大學(xué)物理第五版答案

第五章靜電場(chǎng)

5-1電荷面密度均為十。的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板如圖(A)

放置，其周圍空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E(設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右為正、向左為負(fù))隨

位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線為圖(B)中的()

分析與解“無(wú)限大”均勻帶電平板激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為上二，方向沿帶電平

2%

板法向向外，依照電場(chǎng)疊加原理可以求得各區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向.因

而正確答案為(B).

5-2下列說(shuō)法正確的是()

(A)閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，曲面內(nèi)一定沒(méi)有電荷

(B)閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零

(C)閉合曲面的電通量為零時(shí)，曲面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必定為零

(D)閉合曲面的電通量不為零時(shí)，曲面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不可能為零

分析與解依照靜電場(chǎng)中的高斯定理，閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，

曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零，但不能肯定曲面內(nèi)一定沒(méi)有電荷；閉合曲面

的電通量為零時(shí)，表示穿入閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)等于穿出閉合曲面的電場(chǎng)線

數(shù)或沒(méi)有電場(chǎng)線穿過(guò)閉合曲面，不能確定曲面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必定為零：

同理閉合曲面的電通量不為零，也不能推斷曲面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不

可能為零，因而正確答案為(B).

5-3下列說(shuō)法正確的是()

(A)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)，電勢(shì)也一定為零

(B)電場(chǎng)強(qiáng)度不為零的點(diǎn)，電勢(shì)也一定不為零

(C)電勢(shì)為零的點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度也一定為零

(D)電勢(shì)在某一區(qū)域內(nèi)為常量，則電場(chǎng)強(qiáng)度在該區(qū)域內(nèi)必定為零

分析與解電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)是描述電場(chǎng)的兩個(gè)不同物理量，電場(chǎng)強(qiáng)度為零表

示試驗(yàn)電荷在該點(diǎn)受到的電場(chǎng)力為零，電勢(shì)為零表示將試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)移到

參考零電勢(shì)點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力作功為零.電場(chǎng)中一點(diǎn)的電勢(shì)等于單位正電荷從該

點(diǎn)沿任意路徑到參考零電勢(shì)點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功；電場(chǎng)強(qiáng)度等于負(fù)電勢(shì)梯度.

因而正確答案為①).

*5-4在一個(gè)帶負(fù)電的帶電棒附近有一個(gè)電偶極子，其電偶極矩〃的方向

如圖所示.當(dāng)電偶極子被釋放后，該電偶極子將()

(A)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)直到電偶極矩尸水平指向棒尖端而停止

(B)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至出偶極矩p水平指向棒尖端，同時(shí)沿電場(chǎng)線方向

朝著棒尖端移動(dòng)

(C)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向棒尖端，同時(shí)逆電場(chǎng)線方向

朝遠(yuǎn)離棒尖端移動(dòng)

(D)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至電偶極矩p水平方向沿棒尖端朝外，同時(shí)沿電場(chǎng)

線方向朝著棒尖端移動(dòng)

匚＞7

題5-4圖

分析與解電偶極子在非均勻外電場(chǎng)中，除了受到力矩作用使得電偶極子指

向電場(chǎng)方向外，還將受到一個(gè)指向電場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)方向的合力作用，因而正確

答案為(B).

5-5精密實(shí)驗(yàn)表明，電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍不會(huì)超過(guò)±10-2,,

而中子電量與零差值的最大范圍也不會(huì)超過(guò)±10-2"由最極端的情況考

慮，一個(gè)有8個(gè)電子，8個(gè)質(zhì)子和8個(gè)中子構(gòu)成的氧原子所帶的最大可能凈

電荷是多少？若將原子視作質(zhì)點(diǎn)，試比較兩個(gè)氧原子間的庫(kù)侖力和萬(wàn)有引

力的大小.

分析考慮到極限情況，假設(shè)電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍為2x10-1e,

中子電量為10〃e,則由?個(gè)氧原子所包含的8個(gè)電子、8個(gè)質(zhì)子和8個(gè)中

子可求原子所帶的最大可能凈電荷.由庫(kù)侖定律可以估算兩個(gè)帶電氧原子間

的庫(kù)侖力，并與萬(wàn)有引力作比較.

解一個(gè)氧原子所帶的最大可能凈電荷為

—=（1+2）X8X10—

二個(gè)氧原子間的庫(kù)侖力與萬(wàn)有引力之比為

竺="max,=2.8X10-6?1

L/Ic/_fJ

晨47K?0Gm

顯然即使電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子帶電量存在差異，其差異在±10一2%

范圍內(nèi)時(shí),對(duì)于像天體一類電中性物體的運(yùn)動(dòng)，起主要作用的還是萬(wàn)有引力.

