三角函數(shù)（理科）（高考真題+模擬新題）

C三角函數(shù)

Cl角的概念及任意角的三角函數(shù)

9.B9、Cl[2012?湖北卷]函數(shù)＜x)=xcosf在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5

C.6D.7

9.C[解析]令j(x)=0,得x=0或co&r2=0,由x￡[0，4],得%2￡[0,16].因?yàn)?/p>

cos住+=0(4￡Z),故方程cosx2=0中f的解只能取f=多孝，:，-y,C[0,16].

所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選C.

C2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

7.C2［2012,遼寧卷］已知sina—cosa=g,aG(0,兀)，貝！Jtana=()

7.A［解析］本小題主要考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用.解題的突破口為靈活應(yīng)

用同角三角函數(shù)基本關(guān)系.

二、/?、2一一一.一、?1、sinacosa

?「sina-cosct=,\/2=>(sina-coscti=2=>1-2sinacosa=2=>sinacosa=-彳0---------

v/2sina+cosa

1.tana1、.,

一鏟菽17=U=tana=7.

故答案選A.

17.C2、C5、C6［2012?福建卷］某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值

都等于同一個(gè)常數(shù)：

(l)sin213°+cos2170-sinl30cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sinl50cos15°；

(3)sin218°+cos2120-sinl80cos120；

22

(4)sin(-18°)+cos480-sin(-18°)cos48°;

(5)sin2(-250)+cos2550-sin(-250)cos55°.

(1)請(qǐng)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

17.解：解法一：

(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：

113

sin215°+cos215°-sinl50cosl50=1一尹口30。=1-1=1

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sinacos(30。-a)=^.

證明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

=sin2a+(cos30°cosa+sin30°sincc)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

.232.1.2.1.2

=sina+^cosa+/sinacosa+^sin-a-亍sinacosa-^sirTa

3.33

=［sir2Ta+^cos2Q=不

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sin6tcos(30°-a)=不

證明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2a1+cos(60°-2a)

=-----2-----+-----------2-----------sin?(cos30°cosa+sin30°sina)

=g-；cos2a+g+^(cos60Ocos2?+sin60°sin2a)-坐sinacosa-；sin%

11…通^f11>、

=2~2COS2?+2+^cos2a+-^~sm2a-才ms2a-^(1-cos2a)

11c11.3

=1-^cosza-a+［cos2a=

18.C5>C2>C3［2012,重慶卷］設(shè)<x)=4cos(5—2)sincox—cos(2①x+兀)，其中co>0.

(1)求函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)若<x)在區(qū)間［一華，,上為增函數(shù)，求①的最大值.

18.解：(1)/(x)=4(坐COSGX+gsiruujsinGX+cos2tox

=2y［3sincoxcoscox+2sin2o)x+cos2tox-sin%x

=小sin2s+1.

因TWsin2sWl,所以函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)榭?小，1+?。?

(2)因y=siwc在每個(gè)閉區(qū)間，兀-3，2桁+方］("￡Z)上為增函數(shù)，故,危)=小5由2①x+

1(3>0)在每個(gè)閉區(qū)間得-瓢金卷卜￡Z)上為增函數(shù).

依題意知［晉，*［務(wù)*？舁焉］對(duì)某個(gè)aez成立，此時(shí)必有k=o,于是

匕畸’

解得3W\,故0的最大值為:

OO

C3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

16.C3、C5［2012?廣東卷］已知函數(shù)/(x)=2cos(s+1)(其中0>0,xCR)的最小正周期

為107t.

(1)求。的值；

(2)設(shè)a,蚱［。，.(5a+豺=一4一豺=居，求cos(a+夕)的值.

16.解：(1)由笄=10兀得①==

(2)----f=.+EH)

=2cos(a+5=-2sina,

招=乂5￡-韻=

2cos(I盼-豺+亳)2cos戒,

??.sinaj,c。心哈

,c71

-a,夕￡[0,2

4

/?cosa=v1-sin2

59

15

17,

cos(a+份=cosacos。-sinctsin^=^X-^--總

15.C3、K3［2012?湖南卷］函數(shù)人x)=sin(ox+3)的導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的部分圖象如圖1

—5所示，其中，尸為圖象與y軸的交點(diǎn)，4,。為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，8為圖象的最低

點(diǎn).

