平面問題的極坐標解答

平面問題的極坐標解答要點：（1）極坐標中平面問題的基本方程：——平衡方程、幾何方程、物理方程、相容方程、邊界條件。（2）極坐標中平面問題的求解方法及應用應用：圓盤、圓環(huán)、厚壁圓筒、楔形體、半無限平面體等的應力與變形分析。彈性力學§4-1極坐標中的平衡微分方程§4-2極坐標中的幾何方程與物理方程§4-3極坐標中的應力函數與相容方程§4-4應力分量的坐標變換式§4-5軸對稱應力與相應的位移§4-6圓環(huán)或圓筒受均布壓力壓力隧洞§4-7曲梁的純彎曲§4-8圓盤在勻速轉動中的應力與位移§4-9圓孔的孔邊應力集中§4-10楔形體的楔頂與楔面受力§4-11半平面體在邊界上受法向集中力§4-12半平面體在邊界上受法向分布力主要內容

彈性力學§4-1極坐標中的平衡微分方程1.極坐標中的微元體xyOPABC體力：應力：PA面PB面BC面BC面應力正向規(guī)定：正應力——拉為正，壓為負；剪應力——

r、θ的正面上，與坐標方向一致時為正；r、θ的負面上，與坐標方向相反時為正。彈性力學xyOPABC2.平衡微分方程考慮微元體平衡（取厚度為1）：將上式化開：（高階小量，舍去）彈性力學xyOPABC兩邊同除以：兩邊同除以，并略去高階小量：彈性力學xyOPABC——剪應力互等定理于是，極坐標下的平衡方程為：（4－1）方程（4－1）中包含三個未知量，而只有二個方程，是一次超靜定問題，需考慮變形協調條件才能求解。彈性力學§4-2極坐標中的幾何方程與物理方程1.幾何方程xyOPAB(1)只有徑向變形，無環(huán)向變形。徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉角：（b）線段PB的相對伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉角：（d）彈性力學xyOPBA徑向線段PA的相對伸長：（a）徑向線段PA的轉角：（b）環(huán)向線段PB的相對伸長：（c）環(huán)向線段PB的轉角：（d）剪應變?yōu)椋海╡）彈性力學yxOPBA(2)只有環(huán)向變形，無徑向變形。徑向線段PA的相對伸長：（f）徑向線段PA的轉角：（g）環(huán)向線段PB的相對伸長：環(huán)向線段PB的轉角：（h）（i）剪應變?yōu)椋海╦）彈性力學(3)總應變整理得：（4－2）——極坐標下的幾何方程彈性力學2.物理方程平面應力情形：平面應變情形：（4－3）（4－4）彈性力學彈性力學平面問題極坐標求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）幾何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面應力情形)彈性力學邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位移單值條件）rrr彈性力學rlr彈性力學a取半徑為a的半圓分析，由其平衡得：彈性力學彈性力學§4站-3叛極羅坐標沫中的婚應力盞函數錄與相金容方學程1.怪直讀角坐秩標下敘變形嘩調方幼程（卡相容坡方程盒）（2畫-2攀2）（2根-2肌3）（平源面應睬力情灘形）（2妄-2生5）(2響-2畜7)(2設-2編6)應力雖的應出力函禁數表派示：彈性膝力學2.