表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)用Φx

第三節(jié)連續(xù)型隨機變量的分布2.3、連續(xù)型隨機變量的分布

2.3.1、連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)由于連續(xù)型隨機變量取值可以充滿某個區(qū)間，為了研究其概率分布，類似于質(zhì)量分布的求法，已知質(zhì)量分布的線密度函數(shù)μ(x)時，在區(qū)間[a,b]上分布的質(zhì)量m可由質(zhì)量密度函數(shù)積分求得，即

引入概率密度函數(shù)的概念計算連續(xù)型隨機變量的分布。定義2.5對于任何區(qū)間[a,b]，如果存在可積函數(shù)使ξ在[a,b]取值的概率（2.3.1）則稱φ(x)為連續(xù)型隨機變量ξ的概率密度函數(shù)（簡稱為密度函數(shù)），記為ξ~φ(x)。概率密度函數(shù)需滿足以下條件：且當(dāng)φ(x)在x處連續(xù)時

對于連續(xù)型隨機變量ξ，顯然有對于連續(xù)型隨機變量ξ，其分布函數(shù)為F(x)，則（2.3.2）案例分析見7.12~7.15σ>0,是正態(tài)分布的兩個參數(shù).定義2.62.3.2、正態(tài)分布

如果隨機變量ξ的概率密度是則稱ξ服從正態(tài)分布，記作其中為φ(x)的拐點的橫坐標(biāo).概率密度φ(x)具有如下性質(zhì)：1、即概率密度曲線都在x軸上方.

φ(x)以x=μ為對稱軸，并在x=μ取得最大值：3、時，這說明曲線φ(x)向左、右伸展時，無限接近x軸，即φ(x)以x軸為漸近線.4、2、當(dāng)正態(tài)分布的概率密度曲線

圖2-4結(jié)論：圖2-5（a）圖2-5（b）μ決定對稱軸位置σ決定中峰陡峭程度σ較大時，峰較平緩σ較小時，峰較陡峭參數(shù)μ,σ對曲線位置與形狀的影響：μ=0,σ=1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作ξ~N(0,1)。通常用φ(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)定義2.7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，一般的正態(tài)分布都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進行研究.圖2-6則

定理證明故

設(shè)利用定理1和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)數(shù)值表可解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.(1)P(X<1.5);(2)P(X>2)(3)P(-1<X≤3);(4)P(|X|≤2)解例1設(shè)計算一般,設(shè),則有例2解一般,設(shè),計算由,根據(jù)定理1,,則有設(shè)案例分析見2.16~2.18案例2.12

某線路公共汽車每隔6分鐘開出一輛，乘客到車站候車時間ξ是一個隨機變量.且ξ在[0,6]上任一子區(qū)間內(nèi)取值的概率與這區(qū)間長度成正比，求ξ的分布函數(shù)F(x)及密度函數(shù)φ(x).解因此λ=1/6.

ξ取且僅取[0,6]的實數(shù)，即是必然事件若，有λ為比例常數(shù).特別地，取c=0，d=6,

案例分析F(x)的圖形如圖7-6所示.061xF(x)對F(x)求導(dǎo)數(shù)得密度函數(shù)為圖7-6得到F(x)的定義解案例2.13則稱ξ在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，記為ξ~U(a,b).試求λ及F(x).由（2.3.2）式，有若ξ的概率密度為（2.3.3）,試求ξ的分布函數(shù)F(x).案例2.14解由（2.1.10）式，有若ξ的概率密度為其中λ>0，則稱ξ服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為各種“壽命”分布近似地服從指數(shù)分布，如隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間、某些消耗性產(chǎn)品（電子元件等）的壽命等，常假定服從指數(shù)分布.假若產(chǎn)品的失效率為λ，則產(chǎn)品在t(t>0)時間失效（即壽命為t）的分布函數(shù)為而產(chǎn)品的可靠度為解案例2.15的指數(shù)分布.3個這樣的元件使用1000小時后，都沒有損壞的概率是多少?各元件壽命相互獨立，因此3個這樣的元件使用1000小時都未損壞的概率可看成3重貝努里試驗中3次試驗都成功的概率為某元件壽命ξ服從參數(shù)為λ

參數(shù)為λ的指數(shù)分布函數(shù)為案例2.16

某廠生產(chǎn)一種設(shè)備，其平均壽命為10年，標(biāo)準(zhǔn)差為2年.如該設(shè)備的壽命服從正態(tài)分布，求壽命不低于9年的設(shè)備占整批設(shè)備的比例？設(shè)隨機變量ξ為設(shè)備壽命，由題意

解得到解案例2.17

現(xiàn)從這批零件中任取一件,問:(1)長度與其均值的誤差不超過0.3厘米的概率是多大?(2)能以0.95的概率保證零件長度與其均值的誤差不超過多少厘米?即誤差不超過0.3厘米的概率為0.8664.設(shè)一批零件的長度X(厘米)服從正態(tài)分布因為,所以即能以0.95的概率保證長度與其均值誤差不超過0.392厘米.（2）依題意,求因為

得

即查表得即

考試分與標(biāo)準(zhǔn)分的轉(zhuǎn)換。由于各考試科難易不同，評分標(biāo)準(zhǔn)不同，各科考分的分值是不同的。為了科學(xué)地比較總分，將各科考試原始分ξ轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分Z，設(shè)

案例2.18則再將Z轉(zhuǎn)化均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10的標(biāo)準(zhǔn)分T，即T=10Z+50。例如，比較甲、乙兩學(xué)生數(shù)學(xué)、語文、外語三科總成積，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分如下頁表2-7。表2-7科目原始分?jǐn)?shù)全體考生標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)ZT=10Z+50甲乙均值μ標(biāo)準(zhǔn)差σ甲乙甲乙數(shù)學(xué)7882808-0.250.2547.552.5語文45414240.75-0.2557.547.5外語7274746-0.33046.750.0總和1951970.170151.7150.0由表2-7可見，若看原始分?jǐn)?shù)總和乙優(yōu)于甲；若看標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)總和甲優(yōu)于乙。由于語文平均分偏低，說明較難，而甲高出乙4分，盡管數(shù)學(xué)，外語成績乙高出甲6分，但數(shù)學(xué)、外語的分值低于語文的分值。表的最右列T分?jǐn)?shù)是為了消除Z分?jǐn)?shù)中的負(fù)值，并盡可能標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)與原始分?jǐn)?shù)相近，T分?jǐn)?shù)所起作用同Z分?jǐn)?shù)。評注課堂練習(xí)題習(xí)題一、設(shè)某種元件的壽命(以小時計)的概率密度為

一臺設(shè)備中裝有三個這樣的元件．求：

(1)最初1500小時內(nèi)沒有一個損壞的概率；

(2)只有一個損壞的概率．課堂練習(xí)題習(xí)題二、設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布N(3，4),求(1)P{2＜X＜5}；(2)P{-4≤x≤10}；(3)P{IXI>2}；(4)P{X>3}；(5)常數(shù)C，使得P{X>C}=P{X≤C}課堂練習(xí)答案習(xí)題一、

【分析】設(shè)一個元件的壽命為x，則它在1500小時內(nèi)損壞的概率為各個元件損壞與否是相互獨立的且分布相同，故三個元件使用1500小時后損壞個數(shù)ξ服從二項分布B(3，1/3)．

(2)只有一個損壞的概率為：【解答】(1)最初1500小時內(nèi)沒有一個損壞