多面體的外接球問題

22222多面體的外接球問題22222題一直四體外球補(bǔ)長體，方對線為的徑1．三棱錐

P

中，

為等邊三角形，

PA

，PA

，三棱錐

PABC

的外接球的表面積為（）A．

．

．

43

D．

3解析:由題意得：PAPB,兩相互垂直，以PA,PBPC為補(bǔ)成一個正方體，其外接球就為三棱錐PABC

的外接球，半徑為3，表面積為4

選．C2.在正三棱錐

中，

,F

分別是

AB

的中點，

EF

，若

，則

外接球的表面積為A

B

C

D

C3.在正三棱錐

中，

M

分別是

,

的中點，且

MNAM

，若側(cè)棱

SA3

，則正三棱錐

外接球的表面積為A

12

B

C

D

48（2019全國理12知棱錐ABC的個頂點在球的面上PAPBPCeq\o\ac(△,，)邊長為2的正三角形E，分是，AB的點，CEF=90°，則球的積為A8

B．4

C．6

D．

→→→→→→設(shè)，，C，是徑為2的面上的四個不同點，且滿A＝0ADAC0，AD＝0，用、1S、分表示ABC△、ABD的積則S＋＋的最大值_．231答案8→→→→→→→→→→→→解析0ADABAD∴AB⊥ADAC⊥ACDABABAD(216ABADADAC1≥ABABAD∴(ABAD)≤213×ACADS2題二等四面的接

補(bǔ)長體長體對的角為腰面的對ABCDABACADABCD()A

B

C6

DAEBFR2()

1

22222222222

2

y

2

2

6ABCD4

)

．

A，，，D

5四點在半徑為的面上，2

，

BC

，

，則三棱錐ABC的體積案秒殺法：根據(jù)題意構(gòu)造長方體，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐D，如圖所示，設(shè)長體的長、寬、

高分別為

，，，有

，解得a，，c，所以三棱錐的體積為

－

11432

a250＝．點撥：3.三棱錐S﹣ABC中面△的每個頂點處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°eq\o\ac(△,，)ABC的三條邊長分別為AB=3，AC=BC=，則三棱的體積（）A2

．10

24．D33解：∵底面△ABC的每個頂點處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，∴三棱錐的三個側(cè)面與底面ABC全等．∴三棱錐S﹣ABC可看做是面對角線分別3,5,的長方體沿著面對角線切去四個小棱錐2得到的幾何體．設(shè)長方體的棱長為,y,，2，解，xyz2y2z212∴三棱錐的體Vxyzxyzxyz故選．33題三有共邊兩直三形成三棱，球在共邊中處C1.在矩形中＝，BC＝3沿AC將形折一個直二面角體的外接球的體積為

B

，則四面A.

125125125125B.C.D.12963

解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2則SA+AC=SC，SB+BC=SC，即有⊥AC，⊥BC，取SC的中點O，連接OA，則由直角三角形的斜邊上的中線即為斜邊的一半，可得即有球的半徑r為1，則球的體積為故選：B．

=

．2

,所以,所以B2.三棱錐

的所有頂點都在球

O

的球面上且

SB

，

則球的體積為A

25632B33

C

16

D

解析：D3．四面體中，ABBC,BC

SC二面角S

的余弦值是

33

，則該四面體外接球的表面積是（）A．

6

．

C．

．

A4.在平面四邊形

中，

，

2

，

，將其沿對角線

BD

折成四面體

BCD

，使平面

'

平面

，若四面體

BCD

頂點都在同一個球面上，則該球的體積為A

32C23

D

5行邊形ABCD中

·BD

=0BD將邊形折起成直二角一BD2AB

，則三棱錐A－的接球的表面積為（）A．

．

．

4

D．

分析：

,所以ABBD,因ABCD為行邊形,所以

CD,

.因為ABDC直二面角所以面ABD面CBD,為面ACBD面ABD,AB

,所以面CBD.因為面CBD所以ABBC.分可知三棱錐的接球的球心為的點.因為

AB

.則三棱錐ABCD

的外接球的半徑為表積為

.故C正.6已知直角梯形ABCD，AB，CDAD，AD

，沿AC折成三棱當(dāng)三棱錐體積最大時，三棱錐外接球的體積為．，ADCD解：如圖，

∴O

AC2，BC2AC.取AC的中點EA的中點，連結(jié)DEOE∵當(dāng)三棱錐體積最大，∴平面

C面AOBOAOCOD

即為外接球的半徑.此時棱錐外接球的體積：

33

2222題四側(cè)垂于面?zhèn)却褂诿孢^面心做線球有線已四面體PABC其中ABC邊長為6的邊三角,PA面,PA2222

,則面體ABC

外接球的表面積為_______．

解：∵△是邊長為6的邊三角形，⊥面ABC，，的接圓的半徑為，=4∴四面體﹣外球的半徑為∴四面體﹣外球的表面積為π?π．答案為64π．D2.已三棱錐中BDCD,BC2AD,直AD底所成的角是則此時三棱錐外接球的體積是)

，A

8

B

248C333

一幾何體的三圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的（）A．外接球的半徑為

33

B．面積為

3

．體積為

3

D．接的表面積為

解：由三視圖可知，這是側(cè)面ACD⊥，

3

的三棱錐，BE=1，以三棱錐的體積為1133

，設(shè)外接球的圓心為，半徑為，則

OE3在直角三角形OEC中，OE+CE=OC，

()

，整理得

33xx

2x

，解得半徑

3

，所以外接球的表面積為，

3所以AC，都正確，故選B．題五其一側(cè)滿某特的件已三棱錐A中，ABACBDCD,直線底所成的角是則此時三棱錐外接球的體積是)

3

，A

8

B

222333

選D(太2016屆三上學(xué)期考試）在四面體

中知

BDC，四面體

的外接球的半徑為（）A

B．2．3D解：設(shè)四面體ABCD的接球球心為

O則O在過△ABD的心且直于平面ABD的垂線上．由題4

設(shè)知

eq\o\ac(△,，)

是正三角形，則點

N為△ABD的中心．P，M分別為，的中

點，則

N在DP上，

且

ON⊥DP，OM⊥CD．

因為∠CDB=∠ADB=60°，設(shè)CD

與平面

ABD

所成角，12∴cosθ=，sinθ=．在△DMN中，DM=33

2=1，3由余弦定理得13

13

MN∴四邊形DMON的外接圓的半OD．故球O的半徑故選：D．sin鞏提：O6ABCDOFGOABECDGABDA，DABCFCDGADHE，GH()A

163

B

3

C

643

D

3OEAB與IFHABCDOI

xIE2222

4

(23)

(22)

R

53

S

53

)

1003

D5

,,ABCD2CDBECDP)A

1712

B

12

C

3

D

173PEPAPEPBPE2HPABOH

11319PEPHOPPH2212P

3

ABCD/CDCDABCDACDABCACDABC()A4

B8

C

DADAC2BCACABDCAACBDEDEACBDE2OEODOBOAOB242

6

4242ABC3n

12

BCm

BCMABCOPMV

11mn93)93)344t

m

2

4

2

tf(t)t(93)，f(29f)ft)(8,9)32，ABC33已知

P,,B

是半徑2球面上的點，

PAPB

，

2

，點

B

在

上的射影為D，則三棱錐ABD體積的最大值________.PGABCPGhOGhhCG

BDx

xBDy

y

fxx+2

P2ABC2PB

2

PABCACPG2h7

2224ma2224maO