第3章不等式單元綜合測試卷（解析版）

第3章不等式單元綜合測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】對一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，，解得，綜上可得，，故選：C.2．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，；故選：B.3．若不等式?的解集為?，則?=（）A．? B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)椴坏仁?的解集為?所以，-2和1是方程?的兩實(shí)數(shù)根所以，解得所以.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.4．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】則故選：C5．設(shè)，其中、是正實(shí)數(shù)，且，，則與的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?、是正?shí)數(shù)，且，則，，因此，.故選：B.6．某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析每輛客車營運(yùn)的總利潤（單位：10萬元）與營運(yùn)年數(shù)為二次函數(shù)關(guān)系（如圖所示），則每輛客車營運(yùn)（）年時(shí)，其營運(yùn)的年平均利潤最大.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】根據(jù)題意得到：拋物線的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)，開口向下，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，所以，解得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：C7．在上定義運(yùn)算：，若不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，則a最大為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于，即對任意x恒成立.，所以，解得，故選：D8．已知，且，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為2.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（多選）對于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【解析】對于A：因?yàn)?，所以，，所以，故A為真命題；對于B：因?yàn)?，，所以，同理可得，即，故B為真命題；對于C：因?yàn)?，，所以，故C為假命題；對于D：因?yàn)?，，所以，，，所以，故D為假命題．故選：AB．10．（多選）已知，都為正數(shù)，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)椋紴檎龜?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，由選項(xiàng)A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以B正確，對于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但，都為正數(shù)，故等號(hào)取不到，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)椋紴檎龜?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D正確，故選：ABD11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．關(guān)于x的不等式的解集可以是B．關(guān)于x的不等式的解集可以是C．函數(shù)在上可以有兩個(gè)零點(diǎn)D．“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】若不等式的解集是，則且，得，而當(dāng)，時(shí)，不等式，即，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；取，，此時(shí)不等式的解集為，故B正確；取，，則由，得或3，故C正確；若關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則得，若，則，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且，即關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根．因此“關(guān)于x的方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“”，故D正確．故選：BCD．12．已知方程及分別各有兩個(gè)整數(shù)根，及，，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A：由知，與同號(hào)．若，則，這時(shí)，所以，此時(shí)與矛盾，所以，．同理可證，故A正確；對于B：根據(jù)題意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正確，D正確；對于C：由A知，，，，是整數(shù)，所以，．由韋達(dá)定理有，所以，故C正確；故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，則的解集是___________.【答案】或【解析】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集為，所以，且方程得解為，則，所以，則不等式，即為，即，解得或，所以的解集是或.故答案為：或.14．已知集合,,若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】依題意，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，又，，于是得，解得，或，解得，而，則，綜上得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：15．若關(guān)于x的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【解析】由，即，設(shè)，當(dāng)時(shí)，最小值，而，，∴，∴要使不等式在內(nèi)有解，則，即a的范圍是.故答案為：.16．若，，，則當(dāng)______時(shí)，取得最小值．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，即．?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最小值．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）實(shí)數(shù)，滿足，.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求的取值范圍．【解析】（1）由，兩式相加得，，∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）設(shè)，則，解得，∴，∵，．∴，，∴，即的取值范圍為．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．(1)求的最小值；(2)若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．【解析】（1）由x+y＝2，得1，又x＞0，y＞0，所以（）（）＝55+28，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8；（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m恒成立，又x+y＝2，所以（），由（1）可知8，所以（）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時(shí)等號(hào)成立，即4，故m的最大值是4．19．（12分）某光伏企業(yè)投資萬元用于太陽能發(fā)電項(xiàng)目，年內(nèi)的總維修保養(yǎng)費(fèi)用為萬元，該項(xiàng)目每年可給公司帶來萬元的收入．假設(shè)到第年年底，該項(xiàng)目的純利潤為萬元．（純利潤累計(jì)收入總維修保養(yǎng)費(fèi)用投資成本）(1)寫出純利潤的表達(dá)式，并求該項(xiàng)目從第幾年起開始盈利．(2)若干年后，該公司為了投資新項(xiàng)目，決定轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目，現(xiàn)有以下兩種處理方案：①年平均利潤最大時(shí)，以萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目；②純利潤最大時(shí)，以萬元轉(zhuǎn)讓該項(xiàng)目．你認(rèn)為以上哪種方案最有利于該公司的發(fā)展？請說明理由．【解析】（1）由題意可知，令，得，解得，所以從第年起開始盈利；（2）若選擇方案①，設(shè)年平均利潤為萬元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)該項(xiàng)目共獲利（萬元）．若選擇方案②，純利潤，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)該項(xiàng)目共獲利（萬元）．以上兩種方案獲利均為萬元，但方案①只需年，而方案②需年，所以僅考慮該項(xiàng)目的獲利情況時(shí)，選擇方案①更有利于該公司的發(fā)展．20．（12分）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1？(2)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的一個(gè)根大于且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3？(3)當(dāng)a為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根都大于0？【解析】（1）二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，故方程的一個(gè)根大于1，另一個(gè)根小于1，則，解得，所以a的取值范圍是．（2）方程的一個(gè)根大于且小于1，另一個(gè)根大于2且小于3，作滿足題意的二次函數(shù)的大致圖象，由圖知，，解得．所以a的取值范圍是．（3）方程的兩個(gè)根都大于0，則，解得，所以a的取值范圍是．21．（12分）已知關(guān)于x的不等式的解集為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋院蚥是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．因?yàn)槭堑囊粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得．將代入，得，解得，所以．（2）由（1）得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，由題意得，即，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．22．（12分）已知函數(shù)，(1)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(3)若使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值.【解析】(1)由得：恒成立，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí)，；令，解得：，；當(dāng)