高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-數(shù)形結(jié)合解平面向量問題與第34講數(shù)形結(jié)合解解析幾何問題解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第33講 數(shù)形結(jié)合解平面向量問題向量是既有大小又有方向的量，故向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，向量的引入給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)帶來了無限生機(jī)和活力，對向量的應(yīng)用，要注意向量與平面幾何的結(jié)合、向量與三角函數(shù)及解三角形的結(jié)合、向量與解析幾何的結(jié)合及用空間向量解立體幾何問題，用向量法解題體現(xiàn)了圖形語言與符號語言的相互轉(zhuǎn)換，要注意領(lǐng)悟其中包含的數(shù)形結(jié)合思想及思維方法．向量加法的平行四邊形(或三角形)法則是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問題的基礎(chǔ)，向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算法則是用代數(shù)的方法來研究向量，體現(xiàn)了向量集數(shù)、形于一身的特點(diǎn)，還有諸如向量的模．而向量的夾角、共線與垂直都是“形中覓數(shù)、數(shù)中尋形”，代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化．典型例題【例1】已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)聯(lián)結(jié)DE并延長到點(diǎn)F，使得DEA．?58B．18C．【分析】本例考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，可以從不同的角度領(lǐng)會(huì)圖形中向量運(yùn)算的幾何意義，從而得到多種解法．【解析】（1）【解法一】如圖5?78所示，設(shè)AC＝m，∴∴根據(jù)已知得，DF【解法二】由向量數(shù)量積的幾何意義知，AF?BC為AF在BC上的投影與BC的乘積．如圖5?79所示，分別過A，F(xiàn)作BC的垂線，垂足為E，G，過D作DHAF?【解法三】如圖5?80所示，以BC為x軸，BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A由EF＝?1∴又BC＝(1，【例2】(1)已知△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)滿足如下條件：向量OB＝(2，0)，(2)在平面上，AB1⊥AB2，OB1＝A．0，52 B．52，7【分析】第(1)問，點(diǎn)C是一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而|CA|＝2，故點(diǎn)A在以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可以結(jié)合圖形求解；第(2)問，根據(jù)條件找到相關(guān)各點(diǎn)構(gòu)成的圖形，建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法結(jié)合不等式知識求【解析】（1）(1)由|CA|＝(2cos?α)2＋(2過原點(diǎn)O作此圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，如圖5?81所示，聯(lián)結(jié)CM，CN，則向量OA與OB的夾角由圖可知∠COB由|OC|＝22即15°2）由條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2，以AB1，A由OB1＝OB∵|∴1?x(x由①②知74＜x【例3】如圖5?83所示，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若長為2a的線段PQ上點(diǎn)A為中點(diǎn)，向量PQ與BC的夾角【分析】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則把平面向量與實(shí)數(shù)緊密地聯(lián)系在一起，使它們之間的相互轉(zhuǎn)化得以實(shí)施，解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用向量加減運(yùn)算的三角形法則找出向量之間的關(guān)系，或建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解答．因此，一方面我們要善于把向量的有關(guān)問題通過數(shù)量積轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，利用實(shí)數(shù)的有關(guān)知識來解決問題；另一方面，也要善于把實(shí)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為向量問題，利用向量這個(gè)工具解決相關(guān)問題．【解析】（1）【解法一】∵∴∵∴＝＝?＝?＝?＝?故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0(PQ和BC的方向相同)時(shí)，BQCQ最大【解法二】以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖5?84所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)則BP＝(∴＝?∵∴∴故當(dāng)cosθ＝1，即θ＝0(PQ和BC的方向相同)時(shí)，BQ【例4】(1)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B(2)已知在平行四邊形ABCD中，A＝π3，邊AB，AD的長分別為2，1，若M，N分別是邊BC，CD【分析】本例兩小題是與向量數(shù)量積有關(guān)的最值或值域的求法．通常，對于向量的數(shù)量積的計(jì)算有3種方法：(1)利用向量數(shù)量積的定義，計(jì)算兩個(gè)向量的模及夾角；(2)根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，明確向量投影的含義；(3)建立坐標(biāo)系寫出向量坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算．而求最值或值域常用配方法、判別式法或基本不等式法求解．【解析】（1）【解法一】如圖5?85所示，設(shè)PA＝PB＝PA＝＝＝＝?2＝?3＋2當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝2x2∴PA?PB【解法二】同解法一得PA?令PA?PB＝y(tǒng)，則y∵x2∴Δ即y2＋6y＋1?0，解得故(PA?PB)【解法三】設(shè)∠APB＝PA令x＝sin2（2）【解法一】由向量數(shù)量積的定義得AB∵M(jìn)，N分別是邊∴可記|BM則BM從而AM∴當(dāng)λ＝0時(shí)，AM?AN取最大值5；當(dāng)λ＝1時(shí)∴2?