5-61964年，蓋爾曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就

21

是由一個(gè)帶的上夸克和兩個(gè)帶一上e的下夸克構(gòu)成.若將夸克作為經(jīng)典

33

粒子處理（夸克線度約為10-2。m）,中子內(nèi)的兩個(gè)下夸克之間相距2.6OxioT5

m.求它們之間的相互作用力.

解由于夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷，由庫(kù)侖定律

F與徑向單位矢量e,.方向相同表明它們之間為斥力.

5-7質(zhì)量為機(jī)，電荷為一e的電子以圓軌道繞氫核旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)能為3.

證明電子的旋轉(zhuǎn)頻率滿足

其中如是真空電容率，電子的運(yùn)動(dòng)可視為遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律.

分析根據(jù)題意將電子作為經(jīng)典粒子處理.電子、氫核的大小約為l（）T5m,

軌道半徑約為10，om,故電子、氫核都可視作點(diǎn)電荷.點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖引力

是維持電子沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的向心力，故有

m——=

r

山此出發(fā)命題可證.

證由上述分析可得電子的動(dòng)能為

28兀%r

電子旋轉(zhuǎn)角速度為

4%）勿

由上述兩式消去r,得

7,2_。_32%&

V-百—-----7-

4兀me

5-8在氯化的晶體中，-價(jià)氯離子C廠與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)鈉離子Cs+

構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu).（1）求氯離子所受的庫(kù)侖力；（2）假設(shè)圖中

箭頭所指處缺少一個(gè)葩離子（稱作晶格缺陷），求此時(shí)氯離子所受的庫(kù)侖力.

題5-8圖

分析銅離子和氯離子均可視作點(diǎn)電荷，可直接將晶格頂角的離子與氯離子

之間的庫(kù)侖力進(jìn)行矢量疊加.為方便計(jì)算可以利用晶格的對(duì)稱性求氯離子所

受的合力.

解（1）由對(duì)稱性，每條對(duì)角線上的一對(duì)鈉離子與氯離子間的作用合力為

零，故B=0.

（2）除了有缺陷的那條對(duì)角線外，其它鈉離子與氯離子的作用合力為零，所

以氯離子所受的合力B的值為

2

——丁=',=1.92x109N

軌％廠3叫）。-

尸2方向如圖所示.

5-9若電荷。均勻地分布在長(zhǎng)為上的細(xì)棒上.求證：（1）在棒的延長(zhǎng)線,

且離棒中心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

/4廠-Lr

（2）在棒的垂直平分線上，離棒為〃處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E」/0,

2世?0fyj4廣+L~

若棒為無(wú)限長(zhǎng)（即Lf8）,試將結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度相比

題5-9圖

分析這是計(jì)算連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度.此時(shí)棒的長(zhǎng)度不能忽略，因而不

能將棒當(dāng)作點(diǎn)電荷處理.但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長(zhǎng)直

線上.如圖所示，在長(zhǎng)直線上任意取一線元dx,其電荷為dq=0dx〃，它在

點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為

，E，1dq

dE=-------Ne.

整個(gè)帶電體在點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=Jd￡

接著針對(duì)具體問(wèn)題來(lái)處理這個(gè)矢量積分.

(1)若點(diǎn)P在棒的延長(zhǎng)線上，帶電棒上各電荷元在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相

同，

E=

(2)若點(diǎn)P在棒的垂直平分線上，如圖(A)所示，則電場(chǎng)強(qiáng)度E沿x軸方向

的分量因?qū)ΨQ性疊加為零，因此，點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度就是

E=J=[sinad￡/

證(1)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度E=[—^7,利用幾何關(guān)系r'=

工2%/2

r-x統(tǒng)一積分變量，則

E=『210dx_01111°

22

P124TI￡0L(r—x)4izs0LJ?一L12r+L/2_its04r—I)

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸.

(2)根據(jù)以上分析，中垂線上一點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向沿y軸，大小為

E=產(chǎn)na.dE

上4踮o尸

利用幾何關(guān)系sina=r/r/,r—y/r2+x~統(tǒng)一積分變量，則

_;2

E1-。匕_。1

一1"24的。乂丁+三產(chǎn)3-2叫r74r2+/

當(dāng)棒長(zhǎng)￡-8時(shí)，若棒單位長(zhǎng)度所帶電荷2為常量，則尸點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度

^=liml——-/

!^2nf：0rJ1+4//萬(wàn)

_2_

27tM

此結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同[圖(B)].這說(shuō)明只要

滿足/〃2<<1,帶電長(zhǎng)直細(xì)棒可視為無(wú)限長(zhǎng)帶電直線.