棗極執(zhí)坐標水下的假應力栽分量樸與相桂容方哄程方法喘1：保（步醒驟）（1永）利瓦用極萬坐標胞下的味幾何早方程觸，求夸得應舞變表產示的從相容透方程批：（2堆）利成用極攪坐標懷下的旬物理縫方程嶺，得公應力蹦表示羞的相香容方農程：（常峽體力吧情形幻玉）（3渡）利掛用平衡象方程求出族用應權力函聚數表番示的倡應力土分量哥：（4課）將訴上述尿應力褲分量板代入篇應力足表示割的相死容方腎程，雅得應常力函富數表主示的就相容獅方程濕：（常核體力餓情形裁）彈性蘭力學方法張2：安（用能極坐慮標與鑼直角寧坐標衫之間徒的變諸換關騰系求潛得到視）xyOrPxy（1產）極炒坐標未與直籌角坐橡標間占的關化系：（2競）應俱力分尤量與堅相容暫方程群的坐汁標變候換：應力飲分量顆的坐完標變綢換彈性疊力學(a冊)(b頁)彈性事力學(c暖)xyOrPxy由直皂角坐鐘標下昨應力富函數磁與應邪力的鍛關系栗（2碼－2穩(wěn)6）仿：彈性檢力學彈性貫力學極坐加標下愧應力店分量攜計算嶺公式攜：（4風－5楚）可以穿證明柴：式務（4鎮(zhèn)－5萬）滿朝足平煩衡方示程（賽4－遇1）仁。相容鉆方程診的坐劣標變賓換說明暖：式妻（4陶－5擊）僅付給出鑒體力測為零品時的俯應力邁分量件表達仍式。彈性爺力學相容柱方程鴉的坐余標變班換(a伯)(b摧)將式校(a禮)與晌(b鞭)相隆加，哭得彈性仰力學得到橋極坐襪標下漫的哭L醒ap賀la冒ce競微迎分算柔子：極坐裕標下紐奉的相被容方頸程為厭：（4怖－6披）方程免（4伐－6細）為噸常體常力情拌形的直相容插方程要。說明襖：彈性禾力學彈性抹力學平極坐錦標求些解歸研結為結論奇：（1曉）由問均題的羽條件詠求出秋滿足萄式（點4－梅6）股的應爸力函班數（4除－6唇）（2聞）由式擁（4購－5托）求針出相河應的累應力能分量警：（4貫－5若）（3水）將上述應力分量滿足問題的邊界條件：位移切邊界發(fā)條件償：應力挖邊界伸條件至：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位這移單牛值條腸件）彈性箱力學3.衡軸鍬對稱懼問題且應力狠分量柄與相棕容方請程軸對頸稱問青題：qO（4－5）（4－6）由式詠（4退－5廣）和格（4汗－6臣）得魂應力牌分量千和相管容方備程為烏：（4那－1麗0）應力警分量煮：相容嘉方程局：彈性醉力學§4宇-4裕應力齒分量打的坐滔標變店換式(1彎)用極澇坐標動下的孩應力狼分量呀表示避直角專坐標園下的侍應力辟分量(2挪)用直腦角坐依標下計的應掛力分腥量表居示極評坐標寇下的鏟應力倚分量（4躍－8肢）（4俗－9為）彈性災力學§4奴-5干軸拒對稱腫應力花與相償應的選位移求解粥方法傳：——伏逆解它法1.混軸漆對稱脹問題辨應力敢分量鄉(xiāng)豐與相憂容方徒程（1戶）應詠力分丈量（4商－1餓0）（2繩）相透容方慚程2.甩相緣瑞容方產程的羨求解將相卻容方飯程表繳示為慮：4階縫變系脆數齊蠶次微庫分方炊程將其拖展開鄉(xiāng)豐，有彈性恒力學——4階變系數齊次微分方程方程兩邊同乘以：——犁E限ul猾er樸齊枯次微菌分方拼程令：有代入上述方程其特征方程為方程的特征值彈性李力學方程你的特鋤征根泡為：于是僵，方舊程的昨解為言：將代回：（4母－1敏1）——巡壽軸對章稱問息題相釘容方甜程的柿通解烏，A、B、C、D為待具定常森數。3.戒應糊力分肉量（4翼－1費0）將方逆程（工4-鬼11蹤蝶）代麗入應床力分積量表蘭達式（4?。?厲2）——揪軸對況稱平解面問基題的泡應力舟分量勾表達晌式彈性蹤蝶力學4.位移分量對于霞平面絲式應力鍬問題修，有緞物理途方程（a束）積分弱式（否a）科，有彈性針力學（b痰）——是任意的待定函數將式橋（b漸）代麗入式晃（a雀）中困第二剃式，批得將上槳式積黨分，盛得:（c偏）——是r任意函數將式朗（b羞）代兼入式踢（c鞏）中橡第三憂式，痕得或寫烤成：要使膏該式桌成立堡，兩霧邊須酸為同救一常盤數。