高等代數(shù)二次型

第五講二次型一、二次型的概念及標準形1二次型的概念及幾種表述數(shù)域F上的n元二次齊次函數(shù)稱為數(shù)域F上的n元二次型。有以下幾種表述方式：f(x,x,1 2

n

axx ；iji ji1j1f(x,x,

,x)a

x2a

x2

a x22 axx；1 2

1

222

nnn

iji jf(x,x,1 2

xXTAX，其中XT(xxn 1

, ,xn

)，A(aij

)nn

，且ATA，并稱A為二次型的矩陣。2、矩陣合同ABFnn假設存在可逆矩陣TFnnBTTATA與B是合同的。合同是矩陣間的一種等價關系。二次型經(jīng)過非退化的線性替換仍變?yōu)槎涡停依隙涡偷木仃囀呛贤摹?標準形二次型f(xx,1 2

,x)dn 1

x2d1

x22

dx2稱為標準形。nn任何二次型都可以通過非退化線性替換化成標準形。任何對稱矩陣都合同于一個對角陣。4復數(shù)域上二次型的標準形復二次型f(xx,1 2

,,x)dx2dx2n 11 22dx2dnn i任何復二次型f(xx,1 2

x)XTAX都可以通過非退化線性替換化成標準n形f(xx,

,x)y2y2

y2，其中r秩A，且標準形是唯一的。1 2 n 1 2

rE

r秩A任何復對稱矩陣A都合同于對角陣

，其中 。0 0兩個復對稱矩陣合同的充要條件是秩相等。5實數(shù)域上二次型的標準形實二次型f(xx,1 2

,,x)dx2dx2n 11 22dx2，其中dnn i任何實二次型f(xx,1 2

x)XTAX都可以通過非退化線性替換化成標準n形f(x,x, ,x)y2y2

y2y2 y2r秩A，p是正1 2 n 1 2

p p1 r慣性指數(shù)，且標準形是唯一的。和負平方項的個數(shù)是唯一確定的，在實二次型的標準形,x)by,x)by2by2n 11 2 2by2cy2 p p 1 p1cy2q pq1 2(b0,ci j

0,i1,2, ,p;j1,2, q)中，p稱為正慣性指數(shù)，q稱為負慣性指數(shù)，pq稱為符號差，且pq秩A。二、 正交陣、實對稱陣的正交化標準形1正交陣ARnn假設ATAE則稱A。A(aij

)nn

Rnn，A是正交陣aai1 j1

aa i2 j2

1,ij,；aaaain jn0,ij.A是正交陣aa

aa 2i 2j

1,ij,；aaaani nj0,ij.A是正交陣ATA1。A是正交陣，則1或1。AA的特征值的模為1；假設正交陣A有實特征值，則只能為1。 正交矩陣

A可以對角化，即存在復可逆矩陣T

1AT1

T，其nn。中,1

A的全部特征根，且n i

2施密特正交化方法：設,1 2

, ,n

(Rn)線性無關，正交化：令1

，1

(,)(k,(k,k1)( , ),(k2, ,n)；k k (,) 11 1

單位化：令k

1 (k1,2,,n,n)；k〔3〕A(,,1 2

,)A為正交矩陣。n3實對稱矩陣的標準形實對稱矩陣的特征值均為實數(shù)；屬于實對稱矩陣A的不同特征值的特征向量必正交；

1。A(Rnn)則存在正交矩陣T使得TTATT1AT 。 n任一實二次型f(xx,1 2

x)XTAX，其中ATARnn，則存在正交n,x)y2y,x)y2y2n 112 2y2，,,n n1 2是n1 2A的全部實特征值。三、正定二次型1正定二次型設實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAX，其中ATARnn，則以下條件都是正定二次型的等價條件：對任意實向量CT

(c,c1

, ,cn

)0，都有f(xx1 2

, ,xn

)CTAC0；d ,n,n)；

1，使TTAT

，其中didn

0，(i1,2,f的正慣性指數(shù)與秩都等于n；A的特征值全為正；AE；A0；A0。當實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAX是正定二次型時，稱A為正定陣，因此上面這此條件也是正定陣的等價條件。2負定二次型設實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAX，其中ATARnn，則以下條件都是負定二次型的等價條件：對任意實向量CT

(c,c1

, ,cn

)0，都有f(xx1 2

, ,xn

)CTAC0；,n)；,n)；存在實可逆陣T

1，使TTAT

，其中didn

0，(i1,2,f的負慣性指數(shù)與秩都等于n；A的特征值全為負；A合同于E；f(x,x1 2

, ,xn

)XT(AX是正定二次型；A0，A0；A0，A的一切偶數(shù)階挨次主子式都大于0。當實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAX是負定二次型時，稱A為負定陣，因此上面這此條件也是負定陣的等價條件。3半正定二次型設實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAX，其中ATARnn，則以下條件都是半正定二次型的等價條件：對任意實向量CT

(c,c1

, ,cn

，都有f(xx1 2

, ,xn

)CTAC0；,n)；,n)；存在實可逆陣T

1，使TTAT

，其中didn

0，(i1,2,f的正慣性指數(shù)與秩相等；A的特征值全非負；A的一切主子式都非負；BABTB。當實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAXA為半正定陣，因此上面這此條件也是半正定陣的等價條件。4、半負定二次型，類似半正定二次型可以表述。5、不定二次型〔1〕設實二次型f(xx1 2

, ,xn

)XTAXATARnn，假設存在兩個實