第二章231拋物線及其方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過程.3.p的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題.知識(shí)點(diǎn)一1EFAB固定在三角板C點(diǎn)，將三角板的另一條直角邊貼在直EFD處放置一支粉筆，上下拖動(dòng)三角板，粉筆會(huì)畫出一條曲線.這是一條什答案Fl(定點(diǎn)不在定直線上)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋Fl叫做拋物線的準(zhǔn)線.思考 拋物線的定義中，l能經(jīng)過點(diǎn)F嗎？為什么答案lFFl的一梳理從定義可以看出，拋物線不是雙曲線的一支，雙曲線有漸近線，而拋物線沒有.知識(shí)點(diǎn)二思考 答案p是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的方程中一次項(xiàng)決定開口方向思考 于答案(1)原點(diǎn)在拋物線上；(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；(3)p0的常數(shù)，其幾何意義表示焦的距離都等于思考 答案x(y)x軸(y軸)梳理 類型一＝例 (1)方程＝

2 2A. D.拋物 答案 2，解析(1)2，是以(2,0)為焦點(diǎn)，x＝－2y2＝8x.與感悟“Fl上”這個(gè)條件訓(xùn)練 若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到

M軌跡方程解由位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到

1 M

MF為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn))，y2＝2px(p>0)的形式， M類型二命題角度 例2 解(1)y2＝－6x

5

5 5)，準(zhǔn)線方程為y

1

1， 1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1.， 2p＝a，p＝2，2＝4 如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物 訓(xùn)練 (1)拋物線y＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x－3＝1的漸近線的距離是 33 3 3 答案 解析(1)y＝4xF(1,0)x3＝1y＝±3x，即 | 3＝. 命題角度 例 (2)Fxy＝－3 解(1)雙曲線方程可化為9左頂點(diǎn)為 2

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1y2＝±2x與感悟p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.p的值.訓(xùn)練3 距離等于5，求拋物線的方程和m的值，并寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.解y2＝－2px 得 66

或m＝－2y2＝－8x，m＝±26.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)x＝2.類型三拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用例 河上有一拋物線形拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5m時(shí)，水面寬為8m，一小船寬4m、m0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米解

2 涉及拱橋、隧道的問題，通常需建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用拋物線的標(biāo)4OAAB5m，且與OA4mO9mOA的長是多解5－5yA(－4，y0)在拋物線上，16＝－5y0y0＝－16，5所以O(shè)A的長為 —5OA1.8

1＝4x的準(zhǔn)線方程是 答案解析

1 線方程為 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn)P(m，－2)到焦點(diǎn)的距離為4，則m的值為( C.4或 D.12或答案解析由題可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0).由定義知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為

49

或

9或 答案

解析y2＝－2pxx2＝2py(p>0)， ＝4

9x或

2若橢圓3＋p2＝1(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y＝2px的準(zhǔn)線上，則p 答 解析由題意知，左焦點(diǎn)為 0)，則

∵a＝3，b＝4 ∴3＝44p＝y(tǒng)2＝－2px(p>0)M，其橫坐標(biāo)為－910，求拋物線M點(diǎn)的坐標(biāo). 解

M到準(zhǔn)線的距離為則 ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(－9,6)或

線方程為

＝－4點(diǎn)為 ， ＝－MFMF叫做拋物線的焦半徑.M(x0，y0)在拋物線

40分鐘作

答案

解析由拋物線的定義，可得

5 5 0x0＝1y2＝x0∴A的坐標(biāo)為已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 答案解析拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線方程為

1 答案 解析y＝2pxx＝－2過點(diǎn)F(0,3)，且和直線y＋3＝0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為( 答案解析F(0,3)y＝－3的距離，故動(dòng)圓圓心的Fy＝－3x2＝12y.設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是 答案解析P已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率 答案解析因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px的準(zhǔn)線方程為

2y2＝8x(2,0)3

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)C：y2＝42x的焦點(diǎn)，PC上一點(diǎn)，若|PF|＝423的面積為 32 2答案

解析Cx＝－2F(2，0)，由|PF|＝42PxP＝32yP＝±2 △POF＝2|OF|·|yP|＝2×2×26＝2 1答案解析y＝ax2可化為

1 1

拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo) 答案解析拋物線方程化為 1y，準(zhǔn)線為 1.由于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，所以M到準(zhǔn) 1 AF的斜率為－3，那么 答案解析AFy＝－x＝－2A(－2,4P(x0,43)y2＝8x，8x0＝48，∴x0＝6.34設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則點(diǎn)B到34解析

p1).得

p＝2

3 到準(zhǔn)線的距離為2＋4＝4＝4

此雙曲線交于點(diǎn)2，6，求拋物線和雙曲線的方程解， ， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為13 CFxA，BC動(dòng)點(diǎn)(ABx軸)，且|AF|＋|BF|＝8ABQ(6,0)