彈性星力學（d勵）（e調）式中F為常蔽數。挑對其斜積分鴉有：（f想）其中H為常投數。肥對式運（e耕）兩斤邊求遇導其解煙為：（g慶）（h提）將式臘（f捕）晨（h屆）代弊入式很（b換）鏟（c亂），矮得（b）（c）（4優(yōu)-1痛3）彈性齡力學平面蹲軸對亞稱問變題小習結：（4玻－1鞭1）（1泊）應力直函數（2義）應力欠分量（4窮－1腫2）（3陰）位移統(tǒng)分量（4統(tǒng)-1哄3）式中索：A、隔B、歉C、名H、仙I、醋K由應屑力和松位移屑邊界禁條件剝確定友。彈性層力學（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應力和位移邊界條件確定。由式傘（4慘-1規(guī)3）享可以滿看出頑：應力動軸對扶稱并側不表鄭示位熱移也毅是軸田對稱罷的。但在爺軸對幫稱應蜓力情森況下污，若熱物體貨的幾剖何形掠狀、烏受力穿、位賽移約翻束都拘是軸眠對稱傭的，河則位寬移也腐應該姿是軸恩對稱貍的。這戚時，懼物體恒內各黎點都欺不會有環(huán)升向位踐移，析即不希論r和θ取何敗值，峽都應將有：錄。對這趴種情河形，愿有式（灑4-漫13斥）變稍為：[4飽-1首3（蓮a）倡]彈性栽力學彈性農力學國平面敲問題母極坐迫標求史解的塵基本裝方程愿：平衡盛微分妄方程高：（4滅－1本）幾何郊方程炭：（4躁－2傍）物理情方程榨：（4薦－3華）(平蘭面應闖力情侮形)彈性饒力學彈性垂力學尸平面北問題抓極坐題標求饅解步仰驟：（1乒）由問位題的侮條件暢求出憤滿足匪式（德4－嘴6）鎮(zhèn)的應悉力函晃數（4腐－6揀）（2紗）由式輕（4覽－5魄）求罵出相玻應的右應力羅分量究：（4須－5傷）（3面）將上述應力分量滿足問題的邊界條件：位移喬邊界月條件傅：應力磨邊界希條件哥：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位獅移單藝值條福件）彈性捉力學平面位軸對尼稱問累題的晝求解籍：（4校－1沾1）（1餃）應力艦函數（2廣）應力匹分量（4慰－1陡2）（3曬）位移桶分量（4貪-1紀3）式中處：A、晃B、蠅C、終H、亂I、鄉(xiāng)豐K由應傾力和凳位移怖邊界秤條件尼確定址。對于援多連密體問事題，匯位移貿須滿師足位兔移單米值條伍件。彈性榮力學極坐緊標下石的平面返問題爹的基池本方程（4－2）幾何方程蜜：（4揉－1殃）物理方程描：（4－3）平面忘應力如情形（4－4）平面絞應變升情形平衡微分方程壇：彈性熟力學邊界將條件：位移邊界條件：應力邊界條件：為邊界上已知位移，為邊界上已知的面力分量。（位州移單灶值條棟件）相容瞧方程：（4－6）——常體季力情形番的相詢容方蓬程。應力些分量染計算怕式：（4－5）彈性洋力學彈性衡力學盡極坐碎標求談解歸輛結為（1）由問題的條件求出滿足式（4－6）的應力函數（4－6）（2）由式（4－5）求出相應的應力分量：（4－5）（3）將上述應力分量滿足問題的邊界條件：位移邊界條件：應力邊界條件：（位木移單寸值條巷件）彈性爛力學（1邊）應姜力分嶺量（4－10）（2緒）相蘭容方郵程軸對岔稱問怒題的佩應力分分量現與相鄉(xiāng)豐容方堵程：彈性章力學平面茄軸對顛稱問愧題小鼓結：（4－11）（1）應力函數（2）應力分量（4－12）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由應力和位移邊界條件確定。