平面向量的實際背景及基本概念(劉娟)

教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修4課題：2.1平面向量的實際背景及基本概念授課教師：安徽省合肥市第一中學(xué)劉娟教學(xué)內(nèi)容解析向量是近代數(shù)學(xué)重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)起著重要的作用.向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實際背景，在現(xiàn)實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小,又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景.向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數(shù)學(xué)概念，經(jīng)過研究，建立起完整的知識體系之后，向量又作為數(shù)學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實際生活中的問題，因此它在整個高中數(shù)學(xué)中起到聯(lián)系數(shù)形、跨越學(xué)科、承前啟后的作用.本課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用.本節(jié)概念課，更為重要的不是向量的形式化定義及幾個相關(guān)概念，而是能讓學(xué)生去體會認(rèn)識與研究數(shù)學(xué)新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，分析問題，解決問題的能力.本節(jié)課主要內(nèi)容包括向量的物理背景與概念，向量的表示，相等向量與共線向量.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置了解向量的實際背景；理解平面向量、平行向量、相等向量、共線向量的概念，掌握向量的幾何表示；經(jīng)歷平面向量及其相關(guān)概念的形成過程，初步體會學(xué)習(xí)新概念的基本思路．學(xué)生學(xué)情分析從學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識中看，他們已經(jīng)掌握了數(shù)的抽象過程、實數(shù)的絕對值（線段的長度）、單位長度、0和1的特殊性.還有學(xué)生在物理學(xué)科中已經(jīng)積累了足夠多的向量模型，并且在三角函數(shù)線部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中（必修4任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)）已經(jīng)接觸到有向線段的概念，從而為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了知識準(zhǔn)備.從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的抽象概括的能力，因此，可以嘗試讓學(xué)生從實際背景中抽象并概括出向量的概念.學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容過程中，對撇去實際背景后理解向量的概念，一時難以適應(yīng)；向量的幾何表示是向量概念的形象化（幾何化），它是學(xué)生認(rèn)識過程中的又一次飛躍，后繼的向量運算，以及用向量方法解決幾何問題，都是以此為基礎(chǔ).學(xué)生的易混點是向量的幾何表示（有向線段）與平面向量，學(xué)生的易錯點是，在解決向量問題時，不能從向量的兩個要素全面考慮，顧此失彼.四．教學(xué)策略分析本節(jié)課的難點是平面向量的概念，共線向量的概念，向量的幾何表示的生成過程，突破策略主要是：創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生從初步感悟生活中既有大小，又有方向的量開始逐步增加信息，以期達到上升到理性認(rèn)識所需的信息量；學(xué)生適度模仿抽象數(shù)量概念的過程，從同類事物中抽象概括得到向量的概念；學(xué)生比較向量和數(shù)量的區(qū)別，進一步理解向量概念；引導(dǎo)類比思考，讓學(xué)生將已學(xué)習(xí)過的直線（段）平行和共線與共線向量這一新知之間建立聯(lián)系；類比數(shù)的表示引出向量幾何表示的必要性，從特殊向量（浮力）的有向線段表示推廣到一般向量的幾何表示，用直觀的有向線段表示抽象的向量.在本節(jié)課的教學(xué)中，主要以問題引領(lǐng)過程，通過教師引導(dǎo)、學(xué)生提問、師生交流、學(xué)生合作舉例，讓學(xué)生自主建構(gòu)向量和共線向量的概念．這樣做可使學(xué)生經(jīng)歷新概念產(chǎn)生的過程，從總體上認(rèn)識新知識與原有知識的聯(lián)系，在過程中感受學(xué)習(xí)新概念、解決新問題的方法．