相似三角形幾何模型-一線三等角（鞏固篇）-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題27.34相似三角形幾何模型-一線三等角（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在邊CD上取一點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)P共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上的任一點(diǎn)，連接BE，過(guò)E作BE的垂線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交邊CD于點(diǎn)P，則圖中共有相似三角形（）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)3．如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，．聯(lián)結(jié)．那么下列結(jié)果錯(cuò)誤的是(

)A．與相似B．與相似C．與相似D．與相似4．如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AC相交于點(diǎn)F，圖中相似的三角形有（）對(duì)．A．3 B．4 C．5 D．65．如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在邊上，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 B． C． D．6．如圖，已知矩形中，點(diǎn)是邊上的任一點(diǎn)，連接，過(guò)作的垂線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則圖中共有相似三角形（

）A．6對(duì) B．5對(duì) C．4對(duì) D．3對(duì)7．如圖，是正方形的邊上一點(diǎn)，下列條件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（

）A．①② B．①②③C．①②③④ D．①②③④⑤8．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PE，若△PAE與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，已知矩形AOBC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．10．如圖，矩形ABCO，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=__________．12．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是________．13．如圖，將矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，再沿折疊，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)的點(diǎn)處，且、、在同一直線上，若，，則______，______．14．如圖，AB＝4，射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE＝DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，連接AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C，設(shè)BE＝x，BC＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_____．15．如圖，在邊長(zhǎng)為7的正方形ABCD中放入四個(gè)小正方形后形成一個(gè)中心對(duì)稱圖形，其中兩頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，則放入的四個(gè)小正方形的面積之和為___．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．17．如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交于點(diǎn)E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于點(diǎn)F，AD交PC于點(diǎn)G，則圖中相似三角形有_____對(duì)．18．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，把△ADE沿AE對(duì)折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F點(diǎn)處．已知折痕，且，那么該矩形的周長(zhǎng)為______cm．19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，點(diǎn)M是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)B、C重合），BM＝x，將△ABM沿著AM折疊，使點(diǎn)B落在射線MP上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，CE＝y(tǒng)，將△CME沿ME折疊，使點(diǎn)C也落在射線MP上的點(diǎn)C′處，當(dāng)y取最大值時(shí)，△C′ME的面積為_____．20．如圖，在中，已知，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）.連接，，邊與交于點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則之長(zhǎng)為_________.三、解答題21．如圖，，點(diǎn)P在上移動(dòng)，當(dāng)以P，C，D為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的長(zhǎng)．22．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長(zhǎng)．23．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，滿足，且點(diǎn)，分別在邊，上．求證：．24．如圖，已知，.（1）若，，，請(qǐng)問(wèn)在上是否存在點(diǎn)P，使以P，A，B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P，C，D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，，，請(qǐng)問(wèn)在上存在幾個(gè)點(diǎn)使以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P，C，D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？并求的長(zhǎng).25．如圖1，兩個(gè)全等的等邊三角形如圖放置，AC與DE交于點(diǎn)G，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BC與DF交于點(diǎn)K，連接GK.（1）寫出兩對(duì)相似（不含全等）三角形；（2）求證：；（3）若將條件中的兩個(gè)全等的等邊三角形改為兩個(gè)全等的等腰三角形（），如圖2，其余條件不變，直接判斷（1）（2）中的結(jié)論是否依然成立.

