第06講運算方法課-分式與分式方程綜合提升-2022年八升九數(shù)學(xué)核心考點精講精練（蘇科版）（原卷版）

第6講 運算方法課--分式與分式方程綜合提升模塊一、分式概念及性質(zhì)1.分式的定義：整式除以整式，可以表示成的形式，如果除式中含有字母，那么稱為分式，其中稱為分式的分子，稱為分式的分母，對于任意一個分式，分母都不為零。2.分式有、無意義和分式的值為零的條件Ⅰ分式有意義的條件：分母不等于零，即；Ⅱ分式無意義的條件：分母等于零，即Ⅲ分式的值為零的條件：分子等于零且分母不等于零，即且。3.分式值為正和為負(fù)的條件Ⅰ分式的值為正數(shù)的條件：分式的分子與分母同號，即或Ⅱ分式的值為負(fù)數(shù)的條件：分式的分子與分母異號號，即或4.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于的整式，分式的值不變。用式子表示是：（為整式且）5.約分Ⅰ約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分。Ⅱ最簡分式的定義：一個分式的分子與分母已沒有公因式，這個分式稱為最簡分式，化簡分式時，通常要把結(jié)果化成最簡分式或者整式。Ⅲ約分的方法：（1）當(dāng)分式的分子和分母都是單項式時，先找出分子與分母的最大公因式，然后將分子和分母的最大公因式約去。（2）當(dāng)分式的分子與分母是多項式時，應(yīng)先把多項式分解因式，然后約去分子和分母的公因式。3.分式的變號法則：分式的分子、分母及分式本身的符號改變其中任意兩個，分式的值不變。即：01.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)01.反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)例題精講 例題精講【例1】當(dāng)取何值時，（1）分式的值為正；（2）分式的值為負(fù)；（3）分式的值為零。【例2】化簡下列分式：(1)=________(2)=_______(3)=__________(4)=______________舉一反三 舉一反三1．使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠12．若分式的值為0，則x的值為（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．43．如果把中的x和y都擴大到5倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大5倍 B．不變 C．縮小5倍 D．?dāng)U大4倍4．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（）A． B． C． D．5．當(dāng)x=1時，分式無意義；當(dāng)x=4時分式的值為0，則（m+n）2012的值是．6．當(dāng)x時，分式的值大于0．模塊二、分式乘除與加減運算1.分式的乘法法則Ⅰ分式的乘法法則：兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。即：。Ⅱ分式乘法運算的技巧：（1）兩個分式相乘，如果分子分母都是單項式，可以直接利用分式的乘法法則進(jìn)行計算，計算結(jié)果要通過約分化為最簡分式或整式。（2）如果分子分母都是多項式，那么先對分子分母進(jìn)行分解因式，然后運用分式的乘法法則進(jìn)行計算，計算結(jié)果要通過約分化為最簡分式或整式。2.分式的除法法則Ⅰ分式的除法法則：兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。即：。Ⅱ分式除法運算的技巧：（1）兩個分式相除，如果分子分母都是單項式，可以直接利用分式的除法法則進(jìn)行計算，計算結(jié)果要通過約分化為最簡分式或整式。（2）如果分子分母都是多項式，那么先對分子分母進(jìn)行分解因式，然后運用分式的除法法則進(jìn)行計算，計算結(jié)果要通過約分化為最簡分式或整式。3.同分母分式的加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，即；特別提醒：（1）分子相加減時，如果分子是單項式且符號為“”或分子是多項式，一定要給分式的分子加上括號。（2）分式加減運算的結(jié)果，必須化成最簡分式或整式4.通分Ⅰ通分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。Ⅱ確定最簡公分母的步驟：（1）把多項式的分母能分解因式的要先分解因式；（2）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（3）凡出現(xiàn)的字母或含有字母的式子為底的冪的因式都要取；（4）相同字母或含有字母的式子的冪的因式取指數(shù)最高的。按上述步驟取的因式的積，即為最簡公分母。Ⅲ通分的步驟：（1）確定最簡公分母；（2）在確定公分母后，還要確定各分式的分子、分母應(yīng)乘以的因式，這個因式就是最簡公分母除以原分母的商。5.異分母分式的加減法異分母分式相加減，先通分化為同分母的分式，然后按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計算。6.分式的四則混合運算分式的加、減、乘、除、乘方混合運算，要先算乘方，再乘除，最后算加減，如果有括號先算括號里的。02.分式加減乘除運算02.分式加減乘除運算例題精講 例題精講例1．計算：(1)(2）例2.計算：（1）；（2）例3.計算(1)(2)例4.通分（1）；（2）。例5.計算：（1）；（2）。計算（1）舉一反三 舉一反三1．計算的結(jié)果是（）A． B． C．y D．x2．化簡分式：．3．（a﹣）÷．4．化簡