(1)若。=會(huì)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(o,則①=；

(2)若在曲線段4BC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在△/8C內(nèi)的概率為

圖1—5

15.(1)3⑵;［解析］考查三角函數(shù)7(x)=sin?x+3)的圖象與解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和

幾何概型，在陳題上有了不少的創(chuàng)新.作為填空題，第二問(wèn)可在第一問(wèn)的特殊情況下求解.

⑴函數(shù)7(x)=sin(3+9)求導(dǎo)得，/(x)=GCOS(3r+p),把限事和點(diǎn)(0,代入得

①cos(0+*)=解得co=3.

(2)取特殊情況，在(1)的條件下，導(dǎo)函數(shù)/(X)=3COS(3Y)，求得府0)，

8儒一3)，《魯，0)，故△48c的面積為SA"C=3X咨X3=，，曲線段與x軸所圍

成的區(qū)域的面積5=-/X)|鬻=一sin修+1)+$m傳+§=2,所以該點(diǎn)在△46C內(nèi)的

概率為尸=乎寸

15.C一3、C4、C5[2012?“北京卷，]二已r知皿函數(shù)(-s-in-x-—--cosx2)-si-n-2-x.

(1)求兀v)的定義域及最小正周期;

(2)求應(yīng)x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

15.解：(1)由sinx#0得x關(guān)E(A￡Z),

故負(fù)x)的定義域?yàn)閧x￡R|x￥?,kEZ}.

(sinx-cosx)sin2x

因?yàn)橥?

sinx

=2cosx(sinx-co&x)

=sin2x-cos2x-1

=6sin(2x--1,

所以於)的最小正周期r=y=7r.

ITjr

(2)函數(shù)y=siiu?的單調(diào)遞增區(qū)間為Ikn-y2kn+3(kEZ).

由2kn-兀+看xWk7i(k€Z),

得而一方WxWE+多,xWE伏￡Z).

所以外)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1，E)和(E,E+U(攵EZ).

17.F3、C3[2012?山東卷]已知向量/n=(sinx,l),〃=(、/§4cosx,條os2x)(/l>0),函數(shù)

j[x}=m-n的最大值為6.

⑴求4

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移自個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)

的拊，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)尸蛉)的圖象，求四)在[o,用上的值域.

17.解：="〃

=陋Zsiarcosx+ycos2x

/亞.c1C1

=亍isn2x+,cos2xJ

sin(2x+$.

=A

因?yàn)?>0,由題意知，4=6.

(2)由(1次x)=6sin(2x+§.

將函數(shù)y=/(x)的圖象向左平移自個(gè)單位后得到

y=6sin^2(x+自+*]=6sin(2x+；)的圖象；

再將得到圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的;倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=6sin(4x+§的圖

象.

6sin(4x+1).

因此，g(x)

因?yàn)椴烹姡?/p>

所以敘+3信,用.

故g(x)在[。，用上的值域?yàn)閇-3,6].

16.C3、C4[2012?陜西卷]函數(shù)兀r)=/sin(tvx一2+1(4>0,。>0)的最大值為3,其圖

像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，

(1)求函數(shù)/x)的解析式：

(2)設(shè)間0,習(xí)，冏=2,求a的值.

16.解：⑴,函數(shù)/(x)的最大值為3,.??，+1=3,即/=2,

???函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為全7T

???最小正周期7=71,

7T

:?①=2,故函數(shù)於)的解析式為y=2sin2x-5+1.

(2),?避)=2sin(a1=2,

即（點(diǎn)1

sina-r

八兀兀兀兀

于?一薩一管

71*故a=g.

,，a"6

2co&r

3.C3、N2［2012?上海卷］函數(shù)")=的值域是

sinr-1

53-

［解析］考查二階矩陣和三角函數(shù)的值域，以矩陣為載體，實(shí)為考查三角

3r2_

函數(shù)的值域，易錯(cuò)點(diǎn)是三角函數(shù)的化簡(jiǎn).

f（x）=-2-sinxcosx=-2-；sin2x,又TWsin2xWl,所以火x）=-2sin2x的值域?yàn)?/p>

531

X2-

18.C5、C2、C3［2012?重慶卷］設(shè)於)=4cos((

COX—COS(2C9X+n),其中co>0.