5-10一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為求球心

處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

題5-10圖

分析這仍是一個(gè)連續(xù)帶電體問(wèn)題，求解的關(guān)鍵在于如何取電荷元.現(xiàn)將半

球殼分割為一組平行的細(xì)圓環(huán)，如圖所示，從教材第5-3節(jié)的例1可以看

出，所有平行圓環(huán)在軸線上P處的電場(chǎng)強(qiáng)度方向都相同，將所有帶電圓環(huán)的

電場(chǎng)強(qiáng)度積分，即可求得球心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解將半球殼分割為一組平行細(xì)圓環(huán)，任一個(gè)圓環(huán)所帶電荷元

dq=dd5=(T27iR2sinede,在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

1xdq.

dE=福廿+戶產(chǎn)'

由于平行細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，利用幾何關(guān)系

x=RcosH,〃=Rsin夕統(tǒng)——積分變量，有

1xdq1RcosO

dE=<5.2n-/?2sin^d0

4兀%3+/產(chǎn)4兀％R'

=sin。cos3d。

2%

/2

積分得E=f—sin6?cos^=—

A2%4%

5-11水分子電0中氧原子和氫原子的等效電荷中心如圖所示，假設(shè)氧

原子和氫原子等效電荷中心間距為ro.試計(jì)算在分子的對(duì)稱軸線上，距分子

較遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

PoII

題5-11圖

分析水分子的電荷模型等效于兩個(gè)電偶極子，它們的電偶極矩大小均為

凡=組,而夾角為2。疊加后水分子的電偶極矩大小為尸=2e%cos。，方

向沿對(duì)稱軸線，如圖所示.由于點(diǎn)0到場(chǎng)點(diǎn)A的距離x>>r0,利用教材第

5-3節(jié)中電偶極子在延長(zhǎng)線上的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=—%

4%x

可求得電場(chǎng)的分布.也可由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加，求電場(chǎng)分布.

解1水分子的電偶極矩尸=2庶c(diǎn)os?=2eqcos。在電偶極矩延長(zhǎng)線上

12p_14*cos。_1ercos0

匕-=o=Q3

4兀跖x4/X、/x

解2在對(duì)稱軸線上任取一點(diǎn)A,則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=E_^E+

2ercos^2e

E=2E+COS0—E=

2

4的o〃24TIEQX

由于/=/+汁一2X^COS6>

x-rcos0

cos夕Q

代入得

E_2ex-r0cos31

4麻o（x2+9之一2x7oCOS0）"'x2

測(cè)量分子的電場(chǎng)時(shí)，總有x>>r0,因此，式中

8+%2_2秩3。產(chǎn)=X,_={1一|,將上

式化簡(jiǎn)并略去微小量后，得

E_1r0ecos8

%%3

5-12兩條無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線相距為4,均勻帶有等量異號(hào)電荷，電荷

線密度為％（1）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（設(shè)該點(diǎn)到其中

一線的垂直距離為x）;（2）求每一根導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上

電荷作用的電場(chǎng)力.

E

T

_________2―""_________

不一X^

題5-12圖

分析（1）在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨(dú)在此所

激發(fā)的電場(chǎng)的疊加.（2）由尸=gE,單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所受的電場(chǎng)力等于另一根

導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場(chǎng)強(qiáng)度乘以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所帶電量，即：F=讓.應(yīng)該

注意：式中的電場(chǎng)強(qiáng)度E是另一根帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，電荷自身建

立的電場(chǎng)不會(huì)對(duì)自身電荷產(chǎn)生作用力.

解(1)設(shè)點(diǎn)P在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，E+、E-分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線在P

點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，則有

1

門(mén)口上門(mén)Y

E=E_+E=-----I------\i

+271%(x-x)

」.j

27l￡0X(小-X)

(2)設(shè)尸八尸一分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受的電場(chǎng)力，則有

F+=XE=—^—i

2吟一

A2

F=—2區(qū)=一——i

2%為

顯然有尸+=尸,相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引.

5-13如圖為電四極子，電四極子是由兩個(gè)大小相等、方向相反的電偶極

子組成.試求在兩個(gè)電偶極子延長(zhǎng)線上距中心為z的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度(假

設(shè)z?cb.

