2022-2023學年蘇教版高一數(shù)學新教材同步講義5.3 函數(shù)的單調(diào)性 解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除5.3函數(shù)的單調(diào)性【知識點梳理】知識點一、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，區(qū)間如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對于內(nèi)的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是減函數(shù)．知識點詮釋：（1）屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上；（2）任意兩個自變量且；（3）都有；（4）圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是下降的．上升趨勢下降趨勢2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì)．知識點詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系----單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開，不能用“∪”，可以用“和”來表示；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性；⑤遵循最簡原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號．判斷差的正負或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號—下結(jié)論”進行判斷．（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù)，另一個是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時遞增；單性相異時遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．知識點詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性．（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題．知識點二、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識點三、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最大值，即當時，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對于函數(shù)，其定義域為，如果存在，，使得對于任意的，都有，那么，我們稱是函數(shù)的最小值，即當時，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對應(yīng)圖像中的最高點，最小值對應(yīng)圖像中的最低點，它們不一定只有一個．【題型歸納目錄】題型一：單調(diào)性的概念題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系題型七：求函數(shù)的最值題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題題型十：恒成立與能成立問題【典型例題】題型一：單調(diào)性的概念例1．（2022·全國·高一課時練習）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對任意正數(shù)a?b，都有，且當時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是增函數(shù)，且 B．是増函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且 D．是減函數(shù)，且【答案】D【解析】法一：取，滿足題干條件，則是減函數(shù)，且；法二：當時，.設(shè)，則，由已知，.所以，即，所以是減函數(shù)，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】單調(diào)性定義的等價形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．例2．（2022·全國·高一課時練習）若定義在R上的函數(shù)f(x)對任意兩個不相等的實數(shù)a，b，總有>0成立，則必有（

）A．f(x)在R上是增函數(shù) B．f(x)在R上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)先增后減 D．函數(shù)f(x)先減后增【答案】A【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號，即當a<b時，f(a)<f(b)，或當a>b時，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).故選：A.例3．（2022·山東濟寧·高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，已知為上的減函數(shù)，，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，反之不成立，所以是的的充分不必要條件．故選：A變式1．（2022·全國·高一課時練習）下列有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的說法，不正確的是（

）A．若為增函數(shù)，為增函數(shù)，則為增函數(shù)B．若為減函數(shù)，為減函數(shù)，則為減函數(shù)C．若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)D．若為減函數(shù)，為增函數(shù)，則為減函數(shù)【答案】C【解析】根據(jù)不等量的關(guān)系，兩個相同單調(diào)性的函數(shù)相加單調(diào)性不變，選項A,B正確；選項D:為增函數(shù)，則為減函數(shù)，為減函數(shù)，為減函數(shù)，選項D正確；選選C:若為增函數(shù)，為減函數(shù)，則的增減性不確定.例如為上的增函數(shù)，當時，在上為增函數(shù)；當時，在上為減函數(shù)，故不能確定的單調(diào)性.故選:C變式2．（2022·全國·高一專題練習）如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．若x1<x2，則f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D．>0【答案】C【解析】因為f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x1<x2，則f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b).故不正確的是：.故選：.變式3．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，（），則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)的單調(diào)性定義知，若函數(shù)在給定的區(qū)間上是增函數(shù)，則，與同號，由此可知，選項A，B，D都正確.若，則，故選項C不正確.故選：C.題型二：函數(shù)的單調(diào)性的證明例4．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，．(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)，若的定義域和值域都是，求的最大值．