⑴求函數(shù)了=/)的值域；

V，5上為增函數(shù)，求①的最大值.

18.解：(1)f(x)=4(坐cos3r+；sins)sin①x+cos2cox

=2yj3sincDXCOSCox+2sin%x+cos2cox-sin2cox

=y［3sin2a)x+1.

因-l<sin2tt?Wl,所以函數(shù)y=兀。的值域?yàn)椋?-小,1+?。?

（2）因y=sinr在每個(gè)閉區(qū)間2%兀+，(％CZ)上為增函數(shù)，故/(x)=yf3sin2cox+

TT

1（3>0）在每個(gè)閉區(qū)間卷,等+而」（左SZ）上為增函數(shù).

依題意知［普，牛居一看，萼+看］對(duì)某個(gè)底Z成立，此時(shí)必有％=0,于是

「口〉_JL

2/4〃

兀）兀

解得故“的最大值為;.

OO

C4函數(shù)y=4sin（0x+0）的圖象與性質(zhì)

16.C3、C4［2012?陜西卷］函數(shù)火x）=/sin（yV）+l（4>0,。>0）的最大值為3,其圖

7T

像相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為不

（1）求函數(shù)/（X）的解析式；

（2）設(shè)ad（0,⑥，冏=2,求a的值.

16.解：（1）：函數(shù)々V）的最大值為3,.?/+1=3,即4=2,

；函數(shù)圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為全

???最小正周期T=7C,

jr

-'-co=2,故函數(shù)大工）的解析式為y=2sin2x-^+1.

(2)..*)=2sin(a-§+l=2,

7T7TI,兀

??a-釘不故〃=予

16.C4、C5、C6、C7[2012?安徽卷]設(shè)函數(shù)；(x)=^cos2x+：+sin2x.

(1)求/(X)的最小正周期；

p+571=g(x),且當(dāng)XG0,1It時(shí)，g(x)=g-y(x).求g(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意R,

在區(qū)間［一兀,0］上的解析式.

16.解：(iy(x)=sin2x

(G兀?。?兀)L1-cos2x

當(dāng)coslrco牙-sinzxsin^I+-2-

gsin2x.

2~

故」(x)的最小正周期為兀.

7t|

(2)當(dāng)x￡10,句時(shí)，g(x)=2-.Xx)

2

①當(dāng)一多。］時(shí),7T

x+舞[o.由于對(duì)任意xCR,=g(x),從而

蛉)=+十升|sin[2(x+=|sin(n+2x)=-；sin2x.

71

②當(dāng)［一兀，-：)時(shí)，X+TTE［O,從而

g(x)=g(x+兀)=pin[2(x+兀)]=pin2x.

綜合①②得g(x)在[-兀，0]上的解析式為

,x€F,-g,

g(x)兀

，x€r0.

(siar-cosx)sin2x

15.C3、C4、C5[2012?北京卷]已知t函數(shù)｛村=1--------：------------,

(1)求人x)的定義域及最小正周期;

(2)求4c)的單調(diào)遞增區(qū)間.

15.解：(1)由sinxWO得xW也/EZ),

故兀0的定義域?yàn)椋鹸￡R|xWht,keZ].

(sinx-cosjpsinZv

因?yàn)槲?=

sinx

=2cosx(sinx-COST)

=sin2x-cos2x-1

=gin(2x-§-1，

27r

所以火X)的最小正周期r=y=n.

JTTT

(2)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2%兀-5,2E+/(k￡Z).

由+x^k7i(k€Z),

得而一方WxWE+果,xWkn(kWZ).

所以外)的單調(diào)遞增區(qū)間為［e-率E)和(E,E+H%￡Z).

14.C4［2012?全國(guó)卷］當(dāng)函數(shù)y=siiu■一小cosx(0Wxv2兀)取得最大值時(shí)，x=.

57r

14.y［解析］本小題主要考查利用三角函數(shù)的兩角和與差公式變形求最值，解題的突

破口為化為振幅式并注意定義域.

