2018年高考真題-數(shù)學(xué)(江蘇卷)+Word版含解析

絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)Ⅰ注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一片交回。2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。3．請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。參考公式：錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1.已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】分析：根據(jù)交集定義求結(jié)果.詳解：由題設(shè)和交集的定義可知：.點睛：本題考查交集及其運算，考查基礎(chǔ)知識，難度較小.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的實部為________．【答案】2【解析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算進行化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)實部概念求結(jié)果.詳解：因為，則，則的實部為.點睛：本題重點考查復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛復(fù)數(shù)為.3.已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________．【答案】90【解析】分析：先由莖葉圖得數(shù)據(jù)，再根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù).點睛：的平均數(shù)為.4.一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的S的值為________．【答案】8【解析】分析：先判斷是否成立，若成立，再計算，若不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出結(jié)果.詳解：由偽代碼可得，因為，所以結(jié)束循環(huán)，輸出點睛：本題考查偽代碼，考查考生的讀圖能力，難度較小.5.函數(shù)的定義域為________．般方法.13.在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．【答案】9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.14.已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列．記為數(shù)列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．【答案】27【解析】分析：先根據(jù)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的求和公式確定滿足條件的項數(shù)的取值范圍，再列不等式求滿足條件的項數(shù)的最小值.詳解：設(shè)，則由得所以只需研究是否有滿足條件的解，此時，，為等差數(shù)列項數(shù)，且.由得滿足條件的最小值為.點睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號型（如），周期型（如）.二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在平行六面體中，．求證：（1）；（2）．【答案】答案見解析【解析】分析：（1）先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先根據(jù)條件得菱形ABB1A1，再根據(jù)菱形對角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.詳解：證明：（1）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形．又因為AA1=AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1⊥A1B．又因為AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因為A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因為AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．點睛：本題可能會出現(xiàn)對常見幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無法得到運用或者運用錯誤，如柱體的概念中包含“兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，再如菱形對角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無法證明.16.已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)二倍角余弦公式得結(jié)果；（2）先根據(jù)二倍角正切公式得，再利用兩角差的正切公式得結(jié)果.詳解：解：（1）因為，，所以．因為，所以，因此，．（2）因為為銳角，所以．又因為，所以，因此．因為，所以，因此，．點睛：應(yīng)用三角公式解決問題的三個變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等.(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.17.某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓?。≒為此圓弧的中點）和線段MN構(gòu)成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為，要求均在線段上，均在圓弧上．設(shè)OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形和的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為．求當(dāng)為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．【答案】（1）矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）當(dāng)θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大【解析】分析：（1）先根據(jù)條件求矩形長與寬，三角形的底與高，再根據(jù)矩形面積公式以及三角形面積公式得結(jié)果，最后根據(jù)實際意義確定的取值范圍；（2）根據(jù)條件列函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求極值點，再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法.詳解：解：（1）連結(jié)PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當(dāng)θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當(dāng)θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當(dāng)θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當(dāng)θ=時，f（θ）取到最大值．答：當(dāng)θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．點睛：解決實際應(yīng)用題的步驟一般有兩步：一是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；二是利用數(shù)學(xué)內(nèi)部的知識解決問題.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標(biāo)；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為（2）①點P的坐標(biāo)為；②直線l的方程為【解析】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準方程，再根據(jù)點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點坐標(biāo)，即得直線方程.詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為．因為圓O的直徑為，所以其方程為．（2）①設(shè)直線l與圓O相切于，則，所以直線l的方程為，即．由，消去y，得．（*）因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以．因為，所以．