26．感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖1，點(diǎn)在直線上，且，像這種一條直線上的三個(gè)頂點(diǎn)含有三個(gè)相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角”模型．(1)如圖2，中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)．求證：；(2)如圖3，在中，是上一點(diǎn)，，，，，求點(diǎn)到邊的距離；(3)如圖4，在中，為邊上的一點(diǎn)，為邊上的一點(diǎn)．若，，，求的值．參考答案1．C【分析】如圖，以AB為直徑作⊙O交CD于點(diǎn)P1，P2，連接AP1，BP1，AP2，BP2．則△ADP1∽△△P1CB，，△ADP2∽△△P2CB，取CD的中點(diǎn)P3，連接AP3，BP3，則△ADP3∽△P3CB，由此可得結(jié)論．解：如圖，以AB為直徑作⊙O交CD于點(diǎn)P1，P2，連接AP1，BP1，AP2，BP2．∵AB為⊙O直徑，∴，∴，為矩形，，∴，∴，∴△ADP1∽△P1CB，同理△ADP2∽△P2CB，取CD的中點(diǎn)P3，連接AP3，BP3，則同理△ADP3∽△P3CB，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．2．A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到直角和平行線，利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理判斷即可．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠EDP=∠FCP=90°，∵∠EPD=∠FPC，∴△EDP∽△FCP；∵∠FEP=∠FCP=90°，∵∠F=∠F，∴△FEB∽△FCP；∴△FEB∽△EDP；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵∠BEF=90°，∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEP=∠ABE，∴△EDP∽△BAE；∴△FCP∽△BAE；∴△FEB∽△BAE；共有6對(duì)，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，互余原理，熟練掌握三角形相似的判定定理是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理逆定理可以判斷△AEF是直角三角形，再根據(jù)三角形相似的判定可以選出結(jié)果錯(cuò)誤的選項(xiàng)．解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則由已知可得：，∴，∴△AEF是直角三角形，∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，∠B=∠C=∠AEF=∠D，，∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF兩兩相似，但是△ABE與△ADF不相似，∴A、B、D正確，C錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查正方形與三角形相似的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和三角形相似的判定是解題關(guān)鍵．4．C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出△ABC∽△ADE，再證出∠BAD＝∠FAE，得出△ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，證出△AEF∽△DCF，得出△ABD∽△DCF；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得出△ADF∽△ACD．解：圖中的相似三角形有△ABC∽△ADE，△ABD∽△AEF，△AEF∽△DCF，△ABD∽△DCF，△ADF∽△ACD；理由如下：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，∴△ABC∽△ADE；∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△DCF；∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACD，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)矩形四個(gè)角都是直角，又，利用等角的余角相等，逐個(gè)判別可以得出結(jié)論.解：如圖：A.在中，∵四邊形是矩形，且∴，，且，A正確；B.在中，∵四邊形是矩形，且∴，，則∵，，則，B正確；C.在中由前面知：，又，,則,又∵，，C正確；D.在中已經(jīng)知道：，而AE并不是的角平分線，∴,,錯(cuò)誤.故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，相似三角形的證明，熟練掌握相似三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵.6．A【分析】根據(jù)的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠PCF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴圖中共有相似三角形有6對(duì)，故選A.【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】對(duì)于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判斷即可；對(duì)于③，先利用同角的余角相等轉(zhuǎn)化為①，即可進(jìn)行判斷，對(duì)于⑤，利用比例的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行判斷.解：∵∠B=∠C=90°，∴只要滿足或，均可判定△ABE∽△ECF，所以①②都正確；③中，當(dāng)時(shí)，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正確；④中對(duì)應(yīng)邊成比例，且夾角均為90°，∴△ABE∽△ECF，故④正確；⑤中，當(dāng)時(shí)，則，即，∴，∴，∴，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正確；綜上，故選D.【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、比例的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是判斷①②③④的關(guān)鍵，對(duì)于⑤，則需綜合運(yùn)用比例的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行判斷.8．C【分析】設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．解：設(shè)AP＝x，則BP＝8﹣x，當(dāng)△PAE∽△PBC時(shí)，，即，解得，，當(dāng)△PAE∽△CBP時(shí)，，即，解得，x＝2或6，可得：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解答時(shí)，注意分情況討論思想的靈活運(yùn)用．9．A【分析】作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，先通過(guò)角度等量代換證明，求出，再證明，求出，，則，，由此可解．解：如圖，作軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)G，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，1），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是3，∴，，，∵軸，軸，軸，∴，∵四邊形AOBC是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴．∵四邊形AOBC是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵點(diǎn)C在第二象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是．故選A．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等及相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計(jì)算求出、的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)．解：如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，故選A．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造、，利用相似的判定與性質(zhì)求出線段、的長(zhǎng)．11．2或8或5【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分別根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DP的長(zhǎng)度即可．解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，①當(dāng)△APD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：PD＝2或PD＝8；②當(dāng)△PAD∽△PBC時(shí)，可得，即，解得：DP＝5．綜上所述，DP的長(zhǎng)度是2或8或5．故答案為：2或8或5．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．12【分析】首先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DF=EF，設(shè)EF=xcm，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，從而得到AF、EF的長(zhǎng)，再證出△AEF和△BGE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BG、EG，然后根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解．解：由翻折的性質(zhì)得，DF=EF，設(shè)EF=xcm，則AF=(6?x)cm，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+(6?x)2=x2，解得，∴，，∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠BEG=∠AFE，又∵∠B=∠A=90°，∴△BGE∽△AEF，∴，即，∴BG=4cm，EG=5cm，∴△EBG的周長(zhǎng)=3+4+5=12(cm)．故答案為：12．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△AEF的各邊的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)求出△EBG各邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．13．

4

##2.5【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=EF，，利用勾股定理求出AC，進(jìn)而求出CF，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，解方程求出BE，進(jìn)而求出CE，再證，即有，則問(wèn)題得解．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)有BE=EF，，∵，，則設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)有∠B=∠AFE=90°,則有∠EFC=90°，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．故答案為：4，．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，證得進(jìn)而得到是解答本題的關(guān)鍵．14．y＝（0＜x≤2）【分析】作FH⊥BC于H．證明△DBE≌△EHF，則FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由求得自變量的范圍，根據(jù)FH∥AB，得＝，即可求解．解：作FH⊥BC于H．∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°，∴∠BDE＝∠FEH．在△DBE和△EHF中，，∴△DBE≌△EHF，BE＝DB，∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，,AB＝4，，即∵FH∥AB，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x≤2）．故答案為：y＝（0＜x≤2）．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)關(guān)系式，證明是解題的關(guān)鍵．15．22【分析】作GH⊥BC，證明△GHE∽△EMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=2EM，HE=2MN，根據(jù)正方形的性質(zhì)列方程求出MN，根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算，得到答案.解：如圖，作GH⊥BC，則∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,∴∠HGE=∠MEN，∵∠GHE=∠EMN=90°，∴△GHE∽△EMN，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∴，∴，∴四個(gè)小正方形的面積之和.故答案為：22.【點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、中心對(duì)稱圖形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16．【分析】通過(guò)證明△ABP∽△PCQ，可得，即可求解．解：如圖，∵BP＝5，BC＝4，∴CP＝1，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，∴∠BAP＝∠BPQ，又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴∴CQ＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形、矩形的性質(zhì)．根據(jù)題意找相似的條件是關(guān)鍵．利用相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)度是常用的方法．17．3【分析】先根據(jù)條件證明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，再證明△APD∽△PGD，進(jìn)而證明△APG∽△BFP再證明時(shí)注意圖形中隱含的相等的角．解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP．∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD．∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C∴∠APG＝∠BFP，∴△APG∽△BFP．則圖中相似三角形有3對(duì)，故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．