函數(shù)可化為y=2sin(x-§,由x￡［0,2兀)得x-(苫，時(shí),即*=苗時(shí),

函數(shù)有最大值2,故填空57.r

17.C4、C6>C7>F3［2012?湖北卷］已知向量Q=(COSCOX—sincox,sincyx),b=(—coscox

一sinc9X,2，5cos①x).設(shè)函數(shù)y(x)=a?)+2(x￡R)的圖象關(guān)于直線工=兀對(duì)稱，其中①，2為常

數(shù)，且1)

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)若尸黃尤)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),0),求函數(shù)段)在區(qū)間［(),第上的取值范圍.

17.解：⑴因?yàn)閖［x)=sin%x-cos2s:+2y［3sincox'coscox+X

=-cos2cox+小sin2cox+A

=2sin(2①x-1+九

由直線工=兀是y=7(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin(2co兀一點(diǎn))=土1,

所以2①兀一卷=hr+親〃€Z),即①=3+；(左￡Z).

又1),%￡Z,所以％=1,故①=/.

所以.危)的最小正周期是引

(2)由歹=/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)仔，0),得周=0,

即/=-2sin^|x^-^=-2sin^=一也，即4=一也.

故/(x)=2sin(1x--也，

由00/，有-狂殺-狂蕓

所以一；《后(|^一看)4,得一1一啦W2sin|x-專一班W2~y［2.

故函數(shù)外堆［o,用上的取值范圍為［-1-碑，2-小］.

9.C4［2012?課標(biāo)全國(guó)卷］已知5>0,函數(shù)—)=sin(3x+2在俘兀)單調(diào)遞減，則口的

取值范圍是()

力=sin（x+J在&Tt）上是單調(diào)遞減

9.A［解析］因?yàn)楫?dāng)①=1時(shí)，函數(shù)f=sinCDX+~7

的，故排除B,C項(xiàng)；當(dāng)°=2時(shí)，函數(shù)y=sin（cox+；）=sin（2x+：）在你兀）上不是單調(diào)遞

減的，故排除D項(xiàng).故選A.

4.C4［2012?浙江卷］把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱

坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象是（）

J't

樂(lè)+1

殳2+%

費(fèi)77ct

5?.O^-if+K_z

圖i-i

4.A［解析］本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)圖象的平移問(wèn)題.考

查函數(shù)圖象變換方法和技巧.

把函數(shù)y=cos2x+l的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得函

數(shù)y=cos2（；x）+1=cosx+1的圖象；然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=cos（x+1）+1

的圖象；再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=cos（x+1）+1-1=cos（x+1）的圖象；結(jié)合各

選項(xiàng)中的圖象可知其圖象為選項(xiàng)A中的圖象，故應(yīng)選A.

C5兩角和與差的正弦、余弦、正切

5.C5、C7［2012?重慶卷］設(shè)tana,tan6是方程/-3工+2=0的兩根，則tan(a+0的值

為()

A.-3B.-1C.1D.3

5.A［解析］因?yàn)閠ana,tan或是方程--3x+2=0的兩根，所以tana+tan夕=3,tancrtan/?

“,八tana+tan￡3

=2,所以tan(a+￡)=^~;----=\一^=一3.

'1-tanatanp1-2

17.C8、C5［2012?課標(biāo)全國(guó)卷］以知mb,c分別為三個(gè)內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊，

4cosc+餡QsinC-6-c=0.

⑴求4

(2)若。=2,△45C的面積為小，求，c.

17.解：⑴由acosC+y/3asinC-/?-c=0及正弦定理得

sinJcosC+yfisinAsinC-sin^-sinC=0.

因?yàn)?=兀-/一。，所以

小siMsinC-cosZsinC-sinC=0.

由于sinCWO,所以sin(4-聿)=/

兀

又0<4<兀，故4=7

(2)△ABC的面積S=^hcsxnA=小,故be=4.

a2=b2+c2-2bccosA,故從+J=8.

解得b=c=2.

18.C5^C2>C3［2012?重慶卷］設(shè)/［x)=4cos(s-^sinezzr—COS(2COX+TI),其中9>0.