【解析】（1）證明：任取，且，則，因為，，所以，所以，故，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為的定義域和值域都是，所以，所以m，n為關(guān)于x的方程的兩個不相等的正實數(shù)根，化簡方程可得，則，解得，所以因為，所以，所以當，即時，取得最大值．最大值為．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；（2）如何比較兩個量的大?。浚ㄗ鞑睿?）如何判斷一個式子的符號？（對差適當變形）例5．（2022·山東·梁山縣第一中學高一階段練習）已知函數(shù).(1)用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上為減函數(shù)；(2)求函數(shù)在上的最大值.【解析】（1）設(shè)對任意的，則由題設(shè)可得，，，，即.故函數(shù)在上為減函數(shù)..（2）由（1）得在上為減函數(shù)，函數(shù)在上的最大值為.例6．（2022·云南師大附中高一期中）已知函數(shù)的定義域為.(1)根據(jù)單調(diào)性的定義，證明在上是增函數(shù)；(2)若函數(shù)是上的減函數(shù)，且不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，且，則，由于，且，所以，，，所以，則有，即，所以在上是增函數(shù)；（2）由于函數(shù)是上的減函數(shù)，且，所以，又，所以，即在上恒成立，由（1）可知在上是增函數(shù)，所以，即的取值范圍為.變式4．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學高中部高一階段練習）已知函數(shù)，.(1)判斷并證明在上的單調(diào)性；(2)解不等式.【解析】（1）在上單調(diào)遞減，理由如下：設(shè)滿足，∵，∴，，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減.（2）∵，則令，解得或－3，∵，∴，故只有.∵在上單調(diào)遞減，且，∴，∴解得，即不等式解集為.變式5．（2022·福建·廈門雙十中學高一階段練習）已知函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【解析】（1）因為滿足，所以，解得，所以.（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：不妨設(shè)，且，因為，又因為，故，，，即，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.變式6．（2022·新疆·和碩縣高級中學高一階段練習）已知函數(shù)滿足，且.(1)求和函數(shù)的解析式；(2)用定義法證明在其定義域的單調(diào)性.【解析】（1）由，則有，又由，則；所以.（2）證明：在其定義域為單調(diào)增函數(shù).證明：，其定義域為，令，所以，所以，因為，，所以，所以在其定義域為單調(diào)增函數(shù).變式7．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，判斷并證明在區(qū)間上的單調(diào)性．【解析】在區(qū)間上單調(diào)遞增，理由如下：任取，，且，．因為，所以，，，所以所以，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．題型三：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域需要滿足，解得定義域為，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關(guān)．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用已知函數(shù)的單調(diào)性解決．關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．例8．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由知，函數(shù)為開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，則單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.例9．（2022·全國·高一單元測試）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題圖知：在上的單調(diào)遞減，在上的單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B變式8．（2022·湖南師大附中高一階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當時，，開口向下，對稱軸為，故其遞增區(qū)間是；當時，，開口向上，對稱軸為，在時，單調(diào)遞減，綜上：的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：A.變式9．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學高中部高一階段練習）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減可知，∴開口向下，對稱軸為，∴在上單調(diào)遞增.故選：C變式10．（2022·全國·高一專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和【答案】B【解析】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例10．（2022·海南·瓊山中學高一階段練習）已知在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)需滿足或，即或，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）解答分類問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及討論對象的范圍；其次要確定分類標準，即標準統(tǒng)一、不重不漏；再對所分類逐步進行討論，分級進行；最后進行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論．（2）分離參數(shù)法，即把分離出來放到不等式的左邊，不等式的右邊是關(guān)于的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．例11．（2022·江蘇省新海高級中學高一期中）若二次函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當時，，解得：，所以，當時，不滿足條件，綜上可知：故選：A例12．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則整數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】由題意可得，解得，∴整數(shù)a的取值可以為.故選：A變式11．（2022·江西省樂平中學高一階段練習）函數(shù)，在上，隨著的增大而減小，則實數(shù)范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的對稱軸為，故當時，滿足隨著的增大而減小，解得：，所以實數(shù)范圍為.故選：D變式12．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一階段練習）已知正比例函數(shù)，若隨增大而增大，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為正比例函數(shù)中，隨增大而增大，所以，，解得.所以，的取值范圍是.故選：D變式13．