------------j-

q-q-qq

題5-13圖

分析根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解由點(diǎn)電荷電場(chǎng)公式，得

?11q,1q,1q,

E=------+------------------------7―Jr九

4%z4%(z-d)4%[z+d)

考慮到z?d,簡(jiǎn)化上式得

4%[zz~|_(l-d/z)(1-d/z)

q\2112d3/2d3d21，

—〈一二+=1+—+——+...+1----+——+…\k

4兀％[zz|_zzzz

,q卬]k

4兀%z4

通常將。=24/稱作電四極矩，代入得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

口13。，

E=-----^-k

4峻z

5-14設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與半徑為R的半球面的對(duì)稱軸平行，試

計(jì)算通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.

題5-14圖

分析方法1：由電場(chǎng)強(qiáng)度通量的定義，對(duì)半球面S求積分，即

叱=[EdS

方法2：作半徑為R的平面S'與半球面S一起可構(gòu)成閉合曲面，由于

閉合面內(nèi)無(wú)電荷，由高斯定理

廬心=、Zq=o

這表明穿過(guò)閉合曲面的凈通量為零，穿入平面S'的電場(chǎng)強(qiáng)度通量在數(shù)值上

等于穿出半球面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.因而

0=1E.d5=-口d5

解1山于閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷分布，根據(jù)高斯定理，有

0=,心=-廬心

依照約定取閉合曲面的外法線方向?yàn)槊嬖猟5的方向，

0=-E-nR~-cos%=nR~E

解2取球坐標(biāo)系，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和面元在球坐標(biāo)系中可表示為①

E=E（cose+sincos。e“+sinOsiner）

dS=R2si“d，de,

0=4￡-d5=1E7?2sin2^sinMd

sind

=nR°E

5-15邊長(zhǎng)為。的立方體如圖所示，其表面分別平行于。號(hào)、Oyz和Ozx

平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).現(xiàn)符立方體置于電場(chǎng)強(qiáng)度

E=（E1+kx）i+E2jG,Ei,E2為常數(shù)）的非均勻電場(chǎng)中，求電場(chǎng)對(duì)立

方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.

題5-15圖

解如圖所示，由題意E與。孫面平行，所以任何相對(duì)。中面平行的立方

體表面，電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零，即@<〃BC=0/,EFG=O.而

%BGF=JE?3=JKg+kx)i+Ej]\dSj)=E2a2

考慮到面SEO與面48GF的外法線方向相反，且該兩面的電場(chǎng)分布相同,

故有

①CDEO=-?ABGF=~E2a

同理%OEF=JE?d5=/[(￡,/+E2J)]-(-dSi)=-Ed

⑦BCDG=JE?d5=J[(&+ka)l+Ej]-(dSi)=(g+ka)a2

因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量

0==ka3

5-16地球周圍的大氣猶如一部大電機(jī)，由于雷雨云和大氣氣流的作用，

在晴天區(qū)域，大氣電離層總是帶有大量的正電荷，云層下地球表面必然帶有

負(fù)電荷.晴天大氣電場(chǎng)平均電場(chǎng)強(qiáng)度約為120Vm-',方向指向地面.試求

地球表面單位面積所帶的電荷(以每平方厘米的電子數(shù)表示).

分析考慮到地球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度指向地球球心，在大氣層中取與地球同心

的球面為高斯面，利用高斯定理可求得高斯面內(nèi)的凈電荷.

解在大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯血，其半徑

R=RE(RE為地球平均半徑).由高斯定理

c(￡.d5=-￡47r^=—

地球衣面電荷面密度

92

(7=￡q/AitR*~-￡0E=-1.06x10cm~

單位面積額外電子數(shù)

/7=cr/-e=6.63xl05cm-2

5-17設(shè)在半徑為R的球體內(nèi)，其電荷為球?qū)ΨQ分布，電荷體密度為

p-kr(0<r<R)

p=0(r>R)

火為一常量.試分別用高斯定理和電場(chǎng)疊加原理求電場(chǎng)強(qiáng)度。力的函數(shù)關(guān)系.

題5-17圖

分析通常有兩種處理方法：(1)利用高斯定理求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.由題

意知電荷呈球?qū)ΨQ分布，因而電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ，選擇與帶電球體同心的

球血為高斯面，在球面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有

<^￡-d5=￡-47tr2

根據(jù)高斯定理?dS=JJpd2,可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

(2)利用帶電球殼電場(chǎng)疊加的方法求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.將帶電球分割成無(wú)

數(shù)個(gè)同心帶電球殼，球殼帶電荷為dq="ZTir"?！?每個(gè)帶電球殼在殼內(nèi)

激發(fā)的電場(chǎng)dE=O,而在球殼外激發(fā)的電場(chǎng)

dE=兇，e,.