(1)求函數(shù)y=及丫)的值域；

(2)若於)在區(qū)間［一多，同上為增函數(shù)，求。的最大值.

18.解：(l)/(x)=4(坐cos/x+gsin①，sincox+cos2cox

=ly/isincoxcoscox+2sin%x+cos2(vx-sin2(vx

=y13sin2cox+1.

因-lWsin2s:Wl,所以函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)榭?小，1+小］.

(2)因y=sinx在每個(gè)閉區(qū)間24兀-，2E+，卜CZ)上為增函數(shù)，故於)=gsin2①x+

1(。＞0)在每個(gè)閉區(qū)間愕~+/卜￡Z)上為增函數(shù).

依題意知-苧,累［M比？A焉］對(duì)某個(gè)旌Z成立，此時(shí)必有k=0,于是

3兀71

兀一71

解得/A，故3的最大值為！

OO

16.C3、C5［2012?廣東卷］已知函數(shù)義x)=2cos((ox+§(其中。＞0,xGR)的最小正周期

為IOTI.

(1)求0)的值；

(2)設(shè)a,4J。，卷.45儀+翻=一,,乂54一|兀)=的,求cos(a+￡)的值.

16.解：(1)由務(wù)=10兀得①=g.

-5=X5ft*米卜2cos45a+|兀)+聿)

(a+3)=-2sina,

2cos

與《5日-豺=

45”豺+(|

2cosI=2cos￡,

???sina《cosS*.

n

,:a,夕￡0,2

4

?'?cosa=A/1-sin2

sin夕=41-cos2.=

13

.,.cos(a+4)=cosacos夕一sinasinfi=X=

85-

8.F2、C5［2012?安徽卷］在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),尸(6,8),將向量分繞點(diǎn)O

按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)3詈7r后得向量。―。＞，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是()

A.(—7^/2,—也)B.(—7吸，y/2)

C.(—4y［6f—2)D.(—4乖,2)

8.A［解析］本題考查三角函數(shù)的和角公式，點(diǎn)的坐標(biāo).

-34

設(shè)NPOr=a,因?yàn)槭?6,8),所以=(lOcosa,10sina)=>cosa=^,sina=g,

則詼=(10cos(6+引，lOcos?+引)=(-7啦，-啦).故答案為A.

16.C4、C5、C6、C7[2012?安徽卷]設(shè)函數(shù)./(x^^cosZx+j+siiA.

(1)求火X)的最小正周期；

、x+1)=g(x),且當(dāng)e［o,，時(shí)，8(*)=尹次分求g(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意R,X

在區(qū)間［一兀，0］匕的解析式.

16.解：(iy(x)=sin%

=^^cos2xco寸-sin2xsin^+1-cos2x

-2一

11._

=2~2sm2x.

故兀0的最小正周期為兀

兀-]j

⑵當(dāng)x￡[0,句71時(shí)，g(x)=2-Ax)=

。］時(shí)，x+界［o，H.由于對(duì)任意x€R,

①當(dāng)x+l=g(x),從而

g(x)=g(x+9=|sin|^2(x+9]=|sin(n+2x)

②當(dāng)^《［-兀，一方)時(shí)，X+TIE［O71

,從而

g(x)=g(x+it)=gsin[2(x+兀)]=；sin2x.

綜合①②得g(X)在[-7t,0]上的解析式為

5

0.

15.C3、C4、C5[20I2?北京卷]已知函數(shù)段戶回竺林產(chǎn).

(1)求兀V)的定義域及最小正周期；

(2)求大刈的單調(diào)遞增區(qū)間.

15.解：(1)由sinxWO得xWE/EZ),

故")的定義域?yàn)椤ā闦}.

?、，(sinx-cosx)sin2r

因?yàn)殪?=-----：--------

八,sinx

=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x-cos2x-1

=近sin(2x-1,

所以小)的最小正周期r=y=n.

TTTT

(2)函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2E-],2E+](kCZ).

717r7T

由2〃兀-/<2x--^2kn+2，x^kjt(k￡Z),

TT37r

得QI-RWXWE+W",x^lat(k€Z).

所以外)的單調(diào)遞增區(qū)間為[E-1，E)和(e,E+用(衣Z).