五．重點與難點1.重點：向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示；2.難點：向量的概念和共線向量的概念，向量的幾何表示的生成過程．六．教學(xué)方法與教學(xué)手段問題引導(dǎo)教學(xué)法，啟發(fā)式教學(xué)，小組合作學(xué)習(xí)．七．教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境建構(gòu)概念【引例】學(xué)生在教師節(jié)發(fā)來的一條祝福短信：“劉老師您好，祝您教師節(jié)快樂！我考到了一個離合肥直線距離800公里的大城市讀大學(xué)，目前在軍訓(xùn)了，您猜我在哪個城市？”［設(shè)計意圖］通過學(xué)生熟悉的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考.只有大小，沒有方向，并不能給出具體的位置，從而指出位移是一個既有大小,又有方向的量.［教學(xué)片段］師：經(jīng)過百度地圖的搜索，教師定位地圖上離合肥800公里的大城市有天津、西安、廈門三個.你能否確定是哪個城市呢？生：不能.師：為什么不能確定呢？生：因為只知道從合肥到這個城市的位移的大小，并不知道方向.師：這么說位移不僅要求有大小，而且有方向.【問題1】你能否再舉出一些既有大小，又有方向的量？［設(shè)計意圖］激活學(xué)生的已有相關(guān)經(jīng)驗.進一步直觀演示，加深印象.再追問有沒有只有大小，沒有方向的量的問題，通過兩相對比，突顯向量的兩大要素.［教學(xué)片段］生：重力、浮力、彈力...師：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？生：年齡、身高、面積、體積等.師：回顧學(xué)習(xí)數(shù)的概念，我們可以從一支筆、一棵樹、一本書.....中抽象出只有大小的數(shù)量“1”.類似地，我們可以對力、位移這些既有大小,又有方向的量進行抽象，形成一種新的量.師：數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.向量在物理學(xué)中常稱為矢量，數(shù)量在物理學(xué)中常稱為標(biāo)量.【本章簡介】向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算（運算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.［設(shè)計意圖］本節(jié)課是“平面向量”的起始課，具有“統(tǒng)領(lǐng)全局”的作用，有必要對本節(jié)內(nèi)容在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中的地位做一個簡要的介紹.回答平面向量這一章“是什么”、“為什么學(xué)”、“學(xué)什么”、“怎么學(xué)”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，明確學(xué)習(xí)任務(wù)，指明向量的研究對象及研究方法.（板書：2.1平面向量的實際背景及基本概念.）（板書：既有大小，又有方向的量叫做向量.）幾何表示理解概念【問題2】實數(shù)在數(shù)軸上是如何表示的？［設(shè)計意圖］類比實數(shù)的點表示，尋求向量的幾何表示.［教學(xué)片段］生：可以用數(shù)軸上的點表示.師：同學(xué)們都知道實數(shù)常?？梢杂脭?shù)軸上的一個點來表示，而且不同的點表示不同的實數(shù).請同學(xué)們在數(shù)軸上畫出表示實數(shù)0,1的點，再畫出表示實數(shù)a的點.生：在稿紙上畫出數(shù)軸，并標(biāo)注點的位置（如圖1所示）.師：實數(shù)a是一個數(shù)量，數(shù)軸上表示它的點是一個點A,一個點也是幾何圖形，這里實際上就是用幾何圖形（數(shù)軸上的一個點）來表示了實數(shù)a,數(shù)量可以這樣，那么向量呢？我們能不能也找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？【師生互動】兩回顧、一探究：回顧浮力在物理中如何表示，回顧實數(shù)中絕對值符號的使用，探究向量的幾何表示和字母表示以及向量的模的字母表示.［設(shè)計意圖］ 用“帶箭頭的線段”表示浮力，是初中物理已學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，將這一內(nèi)容再次進行條理化、系統(tǒng)化，是強化、固化新知的“停泊點”，讓舊知自然地“生長”出新知.在實數(shù)的兩邊畫上兩條平行、等長的豎線段表示“表示實數(shù)的點到原點的距離”，這是學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的絕對值的幾何意義，將這一符號表示方法類比到向量的模的字母表示上是自然的.［教學(xué)片段］師：如圖2，有兩個木塊浮在水面上，一個木塊所受到的重力大小是10N，另一個木塊所受到的重力的大小為20N.