（2022·福建省廈門第二中學高一階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的圖像的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上時單調(diào)函數(shù)，所以或，得或，即的取值范圍是，故選：D變式14．（2022·湖北武漢·高一期中）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故在上單調(diào)遞減，由題意得解得，故選：B變式15．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】當a=0時，，不符合題意.當a>0時，設(shè)，則函數(shù)，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得.當a<0時，在區(qū)間上為增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得a<0.綜上，a的取值范圍為.故B，C，D錯誤.故選：A.變式16．（2022·山西太原·高一階段練習）函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]【答案】D【解析】因為對任意，都有成立，所以是減函數(shù)，則，解得．故選：D．變式17．（2022·全國·高一）已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿足，故選：D變式18．（2022·廣西·南寧市東盟中學高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以故選：C題型五：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式例13．（2022·江蘇·高一）已知函數(shù)的定義域是，且滿足，，如果對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．【方法技巧與總結(jié)】求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解．例14．（2022·全國·高一課時練習）定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，不妨設(shè)，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：故選：B例15．（2022·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.變式19．（2022·全國·高一課時練習）已知在定義域上是減函數(shù)，且，則的取值范圍為（

）A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）【答案】A【解析】因為在定義域上是減函數(shù)，所以由，故選：A變式20．（2022·全國·高一單元測試）已知定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，，，都有，，則滿足不等式的x的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】可轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則，∴.令，由單調(diào)性定義可知，為上的增函數(shù).∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即x的取值范圍為.故選：B.變式21．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，解得．故選：B變式22．（2022·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，若則實數(shù)的取值范圍是____．【答案】【解析】由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即且，即且，解得且或，即故答案為：.題型六：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)比較函數(shù)值的大小關(guān)系例16．（2022·全國·高一課時練習）已知對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較，數(shù)形結(jié)合．例17．（2022·福建省廈門第六中學高一階段練習）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)在上是增函數(shù)，，解得：；則，故選：B.例18．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高一階段練習）已知，且在上是增函數(shù)，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，，因為在上是增函數(shù)，且，所以，即，故選：B變式23．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數(shù)在上是增函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，即，由于在上單調(diào)遞增，所以.故選：B變式24．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，恒成立，設(shè)，，（其中），則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因此，即，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，又因為，所以，所以．故選：B．變式25．（2022·全國·高一單元測試）函數(shù)在上是減函數(shù)，且為實數(shù)，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，ABD中不等式左右兩側(cè)均為，不等式不成立，ABD錯誤；對于恒成立，即恒成立，又為上的減函數(shù)，，C正確.故選：C.變式26．（2022·全國·高一單元測試）定義域為R的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】定義域在上的函數(shù)滿足：對任意的，，有，可得函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以（1）（3）．故選：．題型七：求函數(shù)的最值例19．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．例20．（2022·湖南·高一課時練習）檢驗下列函數(shù)的增減性，并說明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值點．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【解析】(1)任取，設(shè)則由，知所以在上為增函數(shù)，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(2)任取，設(shè)，則當時，，則在上為減函數(shù)，當時，，則在上為增減函數(shù)，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(3)任取，設(shè)，則由時，知，則在上為增函數(shù)，當時，取得最大值，且當時，取得最小值，且(4)任取，設(shè)，則由時，知，則在上為增函數(shù)，所以函數(shù)無最值.例21．（2022·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）已知函數(shù)滿足下列3個條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞減；③函數(shù)過定點．(1)請猜測出一個滿足題意的函數(shù)，并寫出其解析式；(2)求（1）中所猜函數(shù)在上的最大值．