17.C2、C5、C6[2012?福建卷]某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值

都等于同一個(gè)常數(shù)：

(1)sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos215°—sin15°cos15°；

(3)sin218°+cos212°—sin18°cos12°；

(4)sin2(—IS^+cos^S0—sin(—18°)cos480；

(5)sin2(-25°)+cos2550-sin(-25°)cos550.

(1)請(qǐng)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

17.解：解法一：

(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：

,,113

sin2150+cos*15°-sinl5°cosl5°=1-2sin30°=1-

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=彳.

證明如下：

sin2a+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

=sin%+(cos30°cosa+sin30°sinct)2-sinot(cos30°costz+sin30°sina)

.232總1-2&1-2

=sin-a+^cos-a+-^-sinacosa+^sina-sin6tcostt_5sma

3.33

=TSin2a+^cos2a=7

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=7

證明如下：

sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2?1+cos(60°-2a)

=-----------+-----------2------------sin?(cos300cos6t+sin30°sina)

=；一^cos2c(+；+^(cos60°cos2a+sin60°sin2a)-乎sinacosa-；sin2a

=g-^cos2a+2+[COS2Q+乎sin2a-乎sin2a-^(1-cos2a)

11-11c3

=1-^cos2?-^+卒。$2a=7

C6二倍角公式

11.C6［2012■江蘇卷］設(shè)a為銳角，若cos(a+5)=之，則sin(2a+：y的值為.

11.曙［解析］本題考查三角函數(shù)求值問(wèn)題?解題突破口為尋找已知角和所求角之間

的整體關(guān)系.

由條件得sin(a+聿)=|\從而sin2(a+圳=|^,co42(a+川=2X^1_］=套

從而sin(2a+.=sin(2a+.用耆落會(huì)凈曙.

7.C6［2012?全國(guó)卷］已知a為第二象限角，sina+cosa=^-,則cos2a=()

A.一坐B.邛C坐D坐

7.A［解析］本小題主要考查三角函數(shù)中和角公式與二倍角公式的運(yùn)用，解題的突破

口為原式兩邊平方后轉(zhuǎn)化為二倍角結(jié)構(gòu)及任何情況下均要考慮"符號(hào)看象限”.

由sina+cosa=坐及a為第二象限角有2左兀++竽(左￡Z),.**Akit+n<2a<4lat+

爭(zhēng)(左￡Z).原式兩邊平方得2sinacosa=sin2a=一/「.cosZa=-亭，故選A.

16.C4、C5、C6、C7［2012?安徽卷］設(shè)函數(shù)/(%)=半(：052%+；+5言工

(1)求加)的最小正周期；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x￡R,有8(工+3=80且當(dāng)，時(shí)，g(x)=g—/(x).求g(x)

在區(qū)間[一兀，0]上的解析式.

16.解：(1阿=乎ocs(2x+3+sin2x

啦，-n.?.哈1-cos2x

="^1cos2xcos^-smZxsin^I+-------

11._

=2-5sm2x.

故兀0的最小正周期為兀

(2)當(dāng)x￡0,T時(shí)，g(x)=2~AX)=1sin2x,故

①當(dāng)x￡-/0時(shí)，x+5￡0,m.由于對(duì)任意x￡R,=g(x),從而

g(x)=g(x+2J=2sin2(x+m=/sin(兀+2x)

兀、，一「八九、“一

②當(dāng)x￡-兀,王時(shí)，x+7t€0,辦從而

g(x)=g(x+n)=]sin[2(x+it)]

綜合①②得g(x)在［-7t,0］上的解析式為

17.C2、C5、C6［2012?福建卷］某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值

都等于同一個(gè)常數(shù)：

(l)sin213°+cos217°—sin13°cos17°；

(2)sin215°+cos2150-sinl5°cos150；

(3)sin218°+cos2120-sinl80cos12°；

(4)sin2(—18°)+cos248°—sin(—18°)cos480；

(5)sin2(-25°)+COS2550-sin(-25°)cos550.

(1)請(qǐng)從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.

17.解：解法一：

(1)選擇(2)式，計(jì)算如下：

11Q

sin215°+cos2150-sinl50cosl5°=1-尹n30°=1-7=40

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=7.