5．先化簡：，并從0，﹣1，2中選一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．6．先化簡，再求值：÷（a﹣），其中a=，b=．模塊三、分式方程及應(yīng)用一.定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。二．解分式方程的步驟：（1）去分母，即在方程兩邊同時乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；（2）解這個整式方程；（3）驗根：把整式方程的根代入最簡公分母中，使最簡公分母不等于的根是原方程的根，否則，便是增根，必須舍去。三．增根和無解問題把整式方程的根代入最簡公分母中，使最簡公分母等于的根是原方程的增根。方程無解問題：一是方程解出來，不存在，二是解出來的是增根。四．列方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題：就是弄清題意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。設(shè)未知數(shù)：在題目中一般設(shè)欲求的量為x，這種設(shè)法叫直接設(shè)未知數(shù)；有時為了列方程簡便，也常常設(shè)其他的量為x，這種設(shè)法叫間接設(shè)未知數(shù)法。列方程：根據(jù)題目的實際意義找出等量關(guān)系，并把這個等量關(guān)系用已知數(shù)與未知數(shù)表示出來，這就是列方程。解方程并求出未知數(shù)的值，分式方程一定驗根。檢驗：這里的檢驗有兩重含義，一是檢驗解方程是否正確，二是檢驗所解出的根是否符合題意。

03.分式方程及應(yīng)用03.分式方程及應(yīng)用例題精講 例題精講例1.解下列關(guān)于方程（1）；（2）。例2.當(dāng)為何值時,解方程會產(chǎn)生增根?例3.為何值時，方程無解。例4.若關(guān)于的方程的解不大于13，求的取值范圍。

例5．甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍．直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度．分析：這是一道實際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時間，基本關(guān)系是路程=速度×?xí)r間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問題總的等量關(guān)系，即普通快車走完路程所用的時間與直達(dá)快車由甲地到乙地所用時間相等．例6．某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成．現(xiàn)由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？例7.興發(fā)服裝店老板用4500元購進(jìn)一批某款T恤衫，由于深受顧客喜愛，很快售完，老板又用4950元購進(jìn)第二批該款式T恤衫，所購數(shù)量與第一批相同，但每件進(jìn)價比第一批多了9元．（1）第一批該款式T恤衫每件進(jìn)價是多少元？（2）老板以每件120元的價格銷售該款式T恤衫，當(dāng)?shù)诙鶷恤衫售出時，出現(xiàn)了滯銷，于是決定降價促銷，若要使第二批的銷售利潤不低于650元，剩余的T恤衫每件售價至少要多少元？（利潤=售價﹣進(jìn)價）

舉一反三 舉一反三1．解方程：．2．解方程：．3．在長江某處一座橋的維修工程中，擬由甲、乙兩個工程隊共同完成某項目．從兩個工程隊的資料可以知道：若兩個工程隊合作24天恰好完成；若兩個工程隊合作18天后，甲工程隊再單獨做10天，也恰好完成，請問：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該項目各需多少天？（2）又已知甲工程隊每天的施工費為0.6萬元，乙工程隊每天的施工費為0.35萬元．要使該項目總的施工費不超過22萬元，則乙工程隊最少施工多少天？4．我市某校為了創(chuàng)建書香校園，去年購進(jìn)一批圖書．經(jīng)了解，科普書的單價比文學(xué)書的單價多4元，用12000元購進(jìn)的科普書與用8000元購進(jìn)的文學(xué)書本數(shù)相等．（1）文學(xué)書和科普書的單價各多少錢？（2）今年文學(xué)書和科普書的單價和去年相比保持不變，該校打算用10000元再購進(jìn)一批文學(xué)書和科普書，問購進(jìn)文學(xué)書550本后至多還能購進(jìn)多少本科普書？

課后鞏固 課后鞏固1．下列關(guān)于x的方程中，是分式方程的是（）A．3x= B．=2 C．= D．3x﹣2y=12．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．在下列方程①x2﹣x+；②﹣3=a+4；③+5x=6；④+=1中，是分式方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4.使代數(shù)式÷有意義的的值是（）A.且B.且C.且D.且且5.在下列各式中：①②③④相等的的兩個式子是（）A.①②B.①③C.②③D.③④6.化簡：等于（）A.B.C.D.7.計算：(1)；(2)先化簡，再求值：，其中m＝9．8.計算：(1)；(2)．

9.已知x2＋3x－8＝0，求的值．10.(1)已知x2－2＝0，求的值；已知，求的值．11.閱讀下面材料，并解答問題．材料：把分式拆分成一個整式與一個分式(分子為整式)的和的形式．【解答】由分母為－x2＋1，可設(shè)－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b則－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．∴，∴a＝2，b＝1．∴＝＝x2＋2＋．這樣，分式被拆分成了一個整式x2＋2與一個分式的和．

12.某公司投資某個工程項目，現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個項目．公司調(diào)查發(fā)現(xiàn)：乙隊單獨完成工程的時間是甲隊的倍；甲、乙兩隊合作完成工程需要天；甲隊每天的工作費用為元、乙隊每天的工作費用為元．根據(jù)以上信息，從節(jié)約資金的角度考慮，公司應(yīng)選擇哪個工程隊、應(yīng)付工程隊費用多少元？13.A、B兩地相距18公里，甲工程隊要在A、B兩地間鋪設(shè)一條輸送天然氣管道，乙工程隊要在A、B兩地間鋪設(shè)一