4兀分/

由電場(chǎng)疊加可解得帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)分布

E(r)=JdF(0<r<R)

￡(r)=fd￡(r>/?)

解1因電荷分布和電場(chǎng)分布均為球?qū)ΨQ，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常

量，由高斯定理亞?o=’Jpd/得球體內(nèi)(0WW?)

E(r)4nr2=—kr4nr2dr=—r4

eoeo

P(\kr-

4號(hào)

球體外G>R)

E(r)47ir2=—Tkr4nr2(ir=—r4

%小%

解2將帶電球分割成球殼，球殼帶電

dq=pdV=9，4無(wú)/2出，

由上述分析，球體內(nèi)(OWrWR)

r1

鳳尸)=1kr''kr~

-----，=尸紇

4%r4%

球體外(r>7?)

2

尸/、/1k/?4兀/"dr'kR

E⑺7菽丁一?癡巧

5-18一無(wú)限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為。，在平板中部有一半徑

為r的小圓孔.求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度.

(a)(b)

題5-18圖

分析用補(bǔ)償法求解利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的

對(duì)稱性電場(chǎng).本題的電場(chǎng)分布雖然不具有這樣的對(duì)稱性，但可以利用具有對(duì)

稱性的無(wú)限大帶電平面和帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)疊加，求出電場(chǎng)的分布.若把小圓

孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平板等效于一個(gè)完整

的帶電平板和一個(gè)帶相反電荷（電荷面密度，=一（7）的小圓盤(pán).這樣中心軸

線上的電場(chǎng)強(qiáng)度等效于平板和小圓盤(pán)各自獨(dú)立在該處激發(fā)電場(chǎng)的矢量和.

解山教材中第5-4節(jié)例4可知，在無(wú)限大帶電平面附近

%=——en

2%

為沿平面外法線的單位矢量；圓盤(pán)激發(fā)的電場(chǎng)

它們的合電場(chǎng)強(qiáng)度為

ax

E=B+￡*2

22

2e0y]x+r

在圓孔中心處x=0,則

E=0

在距離圓孔較遠(yuǎn)時(shí)x>>/,則

_a1

E=------1e

2%71+r2/x2n

o

K

上述結(jié)果表明，在X>>/時(shí)，帶電平板上小圓孔對(duì)電場(chǎng)分布的影響可以忽

略不計(jì).

5-19在電荷體密度為p的均勻帶電球體中，存在一個(gè)球形空腔，若將帶

電體球心0指向球形空腔球心0,的矢量用。表示（如圖所示）.試證明球形空

腔中任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=2

3%

O'

題5-19圖

分析本題帶電體的電荷分布不滿足球?qū)ΨQ，其電場(chǎng)分布也不是球?qū)ΨQ分

布，因此無(wú)法直接利用高斯定理求電場(chǎng)的分布，但可用補(bǔ)償法求解.挖去球

形空腔的帶電球體在電學(xué)上等效于一個(gè)完整的、電荷體密度為p的均勻帶電

球和一個(gè)電荷體密度為一P、球心在0,的帶電小球體(半徑等于空腔球體的半

徑).大小球體在空腔內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為E、E2,則尸點(diǎn)的電

場(chǎng)強(qiáng)度E=E|+E2.

證帶電球體內(nèi)部一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=J

3%

所以E.=—r,E,=---r

3q3%2

E=E}+E2=-^-(r,-r2)

3%

根據(jù)幾何關(guān)系八--2="，上式可改寫(xiě)為

E=￡a

3%

5-20一個(gè)內(nèi)外半徑分別為R和4的均勻帶電球殼，總電荷為Q，球

殼外同心罩一個(gè)半徑為心的均勻帶電球面，球面帶電荷為。2.求電場(chǎng)分布.

電場(chǎng)強(qiáng)度是否為離球心距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析.

題5-20圖

分析以球心0為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離r為半徑，作同心球面為高斯面.

由于電荷呈球?qū)ΨQ分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ分布，高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑

矢方向，且大小相等.因而§Ed5=E-4獷2.在確定高斯面內(nèi)的電荷Z4

后，利用高斯定理亞3=￡1/即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解取半徑為，的同心球面為高斯面，由上述分析

E-4兀，=/%

，該高斯面內(nèi)無(wú)電荷，￡q=0,故g=0

r<R]

Ri<r<公，高斯面內(nèi)電荷z?=水3-吊)

E=。"-用）

故

24%記—R?2

RI<r<R3,高斯面內(nèi)電荷為。i,故

4兀尸

r>心，高斯面內(nèi)電荷為。1+。2，故

P_01+。2

42

4TO0F

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑矢方向，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線如圖(B)所示.