同學(xué)們試在練習(xí)紙中畫出兩個物體所受到的浮力，練習(xí)紙中已經(jīng)給出了表示10N的線段長度.生：作圖，并表示浮力（如圖2所示）.師：表示這兩個木塊所受浮力大小的線段哪個更長？_10N_生：表示浮力大小為20N的線段更長. ' '師：一般地，可以按一定比例畫出一條線段，它的長短表示向量的大小.（板書設(shè)計：畫一條線段，標(biāo)注線段AB,也可記作線段a.）師：我們用線段的長短表示了浮力的大小，那浮力的方向同學(xué)們又是如何表示的呢？生：用箭頭表示的.師：（板書設(shè)計：在已畫的線段AB中，以A為起點，B為終點畫一個箭頭.）一般地，可以用箭頭表示向量的方向，這個圖形就是一條線段上帶了一個箭頭，有線段有箭頭，如果給這個圖形起一個形象點的名字，你會叫它什么？生：有向線段.師：帶有方向的線段叫做有向線段.師：線段我們可以用AB、a來表示，有向線段該如何用字母表示呢？師：以A為起點，B為終點的有向線段記作AB，或者用a,b,…表示（板書：AB,a,b,…?）—? ?師：這樣我們就用有向線段的長度表示向量的長度，用有向線段的方向表示—? ?—?向量的方向，那我們就可以用有向線段表示向量了.師：AB表示向量的方向是由A指向B的，那向量的大小又該如何用字母來表示呢？師：如圖1，在數(shù)軸上A點表示實數(shù)a，那A點到原點的距離該如何表示呢？生：|a|?師：也就是在實數(shù)a的兩邊畫兩條平行、等長的豎線段（在實數(shù)中稱為絕對值）來表示A點到原點的距離?師：類似地，在AB兩邊畫兩條平行、等長的豎線段，來表示向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱模），記作IABI?師：這里需要強調(diào)，書上的向量用的是印刷體的黑體字母a表示向量，沒有箭頭.但是我們書寫的字母不是印刷體，在表示向量時，必須打上箭頭.【問題3】在你畫的實數(shù)軸上，哪些實數(shù)比較特殊？［設(shè)計意圖］挖掘結(jié)果背后的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生把向量集合與實數(shù)集類比.通過0,1這兩個特殊實數(shù)類比出零向量和單位向量的概念.師：現(xiàn)在我們已經(jīng)建立起了一個向量的集合，就像實數(shù)可以構(gòu)成實數(shù)集一樣.如圖1，在實數(shù)軸上有兩個特殊的實數(shù)，請問是哪兩個？生：0,1.師：類似地，在向量的集合中有兩個向量很特殊，一個是長度為零的向量，叫做零向量，一個是長度等于1個單位的向量，叫做單位向量.(板書：長度為零的向量，叫做零向量，記作0.長度等于1個單位的向量叫做單位向量.)―A師：向量是既有大小,又有方向的量.研究向量需要將代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合.對實數(shù)的研究經(jīng)驗告訴我們，引進一個新的數(shù)，就要研究它的運算及運算律.可以預(yù)見，引進向量就要研究向量的運算及其相應(yīng)的運算律或運算法則.所以對于向量還有很多內(nèi)容等待我們?nèi)パ芯?探究實例引出關(guān)系【探究互動】在坐標(biāo)紙中畫出如圖3所示的向量.圖中哪些向量是單位向量？AB,CD,EF三個向量的方向有何關(guān)系？AB,CD在大小和方向上有何關(guān)系？［設(shè)計意圖］①鞏固單位向量的概念；②該探究將平行向量、相等向量、共線向量的概念的形成過程串在了一起，并讓學(xué)生參與這些概念的形成過程，使得概念成為在教師引導(dǎo)下，學(xué)生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物.師：坐標(biāo)紙中哪些向量是單位向量？生：AB,CD,MN,GH.師：為什么它們是單位向量？生：因為它們的模都等于1個單位.師：單位向量和它們的方向有關(guān)系嗎？生：沒有.師：坐標(biāo)紙中哪些向量不是單位向量？生：EF.師：剛才我們從向量大小的角度找到了單位向量，向量不僅有大小，還有方向，同學(xué)們想一想AB,CD,EF這三個向量的方向有何關(guān)系？生：AB與CD方向相同,AB與EF方向相反,CD與EF方向相反.師：AB,CD,EF中有零向量嗎？生：沒有.師：AB,CD,EF所在的線段之間的位置關(guān)系是什么？生：平行.師：一般地，方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量，記作AB//CD.（板書：方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量,記作AB//CD.）師：大家想不想知道零向量的方向？生：想.師：我們規(guī)定，零向量與任一向量平行，即對于任意的向量a，都有0//a.（板書：0//a.）—?―?—>-師：AB,CD在大小和方向上有何關(guān)系？―?—?生：長度相等，方向相同.師：也就是AB和CD在向量的兩個基本要素上完全相同，數(shù)學(xué)上將長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記作AB=CD.