證明如下：

sin2a+COS2(30°-a)-sinacos(30°-a)

=sin%+(cos30°cosa+sin30°sina)2-sina(cos30°cosa+sin300sina)

.232亞.1.2.「2

=sm~a+4cosa+sinttcos6c+4sin-a-亍sinacosa-2sma

3.33

=[sin2a+[cos2a=不

解法二：

(1)同解法一.

3

(2)三角恒等式為sin%+COS2(300-a)-sinacos(30°-a)=

證明如下：

sin2a+COS2(30°-a)-sinacos(30°-a)

1-cos2a1+cos(60°-2a)

=-----2-----+-----------2------------sina(cos30°cos?+sin30°sina)

=1?一；cos2a+；+^(cos60°cos2a+sin60°sin2a)-坐sinacosa-gsin2a

=；一^cos2a+g+/os2a+乎sin2a-乎sin2a-^(1-cos2a)

11c11c3

=1-^cos2tt-“[cos2a=7

17.C4^C6、C7>F3[2012?湖北卷]已知向量Q=(cosazr—sins,sincox),b=(—coscox

一sina*,2，5cos①x).設(shè)函數(shù)./(x)=05+/(x￡R)的圖象關(guān)于直線工=兀對(duì)稱，其中①，2為常

數(shù)，且1).

(1)求函數(shù)/(X)的最小正周期；

(2)若尸外)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)件0),求函數(shù)4x)在區(qū)間[。，第上的取值范圍.

17.解：⑴因?yàn)殪?=sin%x-cos2rox+2小sinazreos①x+A

=-cos2Gx+小sin2①x+A

=2sin(2cwx-§+A.

由直線工=兀是y=段)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin(2co兀一§=土1,

所以2①兀一季=而+y(Ar€Z),即/=4+g(攵￡Z).

又口￡(；,1),kWZ,所以攵=1,故①二看.

所以.危)的最小正周期是期

(2)由歹=段)的圖象過(guò)點(diǎn)住0),得局=0,

即2=-2sin^|x^-^=-2sin^=~y[2,即4=-巾.

故/(X)=2sin(|x--巾,

由04喏有W號(hào)-狂祟

所以一吳sin(|x-§Wl,得一1一6W2sin?x-看一啦W2-y/2.

故函數(shù)/(x)在[0,用上的取值范圍為[-1-也，2-^2].

--iaEZ

7.C6[2012?山東卷]若，e小?,sin2Q=爺，則sin(9=()

A.|B.|C,乎D.1

7.D［解析］本題考查三角函數(shù)的二倍角公式，考查運(yùn)算求解能力，中檔題.

法一：:伙p?>sin2（9=邛

_一乙」o

7.cos2e2sin之仇解之得

sin。，

?3F

2sin6cos。=3

法二：聯(lián)立，8解之得sin”不

.sin%+cos20=1,

C7三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)與證明

6.C7［2012?湖南卷］函數(shù)<x）=sinx—cosQ+3的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.［-2,2］B.［-^3,?。?/p>

C.［-1,1］D.一拳叫

6.B［解析］考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，三角公式的識(shí)記.

函數(shù)fix）=sinx-cos（x+方=^sinx-坐cosx=d5sinQ-g,所以函數(shù)j［x}=sinx-

cos（x+§的值域?yàn)椋?小，?。?故選B.

16.C4、C5、C6、C7［2012?安徽卷］設(shè)函數(shù)於）=芋8§2工+：+5由2元

(1)求人x)的最小正周期；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x￡R,有g(shù)Q+m=g(x)，且當(dāng)0，2時(shí)，g(x)=1—/(%).求g(x)

在區(qū)間[―兀，0]上的解析式.

16.解：(1&)=乎8$(2%+習(xí)+$出2、

C71.c.璃1-cos2x

="yicosZrcos4—sinzxsinT/+-----------

11.八

=2-]sin2x.

故兀v）的最小正周期為兀

（2）當(dāng)0,5時(shí)，g（x）=1sin2x,故

①當(dāng)［-。］時(shí),X+.E［O,知.由于對(duì)任意X￡R,

g(x),從而

%)=(+*!sin[2^x+圳=|sin(K+2x)=-1sin2x.

