【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

1第二課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式第四章三角函數(shù)1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：______________；（2）商數(shù)關(guān)系：__________.2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式記憶口訣________________________,意思是說角的三角函數(shù)值，2sin2α+cos2α=1奇變偶不變，符號(hào)看象限當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變_______，余弦變_______；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名____，然后α的三角函數(shù)值前面加上________________原三角函數(shù)值的符號(hào).3余弦正弦不變把α看作銳角時(shí)1.若α是第四象限角，且

則sinα=（

）

因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，?/p>

所以4B

5

2.化簡(jiǎn)

的結(jié)果為(

)

A.1

B.-1

C.tanα

D.-tanα

=1,故選A.A

3.化簡(jiǎn)的結(jié)果是(

)

A.cos10°

B.cos10°-sin10°

C.sin10°-cos10°D.±(cos10°-sin10°)

=|sin10°-cos10°|.因?yàn)閟in10°<sin80°=cos10°,所以

故選B.6B7

4.已知tanθ=-

,則

的值為

.

.5.已知若θ是第二象限角，則實(shí)數(shù)a=___.

由sin2θ+cos2θ=1，得即9a2-10a+1=0，解得a=1或.又因?yàn)棣仁堑诙笙藿?，所以a=.8

1.誘導(dǎo)公式

(1)sin(-930°)=①_________.

(2)已知tanθ=2，則②_____.

9-2

(3)若(π≤α<2π),則sin(-α-2π)=③_________.

(4)已知?jiǎng)t=④_________.10

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)若α是第二象限角，則化簡(jiǎn)tanα1sin2α-1的結(jié)果是⑤_______.

(2)已知cosα=67,α∈(0,π)，則tanα=⑥________.11-1

(3)已知sinαcosα=18,則cosα-sinα=⑦_(dá)_______.

(4)若tanθ=15，則sin2θ+sinθcosθ的值是⑧___________.12

題型1：誘導(dǎo)公式已知(1)化簡(jiǎn)f(α);(2)若α是第三象限角，且求f(α)的值;13

(1)f(α)

(2)由得又α是第三象限角，所以所以14

【評(píng)注】本題主要考查誘導(dǎo)公式.應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是“函數(shù)名稱”與“正負(fù)號(hào)”的正確判斷.求任意角的三角函數(shù)值的問題，都可以通過誘導(dǎo)公式化為銳角三角函數(shù)的求值問題.具體步驟為“負(fù)角化正角→正角化銳角→求值”.1516

設(shè)tan(α+

)=m,

則

=

.

由tan(α+

)=m，得tan(α+

)=m.17

故原式=

=

=

=

.題型2：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系已知關(guān)于x的方程的兩根為sinθ和cosθ，θ∈(0,2π).求：

(1)的值；

(2)m的值；

(3)方程的兩根及此時(shí)θ的值.

18依題意得所以，(1)原式

=sinθ+cosθ=

(2)m=2sinθcosθ

=(sinθ+cosθ)2-(sin2θ+cos2θ)=19

(3)因?yàn)樗栽匠痰膬筛謩e為所以2021

【評(píng)注】本題利用韋達(dá)定理得到可以簡(jiǎn)化計(jì)算.而在三角化簡(jiǎn)中，式子中既有正弦、余弦，又有正切，通常的處理方法是將正切利用商數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成正、余弦.22

已知α為第二象限的角，化簡(jiǎn)：

.

因?yàn)棣翞榈诙笙薜慕牵?/p>

所以sinα>0,cosα<0.

因?yàn)?3

=

=

,

所以

=

=sinα-cosα.24

題型3：化簡(jiǎn)、求值、證明已知-

<x<0,sinx+cosx=

.求sinx-cosx的值；

(1)由sinx+cosx=

,得(sinx+cosx)2=(

)2,所以2sinxcosx=-

.因?yàn)?sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=

,又-

<x<0,所以sinx<0，cosx>0,所以sinx-cosx=-

.

【評(píng)注】：在三角函數(shù)變換與求值中，已知sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα中的一個(gè)可利用方程的思想求出另外兩個(gè)的值.解題時(shí)，要特別注意開方后正負(fù)號(hào)的取舍，這要依據(jù)已知條件確定sinα與cosα的大小關(guān)系：25當(dāng)α的終邊落在直線y=x上時(shí)，sinα=cosα；當(dāng)α的終邊落在直線y=x的上半平面區(qū)域內(nèi)時(shí);sinα>cosα;當(dāng)α的終邊落在直線y=x的下半平面區(qū)域內(nèi)時(shí)，sinα<cosα(如圖所示).若sinα與cosα的大小關(guān)系不確定，則應(yīng)分類討論，考慮多解.2627

化簡(jiǎn):cos(

π+x)+cos(

π-x)(n∈N).

原式=cos(nπ+

+x)+cos(nπ-

-x).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

原式=-cos(

+x)-cos(-

-x)=-2cos(

+x)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

原式=cos(

+x)+cos(-

-x)=2cos(

+x).1.誘導(dǎo)公式起著變名、變號(hào)、變角等作用，在三角函數(shù)有關(guān)問題(特別是化簡(jiǎn)、求值和證明)中常使用.2.必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”.3.利用誘導(dǎo)公式解題時(shí)：(1)求任意角的三角函數(shù)值的一般程序：負(fù)(角)變正(角)→大(角)變小(角)→(一直)變到0°～90°之間(能查表).28(2)變角是有一定技巧的，如可寫成也可以寫成等.不同的表達(dá)方法決定著使用不同的誘導(dǎo)公式.(3)湊角方法也體現(xiàn)出很大的技巧性.如已知角“”，求未知角“”，可把改寫成294.掌握三角函數(shù)的三種基本題型(1)求值題型.已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其他兩個(gè)，這里應(yīng)特別注意開方運(yùn)算時(shí)根號(hào)前正、負(fù)號(hào)的選取.應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件是否指明角所在的象限，確定最后結(jié)果是一組解還是兩組解.30(2)化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.化簡(jiǎn)是一種不指明答案的恒等變形，一般來說化簡(jiǎn)所得的最后結(jié)果，應(yīng)滿足以下要求：①函數(shù)的種類要最少；②項(xiàng)數(shù)要最少；③函數(shù)次數(shù)要最低；④能求出數(shù)值的要求出數(shù)值；⑤盡量使分母不含三角函數(shù)；⑥盡量使分母不含根式.31(3)證明同角三角函數(shù)恒等式.一般方法有三種：即“由繁到簡(jiǎn)”“中間會(huì)師”“變更論證”，具體要求要由等式兩端的特征(結(jié)構(gòu)、名稱)來選擇最佳方法.5.在計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式時(shí)常用的技巧有：(1)“1”的代換.為了解題的需要.有時(shí)可以將1用sin2α+cos2α代替.32(2)“切化弦”與“弦化切”.利用商數(shù)關(guān)系把正切化為正弦和余弦.(3)整體代換.將計(jì)算式適當(dāng)變形使條件可以整體代入或?qū)l件適當(dāng)變形，找出它與計(jì)算式之間的關(guān)系.6.式子sinα+cosα,sinα-cosα,sinα·cosα等之間都能互相轉(zhuǎn)換，只要知道其中一個(gè)的值，就能求出其余式子的值.331.

（2009·陜西卷）