法是應(yīng)用乘法或除法運算，使兩個算術(shù)條件

的同一個要求數(shù)在數(shù)量上相等，從而可用加減法消去這個

要求數(shù)。

代入消去法是應(yīng)用加減或乘除運算，變換一個已知條

件，將變換后的一個要求數(shù)代入另一個已知條件的等式里

去，從而消去這個要求數(shù)。

例1媽媽給小青11.1元，讓他去買2.5千克香

蕉、2千克蘋果，結(jié)果他把買數(shù)量顛倒了，從而還剩下0.06元，那么蘋果500克的

售價是多少元？

答：500克蘋果價1.2元

例23袋大米和4袋黃豆共重425千克，6袋大米和3袋黃豆共重600千克，每

袋大米重多少千克？

答：每袋大米75千克。

例3“六一”兒童節(jié)，幼兒園組織家長和孩子游園，小明買了2個大人、3個

小孩的六票花了1.65元，大力買了3個大人，8個小孩的六票花了3.35元，大人

的門票是多少元？小孩的門票是多少元？

答：大人門票每張0.45元，小孩門票每張0.25。

例4百貨店中兩支圓珠筆與3支蘸水筆共值7角8

分，3支圓珠筆與2支蘸水筆共值7角2分，問1支圓珠

筆值多少元？

答：1支圓珠筆價0.12元。

例5用10個大瓶和6個小瓶可以裝墨水7.2千克，用6個大瓶和2個小瓶可

以裝墨水4千克，算一算，一個大瓶和一個小瓶各能裝墨水多少千克？

答：一個大瓶墨水能裝0.6千克墨水，一個小瓶能裝0.62千克墨水。

例6康大學(xué)校購買5臺普通書寫臺燈和3臺調(diào)光書寫臺燈共用147.5元。如果

1臺調(diào)光書寫臺燈換加2臺普通書寫臺燈要多花7.3元。這兩種書寫臺燈各多少元1

臺？

答:普通書寫臺燈每臺15.4元;調(diào)光書寫臺燈每臺23.5元.

例7甲級茶葉3千克與乙級茶葉5千克價格相等，購買甲級茶葉2千克，乙級茶

3千克共付152元.求甲、乙兩種茶葉的單價。

（1990年蚌埠市小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）

答：甲級茶葉價每千克40元，乙級茶葉價每千克24元。

例8買2瓶白酒，12瓶啤酒共付42元，已知一瓶白酒與8瓶啤酒價錢相等，一

瓶白酒，一瓶啤酒共多少元？

答：一瓶白酒、一瓶表皮就共13.5元。

△+0=0.9'△=()

例9如果?o-n=o.2那么，□=()

□-△=0.3O=()

答：△=().2,口=0.5,0=0.7。

例10設(shè)13個李子的重量等于2個蘋果和1個桃子的重量；4個李子和1個蘋

果的重量等于1個桃子的重量，多少個李子的重量等于1個桃子的重量？

答：7個李子的重量等于1個桃子的重量。

練習(xí)

1.1個面包和6個雞蛋價值1.8元，同樣價格下，2個面包和4個雞蛋價值2.40

元，問1個面包多少錢？

2.小木、小林、小森三人去看電影，如果用小木帶的錢去買三張電影票，還差0.55

元；如果用小林帶的錢去買三張電影票，還差0.69元；如果用三人帶去的錢買三張

電影票，就多0.30元，已知小森帶了0.37元，那么買一張電影票要用多少元？

3.有A、B、C三種貨物，甲購A物3件、B物5件、C物1件，付款20元；

乙購A物4件、B物7件、C物1件，付款25元；丙購A、B、C各1件，應(yīng)付款多

少元？

4.某文具店中的鉛筆、彩色筆、圓珠筆用三種方式搭配裝在文具匣內(nèi)出售。文

具匣內(nèi)裝4支鉛筆售4元；在同一種文具匣內(nèi)裝4支彩筆和2支圓珠筆售8元；仍在

這種文具匣內(nèi)裝4支彩色筆和2支圓珠筆，再加2支鉛筆售9元。如果在這個文具盒

內(nèi)裝3支鉛筆、2支彩色筆和1支圓珠筆，那么售價應(yīng)是多少元？

5.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，若

購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.2元，現(xiàn)在購甲、乙、丙各一件共需多少元。

6.2個蘋果重量一3個桃子重量=100克；2個蘋果重量+2個梨重量=500克;

3個桃子重量+1個梨重量=350克。蘋果、桃子、梨每個各重多少克？

7.肥料廠把肥料運到甲、乙、丙三個村小組，每次運的噸數(shù)和所需運費如下,

甲組三次共需運費多少元？

次數(shù)甲組（噸）乙組（噸）丙組（噸）運費（元）

第一次45625.5

第二次46525.7

第三次57529.4

解題思路點滴

等量代換法

在解答某些應(yīng)用題時，可根據(jù)題目中所給的條件，通過等量代換，即用一個未知

數(shù)量替代其他的未知數(shù)量，使問題的數(shù)量關(guān)系單一化，從而找到解題的方法，這種思

考問題的方法，叫做代換法。

等量代換是一種解題思路，又是一種解題方法。解題的著急是

怎樣根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系，尋找恰當(dāng)?shù)奶娲椒?。?shù)學(xué)問題的核