【解析】（1）由的圖象關(guān)于原點對稱知為奇函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，可猜想，，猜測一個滿足題意的函數(shù)為；（2）易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)變式27．（2022·浙江·溫州市第二十二中學高一開學考試）已知函數(shù)，且，，則函數(shù)的值域是______.【答案】【解析】因為，，所以，即，解得：所以，設(shè)且，所以，因為且，所以，所以，即，所以，即在上單調(diào)遞減，所以，所以，函數(shù)的值域是故答案為：變式28．（2022·浙江·金華市云富高級中學高一階段練習）函數(shù)y=+的最大值為__________.【答案】【解析】由，解得，即函數(shù)的定義域為，，當時，取得最大值，即.故答案為：變式29．（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值為（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【解析】依題意，當時，，不符合題意；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，得．綜上，a的值為故選:B.變式30．（2022·全國·高一專題練習）設(shè)，若函數(shù)，當時，的范圍為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在上單調(diào)遞減，，解得：.故選：B.變式31．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，(1)證明：在上單調(diào)遞減，并求出其最大值與最小值：(2)若在上的最大值為，且，求的最小值.【解析】（1）設(shè)是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且，則，因為且，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.（2）由（1）知在上的最大值為，所以，即所以，因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.變式32．（2022·江蘇·高一單元測試）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則．當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，又當時，，當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為，故選：B．題型八：抽象函數(shù)單調(diào)性的證明例22．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意正實數(shù)、都有，且當時，．求證：函數(shù)是上的增函數(shù)．【解析】證明：任取、，且，則．因為，所以，所以，即，所以函數(shù)是上的增函數(shù)．【方法技巧與總結(jié)】研究抽象函數(shù)的單調(diào)性是依據(jù)定義和題設(shè)來進行論證的．一般地，在高中數(shù)學中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是“”型[即給出所具有的性質(zhì)，如本例，二是“”型．對于型的函數(shù)，只需構(gòu)造，再利用題設(shè)條件將它用與表示出來，然后利用題設(shè)條件確定的范圍，從而確定與的大小關(guān)系；對型的函數(shù)，則只需構(gòu)造即可．例23．（2022·全國·高一期中）已知函數(shù)的定義域為，且，，當且時恒成立．(1)判斷在上的單調(diào)性；(2)解不等式；(3)若對于所有，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），，則當時，，；當時，；當時，；在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知：，解得：，的解集為.（3）由（1）知：，對于任意恒成立；令，當時，不成立，不合題意；當時，在上單調(diào)遞減，，解得：（舍）或；當時，在上單調(diào)遞增，，解得：或（舍）；綜上所述：的取值范圍為.例24．（2022·湖北黃岡·高一期中）定義在上的函數(shù)滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)a，b，都有；②當x>1時，<0；③＝－1(1)求和的值；(2)試用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；(3)求滿足的t的取值范圍.【解析】(1)令，可得，解得；令，可得令，可得，即有；(2)設(shè)且，可得，即有，則∴函數(shù)在上是減函數(shù)(3)由條件得，，又函數(shù)在上是減函數(shù)，則滿足，解得所以滿足的t的取值范圍為.變式33．（2022·安徽宿州·高一期中）已知函數(shù)對任意，總有，且對，都有.(1)判斷并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)解關(guān)于的不等式.【解析】(1)函數(shù)是上的減函數(shù)，證明如下：由題意，令，有，解得，任取，不妨設(shè)，則，因為，則，所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)；(2)因為函數(shù)對任意，總有，所以不等式，即，也即，又由（1）可知函數(shù)為上的減函數(shù)，所以，解得，所以原不等式的解集為.變式34．（2022·四川巴中·高一期中）設(shè)函數(shù)對于任意，都有，且時，.(1)判斷的單調(diào)性，并用定義法證明；(2)解不等式.【解析】(1)在上為增函數(shù)，證明如下：任取，且，則，因為，所以，因為時，，所以，所以，所以在上為增函數(shù)，(2)由，得，即，因為在上為增函數(shù)，所以，解得或，所以不等式的解集為變式35．（2022·安徽·池州市第一中學高一階段練習）定義在上的函數(shù)對任意、都有，且對任意，恒有.(1)判斷單調(diào)性，并證明；(2)已知，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增，理由如下：任取、，且，則，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)，則，原不等式可化為，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得對恒成立，即對恒成立.若，恒成立，符合題意；若，則，得.綜上可得.變式36．（2022·黑龍江·雞西市第一中學校高一期中）定義在R上的函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，總有，若時，且.(1)求的值；(2)求證在定義域R上單調(diào)遞減；(3)若時，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)因為對任意的實數(shù)，總有，所以取，有，解得：.取，有，因為，解得：.(2)任取,