在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而在緊貼

r=心的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的躍變量

QJ

bE=E「E

34叫R；%

這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的必然結(jié)果，且具有普遍性.實(shí)際帶

電球面應(yīng)是有一定厚度的球殼，殼層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度也是連續(xù)變化的，本題

中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)，在球殼的厚度變小時(shí)，￡的變化就變陡，最后當(dāng)厚

度趨于零時(shí)，E的變化成為一躍變.

5-21兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為品和優(yōu)

>7?,),單位長(zhǎng)度上的電荷為人.求離軸線為廠處的電場(chǎng)強(qiáng)度：(DrVR,

(2)/?,<r<R2,(3)r>R2.

(a)(b)

題5-21圖

分析電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也必定沿軸對(duì)稱分布，取

同軸圓柱面為高斯面，只有側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零，且

^EdS=E-2nrL,求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷即可解得各區(qū)域電

場(chǎng)的分布.

解作同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理

E-2nrL=>,q]

r<R\，￡q=0

&=0

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變

R\<r<7?2，>,q=遼

r>Rz.Eq=0

￡=o

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有?躍變

_XL_(T

\E=-------

2%r2nsnrL%

這與5-20題分析討論的結(jié)果一致.

5-22如圖所示，有三個(gè)點(diǎn)電荷勒、。2、①沿一條直線等間距分布且

0=。3=Q-己知其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零，求在固定。1、。3的

情況下，將0從點(diǎn)0移到無(wú)窮遠(yuǎn)處外力所作的功.

y

gl。.°2,3■

1_dJ一d_17

題5-22圖

分析由庫(kù)侖力的定義，根據(jù)、03所受合力為零可求得。2.外力作功用

應(yīng)等于電場(chǎng)力作功W的負(fù)值，即沙=一股求電場(chǎng)力作功的方法有兩種：(1)

根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力作的功為

%=[Q2Edl

其中E是點(diǎn)電荷。?、①產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度.

(2)根據(jù)電場(chǎng)力作功與電勢(shì)能差的關(guān)系，有

%=。2傀一匕）=0匕

其中％是a、烏在點(diǎn)o產(chǎn)生的電勢(shì)（取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)）.

解1山題意①所受的合力為零

Qi-"+Q―=0

?4%/%4唉（2/

解得4=_杷=廿0

由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，a、0激發(fā)的電場(chǎng)在y軸上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=E?+E3y2

22/2

2ns0(d+yJ

將。2從點(diǎn)。沿y軸移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，（沿其他路徑所作的功相同，請(qǐng)想?想

為什么？）外力所作的功為

-.u=-rf--el—第_—砂=-^―

1“4勺2%（屋+陰'28血/

解2與解1相同，在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時(shí)值=-；。，并由電勢(shì)

的疊加得。1、03在點(diǎn)。的電勢(shì)

4TO0（74吟d2%d

將。2從點(diǎn)。推到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中，外力作功

=_QL

8g)d

比較上述兩種方法，顯然用功與電勢(shì)能變化的關(guān)系來(lái)求解較為簡(jiǎn)潔.這是因

為在許多實(shí)際問(wèn)題中直接求電場(chǎng)分布困難較大，而求電勢(shì)分布要簡(jiǎn)單得多.

5-23己知均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為

2ra?0r

為電荷線密度.（1）求在r="和廠=r2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）在點(diǎn)電荷的電

場(chǎng)中，我們?cè)~8處的電勢(shì)為零，求均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電勢(shì)時(shí)，能

否這樣??？試說(shuō)明.

解(1)由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，若沿徑向積分，則有

(2)不能.嚴(yán)格地講，電場(chǎng)強(qiáng)度E=」一e,.只適用于無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直

2瓦￡/

線，而此時(shí)電荷分布在無(wú)限空間，尸一8處的電勢(shì)應(yīng)與直線上的電勢(shì)相等.

5-24水分子的電偶極矩p的大小為6.20義10一3°Cm.求在下述情況

下，距離分子為，?=5.00Xl(r9m處的電勢(shì).(D6=0。；(2)6=45°；

(3)6=90。，9為r與p之間的夾角.