【解法二】如圖5?86所示，以向量AB所在直線為x軸，以過點(diǎn)A垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．∵設(shè)Nx，32CN∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為2＋5∴即AM∴當(dāng)x＝52時(shí)，AM?AN取最大值5，當(dāng)x∴2?第34講 數(shù)形結(jié)合解解析幾何問題解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，基本思想是數(shù)形結(jié)合．利用數(shù)形結(jié)合思想可以分析直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓錐曲線位置關(guān)系．諸如解析幾何中的對稱問題，定點(diǎn)、定值問題，最值與范圍問題以及軌跡探求等都離不開數(shù)形結(jié)合思想方法．典型例題【例1】（1）直線y＝k(x?5)＋1與曲線y＝3?(2)直線y＝x＋b與曲線|x|?1＝(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2＋y2?8x＋15＝0，若直線y＝kx?2上至少存在一點(diǎn)，【分析】判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：(1)代數(shù)法，將直線方程與圓方程聯(lián)立并將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)方程解的判別式即可討論直線與圓的位置關(guān)系；(2)兒何法，由圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷出直線與圓的位置關(guān)系．但是這兩種方法只適用于整圓的情況，若方程表示的圖形并非整圓，則應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．【解析】（1）(1)直線y＝k(x?5)＋1過定點(diǎn)AkAC＝0，kAB＝?2(2)曲線|x|?1＝1?(y當(dāng)x?1時(shí)，(當(dāng)x?1時(shí)，(x＋1)當(dāng)直線在l1時(shí)，b當(dāng)直線在l2時(shí)，b當(dāng)直線在l3時(shí)，b當(dāng)直線在l4時(shí)，b當(dāng)直線在l5時(shí)，b∴b的取值范圍是b＝1或?2(3)∵∴(x因此圓C的圓心為C(4，0)∴若直線y＝kx?2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓必須且只需點(diǎn)C到直線y＝kx?2的距離|4k?2|即(2k?1)2?1＋【例2】(1)若橢圓x2a2＋y2b2（2）若圓(x?a)2＋y2【分析】二次曲線與二次曲線的交點(diǎn)問題不同于直線與二次曲線位置關(guān)系的探討，僅用判別式法是不夠的，這是因?yàn)槎吻€是有范圍限制且在一般情況下具有對稱性，二者要結(jié)合起來一起討論．由于我們研究的是曲線與曲線之間的位置關(guān)系，圖形未必能把細(xì)微處的走向描述清楚，所以必須與代數(shù)運(yùn)算結(jié)合起來，即華羅庚先生所言的：“數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”【解析】（1）作出橢圓x2a2＋y2b2觀察圖像可得，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在橢圓下方(m＜?b)且拋物線穿過唨圓內(nèi)部(?m＜a)時(shí)，即?a2＜m＜?b時(shí)兩條曲線有四個(gè)交點(diǎn)，作為充分條件，結(jié)論正確，但考慮?m＜a由x2a2＋y2（2）由于圓的半徑為2，當(dāng)圓與拋物線外切時(shí)，a＝?2，于是a＜?2時(shí)，圓與拋物線沒有公共點(diǎn)；當(dāng)圓與拋物線內(nèi)切時(shí)，由xΔ＝(2a?6)2?4a2?4＝0，解得a＝13∴當(dāng)x?0時(shí)，問題等價(jià)于圓心(a，0)到拋物線距離d的最小值大于2，設(shè)P(x，y)為拋物線上一點(diǎn)，則當(dāng)a?3＞0即a＞3時(shí)，f∴dmin＝6∴當(dāng)a?3?0，即a?3時(shí)，f∴dmi于是圓(x?a)a的取值范圍為a＜?2或a【例3】設(shè)橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率e＝32，已知點(diǎn)P0，32到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是7，求橢圓方程【分析】本題實(shí)質(zhì)是根據(jù)點(diǎn)P到橢圓上的點(diǎn)的距離的最大值為7，求橢圓上符合此條件的點(diǎn)解題時(shí)要心中有圖，由于點(diǎn)P在y軸上，而y軸又是橢圓的一條對稱軸，符合條件的點(diǎn)通常一定會(huì)成對出現(xiàn)，所以本題所求的點(diǎn)有兩個(gè)．由于已知橢圓的離心率只能將其中一個(gè)參數(shù)用另一個(gè)參數(shù)表示．若設(shè)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，得到的距離公式中必定含有一個(gè)參數(shù)，求最大值勢必需要討論．若設(shè)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)為參數(shù)式，既保留個(gè)參數(shù)又引進(jìn)一個(gè)新參數(shù)，也不易求解．如果能抓住圖形的對稱性，設(shè)以P點(diǎn)為圓心的圓與橢圓相切，結(jié)合判別式等于零，參數(shù)值可確定【解析】（1）∵∴∴∵∴a設(shè)橢圓方程為x24b∵P0，32到橢圓上的最遠(yuǎn)距離為7，此圓必與橢圓相切，如圖5?91所示，由①②)整理得3∵橢圓與圓相切，∴Δ＝9?12194∴b＝1，則則所求橢圓方程為x24＋y把b＝1代人方程③可得y把y＝?12代人④∴橢圓上到點(diǎn)P的距離等于7的點(diǎn)的坐標(biāo)為3，【例4】(1)求函數(shù)f(x(2)設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若2x2＋2【分析】第(1)問，求函數(shù)的最大值，但是所給函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，無法用常規(guī)方法解．如果把解析式中被開方數(shù)變形，很容易聯(lián)想到距離公式，原問題轉(zhuǎn)化為某曲線上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之差，則函數(shù)的最值問題立即轉(zhuǎn)化為解析幾何問題．同樣，第(2)問，在一定的條件下求代數(shù)式的最大值，若通過消元轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求最值顯然困難重重，連消元都無法輕易辦到，下一步無從談起，應(yīng)聯(lián)想到方程2x2＋2y2?xy＝4對應(yīng)的曲線是旋轉(zhuǎn)后的圓錐曲線，挖掘代數(shù)式所反映的幾何意義是解決問題的首選．當(dāng)然，【解析】（1）將給定的函數(shù)表達(dá)式變形為f(x)＝x2?22＋(x?3)2?x2?12＋由A，B的位置知直線AB必交拋物線y＝