因此，點P的坐標(biāo)為．②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．設(shè)，由（*）得，所以．因為，所以，即，解得舍去），則，因此P的坐標(biāo)為．綜上，直線l的方程為．點睛：直線與橢圓的交點問題的處理一般有兩種處理方法：一是設(shè)出點的坐標(biāo)，運用“設(shè)而不求”思想求解；二是設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出交點坐標(biāo)，適用于已知直線與橢圓的一個交點的情況.19.記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”．（1）證明：函數(shù)與不存在“S點”；（2）若函數(shù)與存在“S點”，求實數(shù)a的值；（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”，并說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）a的值為（3）對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．【解析】分析：（1）根據(jù)題中“S點”的定義列兩個方程，根據(jù)方程組無解證得結(jié)論；（2）同（1）根據(jù)“S點”的定義列兩個方程，解方程組可得a的值；（3）通過構(gòu)造函數(shù)以及結(jié)合“S點”的定義列兩個方程，再判斷方程組是否有解即可證得結(jié)論.詳解：解：（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得，此方程組無解，因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．（2）函數(shù)，，則．設(shè)x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得，即，（*）得，即，則．當(dāng)時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．因此，a的值為．（3）對任意a>0，設(shè)．因為，且h（x）的圖象是不間斷的，所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．函數(shù)，則．由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得，即（**）此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點”．因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點”．點睛：涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.20.設(shè)是首項為，公差為d的等差數(shù)列，是首項為，公比為q的等比數(shù)列．（1）設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍；（2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．【答案】（1）d的取值范圍為．（2）d的取值范圍為，證明見解析。【解析】分析：（1）根據(jù)題意結(jié)合并分別令n=1，2，3，4列出不等式組，即可解得公差d的取值范圍；（2）先根據(jù)絕對值定義將不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)條件易得左邊不等式恒成立，再利用數(shù)列單調(diào)性確定右邊單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為最小值問題，即得公差d的取值范圍.詳解：解：（1）由條件知：．因為對n=1，2，3，4均成立，即對n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范圍為．（2）由條件知：．若存在d，使得（n=2，3，···，m+1）成立，即，即當(dāng)時，d滿足．因為，則，從而，，對均成立．因此，取d=0時，對均成立．下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（）．①當(dāng)時，，當(dāng)時，有，從而．因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為．②設(shè)，當(dāng)x>0時，，所以單調(diào)遞減，從而<f（0）=1．當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為．因此，d的取值范圍為．點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.

數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．21.[選修4—1：幾何證明選講]如圖，圓O的半徑為2，AB為圓O的直徑，P為AB延長線上一點，過P作圓O的切線，切點為C．若，求BC的長．【答案】2【解析】分析：先連圓心與切點得直角三角形，求出PO，即得B為中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線長等于斜邊一半的性質(zhì)得結(jié)果.詳解：證明：連結(jié)OC．因為PC與圓O相切，所以O(shè)C⊥PC．又因為PC=，OC=2，所以O(shè)P==4．又因為OB=2，從而B為Rt△OCP斜邊的中點，所以BC=2．點睛：本題考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.22.[選修4—2：矩陣與變換]已知矩陣．（1）求的逆矩陣；（2）若點P在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點，求點P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）點P的坐標(biāo)為(3，–1)【解析】分析：（1）根據(jù)逆矩陣公式可得結(jié)果；（2）根據(jù)矩陣變換列方程解得P點坐標(biāo).詳解：（1）因為，，所以A可逆，從而．（2）設(shè)P(x，y)，則，所以，因此，點P的坐標(biāo)為(3，–1)．點睛：本題考查矩陣的運算、線性變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.23.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長．【答案】直線l被曲線C截得的弦長為【解析】分析：先根據(jù)直線與圓極坐標(biāo)方程得直線與圓的一個交點為A（4，0），且OA為直徑.設(shè)直線與圓的另一個交點為B，根據(jù)直線傾斜角得∠OAB=．最后根據(jù)直角三角形OBA求弦長.詳解：因為曲線C的極坐標(biāo)方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．因為直線l的極坐標(biāo)方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點．設(shè)另一個交點為B，則∠OAB=．連結(jié)OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．因此，直線l被曲線C截得的弦長為．點睛：本題考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.24.[選修4—5：不等式選講]若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】4【解析】分析：根據(jù)柯西不等式可得結(jié)果.詳解：證明：由柯西不等式，得．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時，所以的最小值為4．點睛：本題考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力.柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn為實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0或存在一個數(shù)k，使ai＝kbi(i＝1，2，…，n)時，等號成立．【必做題】兩題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．25.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.詳解：如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz．因為AB=AA1=2，所以．（1）因為P為A1B1的中點，所以，從而，故．因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．（2）因為Q為BC的中點，所以，因此，．設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，則即不妨取，設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．點睛：本題