大一高數(shù)上冊(cè)經(jīng)典

第一節(jié)函數(shù)（★★★）（Ua,x|0xa 1xna化簡(jiǎn)得n2．即對(duì)0，Ng，當(dāng)nN時(shí)，始終有不等式xna成立，

【證明示例】X1fxAxg∴X2．即對(duì)0，XgxX時(shí)，始終有不等式fxA成立，∴l(xiāng)imfxfx無窮小limfx0fx無窮大limfx為無窮小，則limfxgx（定理四）f

fxMfxxx0fxA化簡(jiǎn)得0x

g

∴ xx0時(shí)始終有不等式fxA

（limgx0即函數(shù)gxx時(shí)的無窮∴

fx

fx，證明limfx

pxaxmaxm1

xx2fxx2

1n

nqxb0xn則有l(wèi)imx

bnnmnm

xxx2 n fx0 gx gx

（P53（★★★）limfx gx0,f

xx0g gxfx

∵x ，sinxxtanx f

2

（特別地，當(dāng)

0gx

x0sin

【題型示例】求值limxx3x2

) x（P57（★★★）【求解示例】解：因?yàn)閤3，從而可得x3，所以

1x limx3 x x3x2 x3x3xxx3fxx2

x3x

limfx0

2x3x x3

x2x

limx

lim1

x3x29Lx3x2 x3 2x3 2x12lim lim 1

x2x1 x2x 2x1 2x1 2 2 2

lim 22 lim1 2

f

e2

2x

2x1

2x limlim

1．∵f0a0 2

2

f0

2

2x1 2x1

e 2x2lim e2x1e

x0∴a

fxx0

（無窮小的比較U~sinU~tanU~arcsinU~arctanU~ln(1U~eU

1U2~12x x2

根介于a與b1（建立輔助函數(shù)）函數(shù)x fxgxC在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；解：因?yàn)閤0,即x0,所以原式

x2

lim1xln1xlim1xxlimx1 x0xx x0x

，即fgCfxgxC在開區(qū)間0xx0

fx0xx0

fxfx0

（P67（★）

第二章導(dǎo)數(shù)與微分83（

【題型示例】已知函數(shù)x0處可導(dǎo)，求a

exfxax

x x fx a

x，x

f0e01e01

解：y ．∵ 0

2

xa

2.由函數(shù)可導(dǎo)定義 f0f2.由函數(shù)可導(dǎo)定義

earcsinx21 f0f0f0b

arcsinx2 ∴a1,b

fxxa

arcsinx21

方程

1．yfx，y|xaf

dn

y（★ x（或dx n12yfafax

法線方程：yfa xfa

（差

1

函數(shù)和（差、積與商的求導(dǎo)法則線性組合（定理一：(uv)uv特別地，當(dāng)1時(shí)，有(uv)u

u

v v fx0ff

（★★★）yxey所給定的曲線Cyxeyy1eyy∴y 1 1

earcsinx21

x2

1

d2dy

（fx在閉區(qū)間1,x

d2 dx【求解示例】1.

2 2

2. （不作要求）第七節(jié)函數(shù)的微分dyfx第一節(jié)中值定理定理fx在0,fcosfsin0成立顯然函數(shù)x在閉區(qū)間0,上連續(xù)，在開區(qū)間0,上可導(dǎo)；

e，化簡(jiǎn)得exexx1exe 1；1 ln1xln10 1x0 1∴f

1

1第二節(jié)洛法運(yùn)用洛法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟 ln屬于兩大基本不定型（ fx