心是數(shù)量關(guān)系，代換的方向是使其變錯綜復(fù)雜為簡單明顯；代換的

對象是其中的數(shù)量關(guān)系，或使未知數(shù)量單一化，或用同一標(biāo)準(zhǔn)量來

表示諸數(shù)量?？傊?，通過代換，要把一種數(shù)量轉(zhuǎn)化成為另一種數(shù)量，

使數(shù)量關(guān)系變得單一化，從而使問題得到解決。

例1中華學(xué)校買來史地書、科技書、文藝書共456

本。其中科技書是史地書的L2倍，文藝書比科技書多

例2老張和老李的存款數(shù)相等，后來老張取出500元，老李存入400元，結(jié)果

老李的存款數(shù)是老張的2倍。求老張和老李原來的存款數(shù)是多少？1400（元）

例3菜站運來西紅柿和黃瓜共重1660千克，已知運來的西紅柿的重量比黃瓜重

量的3倍少60千克，菜站運來西紅柿和黃瓜各多少千克？430（千克）……（黃瓜）

230（千克）……（西紅柿）

例4媽媽比女兒大27歲，3年前，媽媽的年齡是女兒的4倍，女兒現(xiàn)在幾歲？

（12歲）

例5糖果店賣的水果糖、奶糖、巧克力糖有下列關(guān)系：買1.5千克奶糖的錢和

買2.4千克水果糖的錢相等；買2千克巧克力糖的錢與買3千克奶糖的錢相等。如

果用買4.5千克巧克力糖的錢，可買水果糖多少千克？[10.8（千克）】

例6甲、乙兩隊共同整修一段公路。甲隊工作6小時，乙隊工作8小時，一共

整修公路312米。已知甲隊5小時的工作量等于乙隊2小時的工作量。兩隊每小時各

整修公路多少米？12（米）……（甲隊）30（米）……（乙隊）

例7甲、乙二人合做一批零件，甲做了8小時，乙做了6小時，一共做了360

個零件。甲2小時的工作量等于乙3小時的工作量。兩人每小時各做多少個零件？

答：甲、乙兩人每小時做零件的個數(shù)分別為20個、30個。

第五章行程問題

第一節(jié)相遇問題

在這一講中，我們將要研究的是行程問題中一些綜合性較強(qiáng)的題目，為此，我們

需要先回顧一下已學(xué)過的基本數(shù)量關(guān)系：

路程=速度X時間

總路程=速度和X時間

路程差=速度差X追及時間

例1兩村相距35千米，甲乙兩人從兩村相向而行，甲先行2小時，己知甲每小

時行4千米，乙每小時行5千米，當(dāng)兩人還相距9千米時，乙行了多少小時？12（小

時］

例2甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走

40米。甲從A地，乙和丙從B地同時出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又

與丙相遇，求A、B兩地間的距離。

答：A、B兩地間的距離是16.5千米。

例3甲、乙、丙是一條路上的三個車站，乙站到甲、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和

小明同時分別從甲、丙兩站出發(fā)相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過乙站100米時與小明相遇，然后

兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立即返回，經(jīng)過乙站300米時又追上小明，問：甲、

乙兩站的距離是多少米？（300米）

例5甲、乙二個分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕

上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的

距離。

答：A、B間的距離為780米。

例6一條公路上，有一個騎車人和一個步行人，騎車人速度是步行人速度的3倍,

每隔6分鐘有一輛公共汽車超過步行人，每隔10分鐘有一輛公共汽車超過騎車人，

如果公共汽車始發(fā)站發(fā)車的時間間隔保持不變，那么間隔幾分鐘發(fā)一輛公共汽車？（5

分鐘）

練習(xí)

1.晶晶每天早上步行上學(xué)，如果每分鐘走60米，則要遲到5分鐘，如果每分鐘

走75米，則可提前2分鐘到校。求晶晶到校的路程？

2.甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.5米，丙每分鐘走

75米，甲乙從東鎮(zhèn)去西鎮(zhèn)，丙從西鎮(zhèn)去東鎮(zhèn)，三人同時出發(fā)，丙與乙相遇后，又經(jīng)過

2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮(zhèn)間的路程有多少米？

3.A、B兩輛汽車同進(jìn)從甲、乙兩站相對開出，兩車第一次在距甲站32公里處

相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)行駛，各自到達(dá)乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距

甲站64公里處相遇，甲、乙兩站間相距多少公里？

4.周長為400米的圓形跑道上，有相距100米的A、B兩點，甲、乙兩人分別從

A、B兩點同時相背而跑，兩人相遇后，乙立即轉(zhuǎn)身與甲同向而跑，當(dāng)甲跑到A時，

乙恰好跑到B,如果以后甲、乙跑的速度和方向都不變，那么追上乙時，甲共跑了多

少米？（從出發(fā)時算起）

5.老王從甲城騎自行車到乙城辦事，每小時騎15千米，回

來時改騎摩托車,每小時騎33千米,騎摩托車比騎自行車少用1.8

小時，求甲、乙兩城間的距離。

6.速度為快、中、慢的三輛汽車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面一

個騎車人，這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人，現(xiàn)在知道快車每

小時24公里，中速車每小時20公里，那么慢車每次小時多少公里？

7.在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每12分鐘

相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑,

每