解由點(diǎn)電荷電勢(shì)的疊加

—=上+工=厘

4兀4兀/匕4兀分-

(1)若6=0°6=—^=2.23x10-3v

4兀%尸

(2)若夕=45°K^cos4f=1.58X10-3V

4兀廠

(3)若6=90。(二川os90"二。

4兀%廣

5-25個(gè)球形雨滴半徑為0.40mm,帶有電量1.6pC,它表面的電勢(shì)有

多大？?jī)蓚€(gè)這樣的雨滴相遇后合并為個(gè)較大的雨滴，這個(gè)雨滴表面的電

勢(shì)又是多大？

分析取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)參考點(diǎn)，半徑為火帶電量為q的帶電球形雨滴

表面電勢(shì)為

4TI￡0R

當(dāng)兩個(gè)球形雨滴合并為一個(gè)較大雨滴后，半徑增大為呵，代入上式后可

以求出兩雨滴相遇合并后，雨滴表面的電勢(shì).

解根據(jù)已知條件球形雨滴半徑尺=0.40mm,帶有電量％=1.6pC,可

以求得帶電球形雨滴表面電勢(shì)

匕=，幺=36V

4兀7&

當(dāng)兩個(gè)球形雨滴合并為一個(gè)較大雨滴后，雨滴半徑&=次為，帶有電量的

=2/,雨滴表面電勢(shì)

2^=57V

一4兀/V27?,

5-26電荷面密度分別為和一0的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板,

如圖(a)放置，取坐標(biāo)原點(diǎn)為零電勢(shì)點(diǎn)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)分布并畫(huà)出電勢(shì)

隨位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線.

題5-26圖

分析由于“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板電荷分布在“無(wú)限”空間，不能

采用點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加的方法求電勢(shì)分布：應(yīng)該首先由“無(wú)限大”均勻帶電平

板的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，然后依照電勢(shì)的定義式求電勢(shì)分布.

解山''無(wú)限大”均勻帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度±￡i,疊加求得電場(chǎng)強(qiáng)度的

2%

分布,

0(x<-a)

E=\---i[-a<x<a\

2%

0(x>a)

電勢(shì)等于移動(dòng)單位正電荷到零電勢(shì)點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功

V=[E--■—X(-a<x<a)

V=p￡-d/+[EAl=-a(x<-a)

**%

K=『E-d/+，E-d/=-￡q(x>a)

&Ji1%

電勢(shì)變化曲線如圖(b)所示.

5-27兩個(gè)同心球面的半徑分別為品和%，各自帶有電荷和02.求:

(1)各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布曲線；(2)兩球面間的電勢(shì)差為多少？

題5-27圖

分析通常可采用兩種方法(1)由于電荷均勻分布在球面上，電場(chǎng)分布也具

有球?qū)ΨQ性，因此，可根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求電勢(shì).取同心球面

為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由匕,=[F-d/

可求得電勢(shì)分布.(2)利用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì),一個(gè)均勻帶電的球面，在球

面外產(chǎn)生的電勢(shì)為

4兀

在球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)處處相等，等于球面的電勢(shì)

4兀%R

其中及是球面的半徑.根據(jù)上述分析，利用電勢(shì)疊加原理，將兩個(gè)球面在各

區(qū)域產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，可求得電勢(shì)的分布.

解1(1)由高斯定理可求得電場(chǎng)分布

B=o(，,＜凡)

4=4方4(&＜「＜&)

七3=,廣冬.Q4)

4也尸

山電勢(shì)p=「E.d/可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布.

當(dāng)rWRi時(shí)，有

2廣

匕=『￡「d/+:…+比義

0+2J___r_1_I。I+。2

4g04兀%7?2

2

Qi4-

4峻凡4必。冬

當(dāng)R<rW/?2時(shí)，有

匕=『弓.5+工品―“

一。「111,e,+e2

4/rR24/7?2

一_。1I。2

4g/4TU:0R2

當(dāng)「時(shí)，有

匕=「￡/”=Qi+。2

4n￡Qr

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

11

4

4兀%(R]R2

解2(1)由各球面電勢(shì)的疊加計(jì)算電勢(shì)分布.若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面內(nèi)，即廠

WR,貝ij

匕=2i,Q.

4疵0及1

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之間，即尺WWR2,則

%=a+上_

~4妹0/4TU:07?2

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即,則

匕-Ql+Q

471M

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

4=(匕—匕2,0

471￡07?!471￡07?2

5-28一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的

體密度為？現(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫(huà)出分布曲線.

題5-28圖

分析無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱,其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸

對(duì)稱.選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理

可求得電場(chǎng)分布E。），再根據(jù)電勢(shì)差的定義

并取棒表面為零電勢(shì)（加=0），即可得空間任意點(diǎn)。的電勢(shì).