且，記，則.因為時，，所以，即，所以在定義域R上單調(diào)遞減.(3)因為對任意的實數(shù)，總有，所以取，有，解得：.所以可化為因為在定義域R上單調(diào)遞減.所以，解得.即不等式的解集為變式37．（2022·天津·靜海一中高一階段練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意的實數(shù)均有，而且當時，有(1)用定義證明的單調(diào)性；(2)解不等式(3)若對任意，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）證明：，，所以，，所以，所以在上單調(diào)遞增（2）令，，所以，因為，所以，即，故，解得，綜上：不等式解集為，（3），，恒成立．又為上的單調(diào)增函數(shù)，故，，恒成立．設(shè)，，，故，解得．即實數(shù)的取值范圍是：，．變式38．（2022·全國·高一專題練習）定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)m，n總有，且當時，.(1)試求的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．【解析】(1)在中,令,得.因為,所以.(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減.任取,且設(shè).在已知條件中,若取,則已知條件可化為,由于,所以.在中,令,則得.當時,,所以,又,所以對于任意的均有，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.題型九：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例25．（2022·全國·高一課時練習）已知二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式.(2)求在，的最小值，并寫出的函數(shù)的表達式.【解析】（1）設(shè)，，又，，由知，（2），對稱軸為：，故當時，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，當，即時，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得最小值，，所以【方法技巧與總結(jié)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題由它的單調(diào)性來確定，而它的單調(diào)性又由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸的位置（在區(qū)間上，還是在區(qū)間左邊，還是在區(qū)間右邊）來確定，當開口方向和對稱軸的位置不確定時，則需要進行分類討論．例26．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中高一期中）1.已知二次函數(shù)滿足，且的最大值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，求在區(qū)間上的最大值．【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)，因為，且的最大值為，所以，解得：，故二次函數(shù)(2)，對稱軸為，當，即時，在上單調(diào)遞減，故當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當，即時，在上單調(diào)遞增，故綜上：例27．（2022·吉林油田高級中學高一期中）已知是二次函數(shù)，且滿足，，．(1)求函數(shù)的解析式，并證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，，，求函數(shù)的最小值．【解析】(1)設(shè)，，，即，解得，，則.證明：任取，，且因為，則，所以，∴在上單調(diào)遞增．(2)令，則由（1）知，則，記，當時，；當時，；當時，．故．變式39．（2022·福建·廈門一中高一階段練習）已知二次函數(shù)對一切實數(shù)，都有成立，且，，.（1）求的解析式；（2）記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，若，當時，求的最大值.【解析】（1）對一切實數(shù)，都有成立，則二次函數(shù)的對稱軸為直線，又，則二次函數(shù)圖象的頂點坐標為，設(shè)，則，因此，；（2），對稱軸為直線，，則.當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，則，得，此時；當時，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，，，且，，則，整理得，解得，此時，.因此，，則實數(shù)的最大值為.題型十：恒成立與能成立問題例28．（2022·河北·滄州市一中高一階段練習）已知函數(shù)(1)解關(guān)于x的不等式；(2)已知，當時，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）由題設(shè)，當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；當時，，故不等式解集為；（2）由題設(shè)，在上，要使任意的，總存在，使成立，所以是值域的子集，顯然時不滿足題設(shè)，或，可得或.【方法技巧與總結(jié)】1、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，.（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.例29．（2022·福建省福州教育學院附屬中學高一階段練習）已知一次函數(shù)滿足，，(1)求解析式：(2)若函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為，由，得，即，所以；（2）由（1）可得，當時，恒成立，符合題意；當時，恒成立，需滿足，解得，綜合上述，實數(shù)的取值范圍為.例30．（2022·遼寧·鐵嶺市清河高級中學高一階段練習）已知，其中為常數(shù)．(1)若的解集為或，求的值；(2)使，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）即為，因為的解集為或，所以，方程的實數(shù)根為，所以，根據(jù)韋達定理得，即所以.（2）因為使，所以，，因為時，，當且僅當時等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得所以，實數(shù)的取值范圍為.變式40．（2022·河南·高一階段練習）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，頂點為，在中，邊上的高為，且．(1)求的值；(2)若對任意，總存在，使不等式成立，求的取值范圍．【解析】（1）令，得或，所以．因為，所以．由，得，得或，又，所以．（2）由（1）得，得，得．因為對任意，總存在，使不等式成立，所以，所以關(guān)于的不等式在上恒成立．令，圖象的對稱軸為直線．當，即時，，得，所以．當，即時，，所以.綜上所述，的取值范圍為．變式41．（2022·山西·晉城市第一中學校高一階段練習）已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明；(2)若對任意的時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；取，且，，因為，，故，，，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）若對任意的時，恒成立，時，無意義，舍去，當時，，此時無解，舍去，所以，只需求出的最大值，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，故，又因為，，故，故，所以，因為，故解得：或?qū)崝?shù)的取值范圍是.變式42．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一階段練習）已知定義域為R的函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；(3)若使得，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1），令，則，故，所以；（2）可看作關(guān)于的一次函數(shù)，要想對任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，則與求交集得，實數(shù)x的取值范圍是；（3）若使得，只需在上成立，的對稱軸為，當時，在上單調(diào)遞增，所以，，由，解得：，與取交集得：；當時，在上單調(diào)遞減，所以，，由，解得：，與取交集得：；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，由，解得：或，或與取交集得：，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，，解得：或，或與取交集得：，綜上：或?qū)崝?shù)a的取值范圍是變式43．