2022高考數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)（人教B版）隨機(jī)變量的數(shù)字特征及正態(tài)分布

第8課時(shí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征及正態(tài)分布考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考第8課時(shí)雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn.(1)均值稱E(X)＝___________________為離散型隨機(jī)變量X的_____或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)，它刻畫了這個(gè)離散型隨機(jī)變量的_____________．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn均值平均取值水平(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn期望2．常見分布的均值、方差(1)若X服從二點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝___.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝____.(3)若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝_______.pqnpnpq思考感悟1．隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．3．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線在x軸的____，并且關(guān)于直線_____對(duì)稱．(2)曲線在_____時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸_____，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀．(3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ_____，曲線越“矮胖”；σ_____，曲線越“高瘦”．上方x＝μx＝μ降低越大越小思考感悟2．參數(shù)μ，σ在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么？提示：μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．課前熱身1．若隨機(jī)變量X的分布列如下，則X的數(shù)學(xué)期望是(

)X01PpqA.p

B．qC．1D．pq答案：B2．正態(tài)總體N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則(

)A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1＝P2D．不確定答案：C3．一名射手每次射擊中靶的概率為0.8，則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)X的期望值是(

)A．0.83B．0.8C．2.4D．3答案：C4．籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得1分，沒有命中得0分，已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，則他罰球2次(每次罰球結(jié)果互不影響)的得分的數(shù)學(xué)期望是________．答案：1.45．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3次，每次1件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝________.考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)一考點(diǎn)突破求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的方法步驟．(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．(5)由方差的定義求D(X)．例1(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(2)求p，q的值；(3)求數(shù)學(xué)期望Eξ.【規(guī)律方法】

離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差是三個(gè)緊密相連的有機(jī)統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起進(jìn)行考查．其解題的關(guān)鍵是求出分布列，然后直接套用公式即可．在解題過程中注意利用等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件或獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算概率．考點(diǎn)二均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(1)離散型隨機(jī)變量均值與方差的應(yīng)用問題，一般應(yīng)先分析題意，明確題目欲求的是均值還是方差，在此基礎(chǔ)上將題中考查的數(shù)量指標(biāo)用隨機(jī)變量表示，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量的均值與方差．(2)隨機(jī)變量均值的應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是正確地設(shè)出隨機(jī)變量，然后求出該隨機(jī)變量的所有可能的取值，在實(shí)際問題中要綜合考慮問題的各種情形．例2(1)求X1，X2的分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí)，求p的取值范圍．【思路分析】

(1)求分布列，應(yīng)先確定X2的取值，再求X2的取值對(duì)應(yīng)的概率；(2)由E(X1)<E(X2)，找出關(guān)于p的不等式，即可求出p的范圍．(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因?yàn)?<p<1，所以當(dāng)E(X1)<E(X2)時(shí)，p的取值范圍是0<p<0.3.【失誤探究】在求解X2的分布列時(shí)，往往因求不出X2的各個(gè)取值的概率而解不出本題，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是：沒有搞清X取0,1,2的概率就是X2取1.3萬元，1.25萬元，0.2萬元的概率．考點(diǎn)三正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1.例3設(shè)X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．【思路分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4)＋P(6＜X＜7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.【名師點(diǎn)評(píng)】

在利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí)，要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．互動(dòng)探究若其他條件不變，則P(X≥7)及P(5＜X＜6)應(yīng)如何求解？方法感悟方法技巧1．離散型隨機(jī)變量的均值(1)均值是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定，它描述X取值的平均狀態(tài)．(3)教材中給出的E(aX＋b)＝aE(X)＋b，說明隨機(jī)變量X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值等于隨機(jī)變量X均值的線性函數(shù)．失誤防范1．對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要先將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的概率分布，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的期望、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．2．在實(shí)際問題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí)，關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù)μ，σ求出，然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解．考向瞭望·把脈高考考情分析從近兩年的高考試題來看，離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn)，題型為填空題或解答題，屬中檔題．常與排列、組合、概率等知識(shí)綜合命題，既考查基本概念，又注重考查基本運(yùn)算能力和邏輯推理、理解能力．而正態(tài)分布在近兩年高考中，有些省份進(jìn)行了考查，其難度較低．預(yù)測(cè)2012年高考，離散型隨機(jī)變量的均值與方差仍然是高考的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)特別注意均值與方差的實(shí)際應(yīng)用．規(guī)范解答例(本題滿分12分)(2010年高考浙江卷)如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過管道自上而下落到A或B或C.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng)．(1)已知獲得1,2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量ξ為獲得k(k＝1,2,3)等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望Eξ；(2)若有3人次(投入1球?yàn)?人次)參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求P(η＝2)．名師預(yù)測(cè)1．道路交通安全法中將飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車的行為分成兩個(gè)檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)是駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量Q(簡(jiǎn)稱血酒含量，單位是毫克/100毫升)，當(dāng)20≤Q<80時(shí)，為酒后駕車；當(dāng)Q≥80時(shí)，為醉酒駕車．某市公安局交通管理部門在某路段的一次攔查行動(dòng)中，依法檢查了200輛機(jī)動(dòng)車駕駛員的血酒含量，其中查處酒后駕車的有6人，查處醉酒駕車的有2人，依據(jù)上述材料回答下列問題：(1)分別寫出違法駕車發(fā)生的頻率和醉酒駕車占違法駕車總數(shù)的百分?jǐn)?shù)；(2)從違法駕車的8人中抽取2人，求抽取到醉酒駕車人數(shù)的分布列和期望，并指出所求期望的實(shí)際意義；(3)飲酒后違法駕駛機(jī)動(dòng)車極易發(fā)生交通事故，假設(shè)酒后駕車和醉酒