（板書：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，記作AB=CD.）師：如圖4，OK與AB之間什么關(guān)系？那OK與CD之間什么關(guān)系？生：都是相等的.師：既然相等，那就意味著可以用同一條有向線段OK來表示兩個相等的非零向量AB和CD，并且與有向線段的起點無關(guān)?換句話說，就是可以將兩個相等的非零向量AB和CD在平面內(nèi)都平移到向量0K的位置，平移后的向量與原來的向量相等.類似地，也可以作向量0P與向量EF相等.此時，我們將一組平行向量AB,CD,EF都平移到了同一條直線上.因此，平行向量也叫做共線向量.（板書：共線向量o平行向量?）【自主探究】討論有向線段與向量之間的區(qū)別與聯(lián)系？［設(shè)計意圖］在上一個探究題目學(xué)生分組討論，通過小組合作學(xué)習(xí)，體會向量可以在平面內(nèi)可以任意平移，與表示向量的有向線段的起點無關(guān).生：我們小組討論的結(jié)果是有向線段有三要素，即起點、長度、方向,而向量完全由它的方向和模決定，與起點無關(guān).辨析概念例題互動【例1】判斷下面的說法是否正確.TOC\o"1-5"\h\z⑴向量的模的取值范圍是(0,+8)? (X)若a與b都是單位向量，則Ia1=1bI. (P)若a//b，則a與b的方向相同. (X)—?—? —?物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對相等向量.(X)―? ―?―?若IABIH0，則AB=BA? (X)［設(shè)計意圖］本節(jié)內(nèi)容概念較多，容易混淆，這5個概念辨析題的設(shè)置基本上涵蓋了本節(jié)中所有的新概念以及易錯點，在辨析過程中加強學(xué)生對概念的理解與記憶?［解法點評］緊扣向量的相關(guān)概念，同時關(guān)注零向量.【例2】如圖5,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖5中與OA、OBOA、OB、OC［設(shè)計意在尋找相等中，進一步量的概念.［教學(xué)片圖［設(shè)計意在尋找相等中，進一步量的概念.［教學(xué)片圖5圖］讓學(xué)生向量的過程體會相等向段］學(xué)生板書：OA=CB=DO;OB=DC=EO;OC=AB=ED=FO.［解法點評］抓住相等向量的兩大要素，即長度相等和方向相同.

【變式】如圖6,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，請在圖中作出與OA共線的向量.［設(shè)計意圖］學(xué)生分小組討論，通過學(xué)生合作學(xué)習(xí)，進一步體會共線向量的概念以及共線向量和相等向量的區(qū)別.［解法點評］①怎么作？在圖中找與線段OA平行或共線的線段，可以先找與之平行的線段，再找與之共線的線段；②從對比與向量OA相等和共線向量的結(jié)果看，可以得出怎樣的結(jié)論？相等必共線，共線未必相等.［教學(xué)片段］ 一學(xué)生討論.課堂小結(jié)作業(yè)布置【課堂小結(jié)】有哪位同學(xué)能夠回答一下本節(jié)課我們都學(xué)習(xí)了哪些新的概念？［設(shè)計意圖］由學(xué)生總結(jié)概括本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以提煉.并總結(jié)學(xué)習(xí)新概念的基本思路，即：思考題：平行向量與平行線段的區(qū)別與聯(lián)系？閱讀課本78頁《向量及向量符號的由來》.［設(shè)計意圖］布置作業(yè)面向全體學(xué)生，①旨在學(xué)習(xí)鞏固向量及其相關(guān)概念；②通過自學(xué)閱讀材料，讓學(xué)生了解向量的歷史背景及其符號的來源，從歷史的角度認(rèn)識向量及其符號，讓學(xué)生體會高度抽象的數(shù)學(xué)概念不是憑空出現(xiàn)的，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．學(xué)生質(zhì)疑】給學(xué)生一點時間讓學(xué)生思考一下有沒有什么問題需要提出質(zhì)疑的？［設(shè)計意圖］培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑探究的能力.［教學(xué)片段］師：小結(jié)完成了，作業(yè)也布置了，同學(xué)們是否有什么疑惑的地方，可以提出來.師：（如果沒有學(xué)生回應(yīng)）那同學(xué)們也可以課下思考一下，如果有疑惑，下一節(jié)課提出來一起探討.引例再探前后呼應(yīng)【引例再探】大家想不想知道你們的學(xué)長到底在哪個城市讀大學(xué)呢？［短信內(nèi)容］學(xué)長：“劉老師您好，祝您教師節(jié)快樂！我考到了一個離合肥直線距離800公里的大城市讀大學(xué)，目前在軍訓(xùn)了，您猜我在哪個城市？”老師“天津?西安?廈門?”學(xué)長“孔雀東南飛！”［設(shè)計意圖］呼應(yīng)引例