可線性化回歸分析

第一章——統(tǒng)計案例[學習目標]1.進一步體會回歸分析的基本思想.2.通過非線性回歸分析,判斷幾種不同模型的擬合程度.§1回歸分析1.3可線性化的回歸分析1知識梳理自主學習2題型探究重點突破3當堂檢測自查自糾對不具有線性相關關系的兩個變量做統(tǒng)計分析，通過變量代換，轉化為線性回歸模型.知識點一非線性回歸分析思考有些變量間的關系并不是線性相關，怎樣確定回歸模型？答首先要作出散點圖，如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，則兩個變量不呈現線性相關關系，不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系，這時可以根據已有函數知識，觀察樣本點是否呈指數函數關系或二次函數關系，選定適當的回歸模型.曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數y＝axbc＝lnav＝lnxu＝lny_____________u＝c＋bv知識點二非線性回歸方程y＝aebxc＝lnau＝lnyy＝aec＝lna

v＝u＝lnyu＝c＋bxu＝c＋bvy＝a＋blnxv＝lnxu＝y(tǒng)u＝a＋bv思考如果兩個變量呈現非線性相關關系，怎樣求出回歸方程？答可以通過對解釋變量進行變換，如對數變換或平方變換，先得到另外兩個變量間的回歸方程，再得到所求兩個變量的回歸方程.例1

某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表：題型一線性回歸分析廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954(1)由數據易知y與x具有線性相關關系,若b＝9.4,求線性回歸方程y＝a＋bx；∴回歸直線方程為y＝9.1＋9.4x.(2)據此模型預報廣告費用為4萬元時的銷售額.解當x＝4時,y＝9.1＋9.4×4＝46.7,故廣告費用為6萬元時銷售額為46.7萬元.跟蹤訓練1

為了研究3月下旬的平均氣溫(x)與4月20日前棉花害蟲化蛹高峰日(y)的關系,某地區(qū)觀察了2006年到2011年的情況,得到了下面的數據：年份200620072008200920102011x/℃24.429.632.928.730.328.9y/日19611018i123456xi24.429.632.928.730.328.9yi19611018(1)對變量x,y進行相關性檢驗；解制表.故變量y和x存在很強的線性相關關系.(2)據氣象預測,該地區(qū)在2012年3月下旬平均氣溫為27℃,試估計2012年4月化蛹高峰日為哪天.例2

在一化學反應過程中,化學物質的反應速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關,現收集了8組觀測數據列于表中：題型二可線性化的回歸分析催化劑的量x/g1518212427303336化學物質的反應速度y(g·min－1)6830277020565350解根據收集的數據,作散點圖(如圖),根據已有的函數知識,可以發(fā)現樣本點分布在某一條指數函數曲數y＝c1ec2x的周圍,其中c1和c2是待定的參數.令z＝lny,則z＝lny＝lnc1＋c2x,即變換后的樣本點應該分布在直線z＝a＋bx(a＝lnc1,b＝c2)的周圍.由y與x的數據表可得到變換后的z與x的數據表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z與x的散點圖(如圖).由散點圖可觀察到,變換后的樣本點分布在一條直線的附近,所以可用線性回歸方程來擬合.由z與x的數據表,可得線性回歸方程：z＝0.848＋0.81x,所以y與x之間的非線性回歸方程為y＝e0.848＋0.81x.反思與感悟

可線性化的回歸分析問題,畫出已知數據的散點圖,選擇跟散點擬合得最好的函數模型進行變量代換,作出變換后樣本點的散點圖,用線性回歸模型擬合.跟蹤訓練2

電容器充電后,電壓達到100V,然后開始放電,由經驗知道,此后電壓U隨時間t變化的規(guī)律用公式U＝Aebt(b＜0)表示,現測得時間t(s)時的電壓U(V)如下表：t/s012345678910U/V100755540302015101055試求：電壓U對時間t的回歸方程.(提示：對公式兩邊取自然對數,把問題轉化為線性回歸分析問題)解對U＝Aebt兩邊取對數得lnU＝lnA＋bt,令y＝lnU,a＝lnA,x＝t,則y＝a＋bx,得y與x的數據如下表：x012345678910y4.64.34.03.73.43.02.72.32.31.61.6由y＝lnU,得U＝ey,U＝e4.61－0.313x＝e4.16·e－0.313x,因此電壓U對時間t的回歸方程為U＝e4.61·e－0.313x.題型三非線性回歸模型的綜合應用例3

某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x/cm60708090100110體重y/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高x/cm120130140150160170體重y/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05試建立y與x之間的回歸方程.解根據題干表中數據畫出散點圖如圖所示.由圖看出,樣本點分布在某條指數函數曲線y＝c1ec2x的周圍,于是令z＝lny.畫出散點圖如圖所示.x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01由表中數據可得z與x之間的線性回歸方程：z＝0.663＋0.020x,則有y＝e0.663＋0.020x.反思與感悟

根據已有的函數知識,可以發(fā)現樣本分布在某一條指數型函數曲線y＝c1ec2x的周圍,其中c1和c2是待定參數；可以通過對x進行對數變換,轉化為線性相關關系.跟蹤訓練3

在試驗中得到變量y與x的數據如下表：試求y與x之間的回歸方程,并預測x＝40時,y的值.x1923273135y41124109325解作散點圖如圖所示,從散點圖可以看出,兩個變量x,y不呈線性相關關系,根據學過的函數知識,樣本點分布的曲線符合指數型函數y＝c1ec2x,通過對數變化把指數關系變?yōu)榫€性關系,令z＝lny,則z＝bx＋a(a＝lnc1,b＝c2).列表：x1923273135z1.3862.3983.1784.6915.784作散點圖如圖所示,從散點圖可以看出,兩個變量x,z呈很強的線性相關關系.由表中的數據得到線性回歸方程為：z＝0.277x－3.998.所以y關于x的指數回歸方程為：y＝e0.277x－3.998.所以,當x＝40時,y＝e0.277×40－3.998≈1190.347.A123412342.某種產品的廣告費支出與銷售額(單位：百萬元)之間有如下對應數據：廣告費24568銷售額3040605070則廣告費與銷售額間的相關系數為(

)A.0.819 B.0.919C.0.923 D.0.95B3.根據統(tǒng)計資料,我國能源生產發(fā)展迅速.下面是我國能源生產總量(單位：億噸標準煤)的幾個統(tǒng)計數據：1234年份1996200120062011產量12.916.119.322.3根據有關專家預測,到2020年我國能源生產總量將達到27.6億噸左右,則專家所選擇的回歸模型是下列四種模型中的哪一種(

)A.y＝ax＋b(a≠0)B.y＝ax