18．72【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根據(jù)，設(shè)CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性質(zhì)求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，∵△ADE沿AE對(duì)折，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC，∵，∴設(shè)CE=3k，CF=4k，∴，∵∠BAF=∠EFC，且∠B=∠C=90°∴△ABF∽△FCE，∴，即，∴BF=6k，∴BC=BF+CF=10k=AD，∵AE2=AD2+DE2，∴500=100k2+25k2，∴k=2∴AB=CD=16cm，BC=AD=20cm，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=72cm故答案為72.【點(diǎn)撥】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．19．．【分析】由折疊的性質(zhì)得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，得出∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，得出∠BAM＝∠EMC，證出△ABM∽△MCE，得出，求出，當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，即CE＝，由三角形面積公式即可得出△C'ME的面積．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠AMB+∠BAM＝90°，由折疊的性質(zhì)得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，∵∠AMB'+∠AMB+∠EMC'+∠EMC＝180°，∴∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，∴∠BAM＝∠EMC，∴△ABM∽△MCE，∴∴，當(dāng)x＝時(shí)，即CE＝即BM＝，CM＝BC﹣BM＝時(shí)，y取最大值，即CE＝，此時(shí)△C'ME的面積＝△CME的面積，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．2或【分析】分別討論AP=PD、PD=AD、PA=AD三種情況，當(dāng)AP=PD時(shí)，可證明△APB≌△PDC，可得PC=AB，進(jìn)而可求出PB的長(zhǎng)；當(dāng)PD=AD時(shí)，可證明△APC∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出PC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得PB的長(zhǎng)；當(dāng)PA=AD時(shí)，P點(diǎn)與點(diǎn)B重合，不符合題意；綜上即可得答案.解：①當(dāng)AP=PD時(shí)，∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠B=∠APD，∴∠DPC=∠BAP，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠C，∠DPC=∠BAP，AP=PD，∴△APB≌△PDC，∴PC=AB=4，∴PB=BC-PC=2，②當(dāng)PD=AD時(shí)，∵AD=PD，∠APD=∠B，∴∠APD=∠PAD=∠B，∵∠PAD=∠B，∠C=∠C，∴△APC∽△BAC，∴，即，解得：PC=，∴PB=BC-PC=.③當(dāng)PA=AD時(shí)，P點(diǎn)與點(diǎn)B重合，不符合題意；綜上所述：PB的長(zhǎng)為2或.故答案為2或【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定定理及性質(zhì)并運(yùn)用分類思想是解題關(guān)鍵.21．當(dāng)BP為8.4或2或12時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似．【分析】設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，當(dāng)時(shí)，△ABP∽△CDP，即；當(dāng)時(shí)，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．解：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，∴∠B=∠D=90°，∴當(dāng)時(shí)，△ABP∽△CDP，即，解得；當(dāng)時(shí)，△ABP∽△PDC，即，整理得x2-14x+24=0，解得x1=2，x2=12，BP=14-2=12，BP=14-12=2，∴當(dāng)BP為8.4或2或12時(shí)，以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、A為頂點(diǎn)的三角形相似．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．22．（）見分析；（2）或．【分析】（1）根據(jù)題目已知條件可知，，所以得到，即可得證．（2）由題意易得是等腰直角三角形，所以，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，根據(jù)分類討論有三種情況：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因?yàn)辄c(diǎn)D不與重合，所以第一種情況不符合，其他兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”及，求出問(wèn)題即可．解：（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3①當(dāng)AD=AE時(shí)，則，點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與重合）,點(diǎn)E在AC上此情況不符合題意．②當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖，由（1）可知又 AB=DC=．③當(dāng)AE=DE時(shí)，如圖，平分,．綜上所述：或．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用“K”型相似模型及根據(jù)“等邊對(duì)等角”、等腰直角三角形的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，進(jìn)而求解問(wèn)題．23．見詳解．【分析】由等邊對(duì)等角得，由三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得到結(jié)論成立．證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定定理：兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似．24．（1）存在，，見分析；（2）存在2個(gè)點(diǎn)P點(diǎn)，或，見分析.【分析】（1）存在1個(gè)P點(diǎn)，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出即可；（2）存在兩個(gè)P點(diǎn)，設(shè)BP=x，根據(jù)∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當(dāng)或時(shí)，使以P、A、B三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以P、C、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，代入求出