人教A版必修第二冊8622直線與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案

其次課時直線與平面垂直的性質(zhì)[重點理解]1．剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論．(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直)．(3)定理揭示了空間中“平行〞與“垂直〞關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，供應(yīng)了“垂直〞與“平行〞關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．(4)定理的推證過程采納了反證法．2．直線與平面垂直的性質(zhì)(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,b?α))?l⊥b；(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；(3)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；(4)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))?α⊥β；(5)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β.[自我排查]1．從圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，那么這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行答案：B解析：由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，這條垂線與圓柱的母線所在直線平行，應(yīng)選B.2．假設(shè)直線n⊥平面α，n∥l，直線m?α，那么l，m的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．垂直答案：D解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.應(yīng)選D.3．直線a，b，平面α，且a⊥α，以下條件中，能推出a∥b的是()A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交答案：C解析：由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.應(yīng)選C.4．如圖，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，那么EF＝________.答案：6解析：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形．∴EF＝AD＝6.課堂篇·重點難點研習(xí)突破研習(xí)1直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用[典例1](鏈接教材第155頁練習(xí)3題)如下圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1.[證明]由于四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又由于CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.由于A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又由于MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.[巧歸納]證明線線平行的方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行根本領(lǐng)實：證兩線同時平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．[練習(xí)1]如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.證明：由于AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.由于AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.由于MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又由于MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.研習(xí)2空間中的距離問題[典例2](鏈接教材第154頁例5、例6)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝12，AB＝5.(1)求點B1到平面A1BCD1的距離；(2)求B1C1到平面A1BCD1的距離．[解](1)如圖，過點B1作B1E⊥A1B于點E.由題意知BC⊥平面A1ABB1，且B1E?平面A1ABB1，∴BC⊥B1E.∵BC∩A1B＝B，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴線段B1E的長即為所求．在Rt△A1B1B中，B1E＝eq\f(A1B1·BB1,A1B)＝eq\f(5×12,\r(52＋122))＝eq\f(60,13)，∴點B1到平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).(2)∵B1C1∥BC，且B1C1?平面A1BCD1，BC?平面A1BCD1，∴B1C1∥平面A1BCD1.∴點B1到平面A1BCD1的距離即為所求，∴直線B1C1到平面A1BCD1的距離為eq\f(60,13).[巧歸納]空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點到平面的距離；(2)利用中點轉(zhuǎn)化：假如條件中具有中點條件，將一個點到平面的距離，借助中點(等分點)，轉(zhuǎn)化為另一點到平面的距離．[練習(xí)2]P為△ABC所在平面外一點，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝PB＝PC＝a，求點P到平面ABC的距離．解：過P作PO⊥平面ABC于點O，連接AO，BO，CO，那么PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.由于PA＝PB＝PC＝a，且PA，PB，PC兩兩垂直，所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，所以O(shè)A＝OB＝OC，所以O(shè)為△ABC的外心．所以AB＝BC＝CA＝eq\r(2)a，所以△ABC為正三角形，所以O(shè)A＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\f(\r(6),3)a，所以PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\f(\r(3),3)a.故點P到平面ABC的距離為eq\f(\r(3),3)a.研習(xí)3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例3]斜邊為AB的直角三角形ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖．(1)求證：EF⊥PB；(2)假設(shè)直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.[證明](1)由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.又由于△ABC為直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.又由于AF?平面PAC，所以BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.又PB?平面PBC，所以AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF?平面AEF，所以EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，所以PB∥l.[巧歸納]線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀看圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面；(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時肯定要表達(dá)出來．[練習(xí)3]如下圖，AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求證：AC⊥平面BCE；(2)求證：AD⊥AE.證明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝2eq\r(2)，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.由于AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE?平面BCE，BCC平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.(2)由于AF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF?平面ABEF，AB?平面ABEF，AF∩AB－A，所以AD⊥平面ABEF.又AE?平面ABEF，所以AD⊥AE.課后篇·根底達(dá)標(biāo)延長閱讀1．假設(shè)直線a⊥直線b，且a⊥平面α，那么()A．b⊥α B．b?αC．b∥α D．b∥α或b?α答案：D解析：當(dāng)b?α?xí)r，a⊥α，那么a⊥b；當(dāng)b∥α?xí)r，a⊥α，那么a⊥b；當(dāng)b與α相交時，a⊥α，那么a與b不垂直．由于直線a⊥b，且a⊥α，所以b∥α或b?α，應(yīng)選D.2．如圖，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，那么CE＝()A．0 B．3C.eq\r(5) D.eq\r(13)答案：D解析：由于四邊形ADEF為平行四邊形，所以AF∥DE且AF＝DE.由于AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.由于AF＝2，所以DECD＝3，所以CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\