（2022·北京·高一階段練習）設(shè)函數(shù)，已知不等式的解集為或.(1)求和的值；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）有題意得是關(guān)于的方程的兩個根，所以解出，故；（2）方法一：二次函數(shù)實根分布法：由（1）可知對任意的恒成立.可化簡為對任意的恒成立.①，解得：；②，解得；綜上：的取值范圍是.方法二：分離參數(shù)法由（1）得，則對任意恒成立，即，對任意恒成立.又（當且僅當時等號成立），所以，所以c的取值范圍.變式44．（2022·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數(shù).(1)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求x的取值范圍.【解析】（1）解法一：對任意的，恒成立，即恒成立，即對任意的恒成立.①當時，不等式為恒成立，此時；②當時，，∵，∴，∴，當且僅當時，即時取“=”，∴，綜上，a的取值范圍為；解法二：由題可得對任意成立，所以，對于二次函數(shù)，對稱軸為軸，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得；當時，則，解得；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a的取值范圍為；（2）由題可得，則當時，不等式恒成立，則，整理得：，解得：或，∴x的取值范圍為或.變式45．（2022·江蘇·南京師大附中高一階段練習）設(shè)k為實數(shù)，已知關(guān)于x的函數(shù)(1)若對于?x∈R，都有y≤0恒成立，求k的取值范圍；(2)若對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，求k的取值范圍．【解析】（1）當時，恒成立，符合題意；當時，要想對于?x∈R恒成立，只需滿足下列條件：，綜上所述：k的取值范圍為；（2）當時，，顯然對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，符合題意；當時，二次函數(shù)的對稱軸為：，且開口向上，當x∈[1，4]時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因此要想對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，只需，即；當時，二次函數(shù)的對稱軸為：，且開口向下，當x∈[1，4]時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，因此要想對于?m≥1，?x∈[1，4]，滿足y≤m成立，只需，即，綜上所述：k的取值范圍為.【同步練習】一、單選題1．（2022·云南·昆明一中高一期中）已知函數(shù)是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：函數(shù)是R上的減函數(shù)當時，函數(shù)要遞減，則有；當時，函數(shù)要遞減，則有；且解得：綜上所述：實數(shù)a的取值范圍可以是故選：D2．（2022·安徽淮南·高一階段練習）已知是定義在上的減函數(shù)，且對，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，令，易得．因為是定義在上的減函數(shù)，且，所以，解得．故選：A．3．（2022·河南·通許縣啟智高中高一階段練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（

）A．， B．，1 C．， D．1，【答案】D【解析】易知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)，因此當時，函數(shù)的最大值為，當時，函數(shù)的最小值為.故選：D.4．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學高一階段練習）下列函數(shù)的最小值為2的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，當時，函數(shù)沒有最小值，故A錯誤；對于B，，因為，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，故B錯誤；對于C，因為，，所以，當且僅當取等號，故C正確；對于D，，當且僅當取等號，又，故等號不成立，故D錯誤.故選：C.5．（2022·山西太原·高一階段練習）給出下列命題，其中錯誤的命題有（

）個①若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為；②函數(shù)，則③已知函數(shù)是定義域上減函數(shù)，若，則；④函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①：由題意知，，對于函數(shù)，，解得，即函數(shù)的定義域為，故①錯誤；②：令，則，所以變形為，即，故②正確；③：因為函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，且，所以，故③正確；④：由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，不是減函數(shù)，故④錯誤.故選：B.6．（2022·寧夏·吳忠中學高一階段練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，即，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是。故選：D7．（2022·四川·重慶第二外國語學校高一期中）給定函數(shù)，，．用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（

）A． B．1 C．0 D．【答案】A【解析】令即，解得；令，解得或，所以當時，，當時，，則，綜上所述，．故選：A．8．（2022·福建·石獅市第八中學高一期中）已知函數(shù)，，，若存在，使得成立，則的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】設(shè)任意的，且，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以；因為，其對稱軸為，所以根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在可得到最小值，若存在，使得成立，只需，所以，解得，因為，所以的取值范圍為，故選：D9．（2022·湖北黃石·高一期中）已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，且，所以，所以，即在恒成立，所以即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：B二、多選題10．（2022·浙江寧波·高一期中）已知在區(qū)間上的最小值為，則可能的取值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】BC【解析】因為函數(shù)，函數(shù)的對稱軸為，開口向上，又在區(qū)間上的最小值為，所以當時，，解得（舍去）或；當，即時，，解得（舍去）或；當，即時，．綜上，的取值集合為．故選：BC．11．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一階段練習）定義在上的函數(shù)滿足：對于定義域上的任意，，當時，恒有,則稱為“理想函數(shù)”則下列函數(shù)中是“理想函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】由，設(shè)，可得，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，對于A，，函數(shù)在為減函數(shù)，所以A不符合題意；對于B，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上