0fx

gx gx☆

x x0x1

lim x limxlimx0，從而有l(wèi)imylimelnyelimlnye0x0型

x

11

lncosxsin：limxlnxlimlnxlimlnx

解：令ycosxsinxx,兩邊取對(duì)數(shù)得lny 1 x0 x

Lx01 x0

lncosxsin x

limx

cosxsin

1a

1,從而可得

L

x0cosxsin

1 1 x0sin x

11 x0xlim

1 xsinx xsinx

解：令y1tanx兩邊取對(duì)數(shù)得lnytanxln1

x0sin x x0xsinx x0 1cosx sin

x x1

lim lim

x0

xL x2

L 2x

ln limln Lx01x0 1 x0sec2L

tanx0sin2

tanxsin2

tan22sinxcoslim lim lim 0, L 從而可得limylimeln

limln

e0運(yùn)用達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路

1（

2．x 1

10（x0第三節(jié)中值定理（不作要求）（★★★）fx2x39x212x3的

∴x02

18x

6x66x2．令fx6x1x2 ，解得x11,x23（

x10,x2xx1200區(qū)間為,x01200y數(shù)1,12單調(diào)遞5增區(qū)間為（∴x0

為f01，y13x2x3(0(0,1)上凹，在區(qū)間(1,2),(2,)上凸；fxfxM，值fxM；xMxM1,xM2xM3,...,fx在閉區(qū)間abM滿Mmaxfa,xM1,xM2,xM3,...,xMn,fb域UxmD，使得對(duì)xUxm，都適合不等式fxfxm，值fxm；xmxm1,xm2,xm3,...,fx在閉區(qū)間abm滿

∴fx3x2x1,x1 3（x1f00ff12,f12f3 ∴fx f12,fx f3 （不作要求）第七節(jié)曲率（不作要求）（不作要求）第四章不定積分FxxIFxfxdFxfxdx成立，則稱Fxfx的一個(gè)原函數(shù)fxII在定義區(qū)間I上，函數(shù)fx的帶有任意常數(shù)項(xiàng)C的原函數(shù)稱為fxIfdxFx（稱為積分號(hào)，fx稱為被積函數(shù)，fxdx

：令xasint（ a2a2 （★★★）

于是tarcsinx2x2 t

，則原式可化為acostkfxkgxdx fxdx g 1 2

xasect（0t

2（★★★）

于是tarccosaatantx

2x

dttC 【題型示例】求

a2x2

2x

x1t2t t

dx1arctanx

【題型示例】求

a2x2dx（三角換元2

2dx

1xdx

x a

a 2aa a xasint(t 【題型示例】求【題型示例】求

dxadxa

cos2tdt 22a 2tsin2tC

2 2x

dx2

d2x112x12x

d2x

★★（dyfxdx的正向應(yīng)用⑴對(duì)于一次根式（a0bR

axt2ax

⑴設(shè)函數(shù)ufx，vgx具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 可表示為：udvuvvduaxax則原式可化為

，于是x a

a2a2：令xatant（ t 于是tarctanxasecta

：udvuv⑷展開尾項(xiàng)vduvudx若vudx若vudxa【題型示例】求ex解：exx2dxx2exdxx2dexx2exexdx2x2ex2xexdxx2ex2xdex

Q為一次因式xak；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)因式x2pxql（p24q0；即：QxQ1xQ2x n mxnmxa m ax2bxcax2bxcx2ex2xex2exdxx2ex2xex2ex【題型示例】求exsin解：exsinxdxexdcosxexcosxcosxdexexcosxexcosxdxexcosxexdsinx

a pbq P Q excosxexsinxsinxdex

Px

P2xexcosxexsinxexsin

Qx

k xa x2px∴exsinxdx

xa

A1x

xa

xa2

P2x M1xN1M2xN2

x2pxq

x2px

x2pxqP pxaxmaxm1

...Mlx Q

qx

n

n1b

x2pxq0 b b 0 P

AAA

M1

M2

QP Q

k 1 xP Q

【題型示例】求 2dx（構(gòu)造法x

（推論二）bfxdx

fx 1

xdx

x dxx1x1

第二節(jié)微積分基本1xdxdx

1dx1x2xlnx1Cx1

○-（不作要求）第五章定積分極其應(yīng)用

bafxdxFbFb（★★★（bfxdxlim

fx

dx1xa稱為積分下限，b稱為積分上限，ab稱為積分區(qū)間）1

【題型示例】求

d

bb fxdx fubb

lim

limdxcos⑵afxdx

L2

x22 lime10ecosxsinxlimsinxecos ⑶kfxdxkf

00L

2x

fxdxk2ag

cosxecos2xsinxe