彈性珠力學§4慢-6飼圓環(huán)跌或圓偷筒受蜜均布博壓力首壓力匹隧洞1.滿圓勝環(huán)或孩圓筒勵受均羽布壓授力已知榆：求：雕應力詞分布爪。確定得應力姻分量蛋的表膝達式斥：（4－12）邊界加條件聽：（a毅）將式揀（4害-1帖2）殃代入膝，有萌：（b刮）彈性曬力學（b）式中綿有三盯個未泰知常蹤蝶數，馳二個串方程討不通血用確悄定。對于王多連牛體問判題，韻位移偷須滿怖足位厚移單驢值條志件。位移多值項要使認單值桃，須毛有：B=挑0星，棵由式螞（b楊）得將其脖代回州應力斷分量宗式（羊4-硬12社），剃有：彈性比力學（4虛-1隊4）（1辰）若堵：(牌二向頁等壓起情況惜)（2側）若短：（壓鉆應力繭）（拉壯應力塔）彈性推力學（3跨）若味：（壓駝應力設）（壓糾應力丘）（4浴）若詢：——稈具有儲圓形豬孔道節(jié)的無編限大兆彈性兵體。邊緣鹿處的側應力跪：彈性劃力學2.度壓牽力隧炕洞問題尚：厚壁決圓筒逆埋在寫無限肚大彈稻性體墊內，座受內線壓q作用拋，求勢圓筒丘的應免力。1.棗分析迎：與以插前相愚比較啦，相狐當于花兩個青軸對賣稱問王題：(a歌)受內膝外壓愁力作異用的回厚壁女圓筒奮；(b于)僅受讀外壓蒙作用合的無記限大改彈性裂體。確定刷外壓p的兩爆個條俊件：徑向鮮變形容連續(xù)額：徑向竿應力粱連續(xù)怪：2.薦求解彈性譽力學2.祝求解(1蟲)輝圓定筒的規(guī)應力定與邊錯界條飼件應力仿：（a講）邊界嚼條件霧：(2首)名無村限大慌彈性為體的喂應力這與邊驅界條大件應力靜：（b已）邊界垂條件按：將式印（a娛）、鏈（b界）代綁入相公應的介邊界移條件蓄，得跪到如斧下方仰程：彈性奮力學4個狗方程碰不能猾解5切個未漂知量夜，需由栗位移躬連續(xù)滋條件歪確定思。上式籮也可史整理烘為：(c喂)(d障)彈性蚊力學利用但：(e與)要使對任意的成立，須有(f蒸)對式瓦（f殼）整波理有舉，有0彈性歇力學(g獵)式（艱g）導中：將式養(yǎng)（g愁）與灑式（獄c）桃（d至）聯辮立求筐解(c)(d)（4靠-1嘗6）當n<算1房誠時些，應跡力分線布如切圖所項示。彈性嶼力學討論保：（1秘）壓力誦隧洞歡問題陷為最際簡單紋的接芬觸問鳳題（軌面接室觸）雙。完全瓣接觸遮：接觸膛面間放既不閉互相平脫離堅，也割不互打相滑猛動。議接觸控條件煌為應力爹：位移毀：（1窄）非完頭全接角觸（滿光滑尋接觸裂）應力蘇：位移土：接觸傅條件典：彈性枝力學§4服-7綁曲訊梁的竟純彎廉曲1慶.百問侮題及朱其描赤述矩形臣截面保曲梁凝：內屢半徑缺為a，外農半徑勤為b，在畝兩端豈受有陰大小沃相等躲而轉勝向相扔反的樂彎矩M作用芽（梁欺的厚唉度為蛙單位縣1）侮，O為曲摔梁的屈曲率歪中心糾，兩歇端面跌間極急角為β。取曲企梁的蒸曲率妄中心O為坐依標的乏原點命，并壺按圖惱示建磨立坐案標系描。由于史各截蜓面上滿彎矩M相同俘，因隱而可文假定材各截欣面上翠應力脾相同雄，構瓣成一須軸對楚稱問待題（討對稱補軸為z軸）席。2車.房誠應混力分波量1.恭曲盟梁的峽應力彈性需力學3.慈邊界售條件——映自堡然滿用足（1狀）（2湊）將應立力分飛量代誦入，湯有（a至）（b梅）注：此處辣為單四連體潑問題伴，（3額）端部許：（c創(chuàng)）（d段）由軸繞對稱凱問題粉應力焦分量書式將其哪代入沃式（店c）彈性溫力學（c）（d）軸對稱問題應力分量式：代入腿式（南c）匙，有代入護式（恨d）裝，有（分狐部積旁分）00彈性那力學將其處代入于，有整理暢，有（d仰）（a坊）（b蹈）聯立給求解唯式（德a）禁（b語）（衡d）啞,可卵求得而：彈性丹力學其中繪：將其容代入即應力戀分量抗