②當(dāng)［-兀，一方）時(shí)，工+兀（°，從而

g（x）=g（x+兀）=^sin［2（x+兀）］=；sin2x.

綜合①②得即）在［-兀，0］上的解析式為

17.C4>C6>C7>F3［2012?湖北卷］已知向量a=(cos5—sincux,sins'),b=(—coscox

-sin①x,2小COSGX).設(shè)函數(shù)/(x)=。協(xié)+%(x￡R)的圖象關(guān)于直線X=TT對(duì)稱，其中①，2為常

數(shù)，且/eg,1)

(1)求函數(shù)大X)的最小正周期；

(2)若y=/(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)仔，0),求函數(shù).危)在區(qū)間［o,用上的取值范圍.

17.解：⑴因?yàn)閖(x)=sin2cox-cos2cox+2y3sincox-coswx+A

=-cos2wx+小sin2ttzr+A

=2sin(2①x-

由直線x=兀是y=段)圖象的一條對(duì)稱軸，可得sin(2c°7i-聿)=±1,

所以2口兀一聿=反+梟€Z),即3=g+g(&￡Z).

又口￡(；,1),ZCZ,所以左=1,故幻=看

所以大、)的最小正周期是稟.

(2)由尸危)的圖象過(guò)點(diǎn)與0),得尼)=0，

即丸=-2sin(^X^-^=-2sin^=-巾,即2=-y［2.

故")=25桁(發(fā)一胃」也，

由OWx泮,有一狂2亞半，

所以-gwsin儕-§W1,得T-&W2sin|x-^-gW2-6.

故函數(shù)<x)在［。，用上的取值范圍為［T-小，2-^2］.

4.C7［2012?江西卷］若tan6+」=4,貝Usin29=()

rant/

A./B.(C.；D.；

4.D［解析］考查同角三角函數(shù)的關(guān)系、二倍角公式，以及力”的代換及弦切互化等方

法.解題的突破口是通過(guò)'”的代換，將整式轉(zhuǎn)化為齊次分式，再通過(guò)同除以cos。達(dá)到化切

,,八1tan%+1.-八八.八八2sin9cos。2tan。21口

目的.?「tan。+-_7=-;_7-=4,sm29=2sin9cos。=".”-----~-=：=不故

tan。tan。sin0+cosT。-=-t~an0+142人

選D.

5.C5、C7［2012?重慶卷］設(shè)tana,tan/?是方程f-3工+2=0的兩根，則tan(a+.)的值

為()

A.-3B.-1C.1D.3

5.A［解析］因?yàn)閠ana,tan^是方程f_3x+2=0的兩根，所以tana+tan夕=3,tancc-tan/?

-八tana+tan/J3

=2,所以tan(a+份=~;---;-7=-―-=-3.

'1-tanatanp1-2

C8解三角形

3

13.C8［2012?重慶卷］設(shè)△ZBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為人b、c,且coJ=§,

cos5=V，6=3,則c=.

143s4I?

13.-［解析］因?yàn)閏os4=g,cosB=yp所以sirt4=5，sinB=因?yàn)閟inC=sin［180。

-(A+8)］=sin(J+8)=sinJcos8+cos/sin8=,X*+,xj^=||,由正弦定理知公^=/斤

艮嗑迷,解得C亭

6513

4.C8［2012?四川卷］如圖1―1所示，正方形/8CD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)8/至E,使ZE

=1,連結(jié)EC、ED,則sin/CED=(

嫗遮

210010

4.B［解析］法一：由已知，NCED=/BED-4BEC=A5。-4BEC,

而結(jié)合圖形可知tanZ5EC=p

??.tanNCEO=tan(45°-A.BEC)

di

-''smZ.CED

法二：由已知，利用勾股定理可得。E=g,CE=4又CD=1,

利用余弦定理得：cosZCED=x-^5=

?'.sinZC￡P(guān)=

法三：同法二，得DE=j,CE=&又CZ)=1,

=^CDAD=^,

有S&CED

=|c￡￡Z)sinNCED=乎sinNCED,

又S&CED

對(duì)比得sinNCED=