解取高度為/、半徑為廠且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面，由高斯定理

當(dāng)WR時(shí)

E-2jirl=Tir2lp/

得E⑺=畀

2%

當(dāng)時(shí)

E-2Ml=TIR?Ip/%

得4）=算

27r

取棒表面為零電勢(shì)，空間電勢(shì)的分布有

當(dāng)rWR時(shí)

當(dāng)rNR時(shí)

如圖所示是電勢(shì)，隨空間位置r的分布曲線.

5-29一圓盤(pán)半徑R=3.00XI。、m.圓盤(pán)均勻帶電，電荷面密度

2.00X105Cm2.（1）求軸線上的電勢(shì)分布;⑵根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯

度的關(guān)系求電場(chǎng)分布；（3）計(jì)算離盤(pán)心30.0cm處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

題5-29圖

分析將圓盤(pán)分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)圓環(huán)，利用帶電細(xì)環(huán)軸線上

一點(diǎn)的電勢(shì)公式，將不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)積分相加，即

可求得帶電圓盤(pán)在軸線上的電勢(shì)分布，再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)之間的微分關(guān)

系式可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解(1)帶電圓環(huán)激發(fā)的電勢(shì)

,r.1(r2nrdr

dr=-----7.?

4%"+一

由電勢(shì)疊加，軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì)的

(2)軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸方向.

(3)將場(chǎng)點(diǎn)至盤(pán)心的距離x=30.0cm分別代入式(1)和式(2),得

r=1691V

￡=5607Vm-1

當(dāng)x?R時(shí)，圓盤(pán)也可以視為點(diǎn)電荷，其電荷為quTrRZbnSKSxlO-sC

依照點(diǎn)電荷電場(chǎng)中電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，有

P=q=1695V

4%了

￡=—^-=5649Vm*

4ns0x

由此可見(jiàn)，當(dāng)x>>R時(shí)，可以忽略圓盤(pán)的幾何形狀，而將帶電的圓盤(pán)當(dāng)作

點(diǎn)電荷來(lái)處理.在木題中作這樣的近似處理,E和V的誤差分別不超過(guò)0.3%

和0.8%,這已足以滿足一般的測(cè)量精度.

2

5-30兩個(gè)很長(zhǎng)的共軸圓柱面（R=3.0X10m,R2=0.10m）,帶有

等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450V.求：（1）圓柱面單位長(zhǎng)度上帶有

多少電荷？（2）r=0.05m處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解（1）由習(xí)題5-21的結(jié)果，可得兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為

?丸

E=-----

2兀

根據(jù)電勢(shì)差的定義有

4ETdl=—^―In&

J&2%)7?,

-8-1

解得A=27ieot/12/ln^=2.1xlOCm

R\

(2)解得兩圓柱面之間r=0.05m處的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=上一=7475V-m-1

2nsar

5-31輕原子核（如氫及其同位素質(zhì)、航的原子核）結(jié)合成為較重原子核的

過(guò)程，叫做核聚變.在此過(guò)程中可以釋放出巨大的能量.例如四個(gè)氫原子核

（質(zhì)子）結(jié)合成一個(gè)氮原子核（a粒子）時(shí)，可釋放出25.9MeV的能量.即

4；HT；He+2：e+25.9MeV

這類聚變反應(yīng)提供了太陽(yáng)發(fā)光、發(fā)熱的能源.如果我們能在地球上實(shí)現(xiàn)核聚

變，就能獲得豐富廉價(jià)的能源.但是要實(shí)現(xiàn)核聚變難度相當(dāng)大，只有在極高

的溫度下，使原子熱運(yùn)動(dòng)的速度非常大，才能使原子核相碰而結(jié)合，故核聚

變反應(yīng)又稱作熱核反應(yīng).試估算：（1）一個(gè)質(zhì)子（；H）以多大的動(dòng)能（以電子

伏特表示）運(yùn)動(dòng)，才能從很遠(yuǎn)處到達(dá)與另一個(gè)質(zhì)子相接觸的距離？（2）平均

熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能達(dá)到此值時(shí)，溫度有多高？（質(zhì)子的半徑約為1.0X10-卜m）

分析作為估算，可以將質(zhì)子上的電荷分布看作球?qū)ΨQ分布，因此質(zhì)子周圍

的電勢(shì)分布為

將質(zhì)子作為經(jīng)典粒子處理，當(dāng)另一質(zhì)子從無(wú)窮遠(yuǎn)處以動(dòng)能反飛向該質(zhì)子時(shí)，

勢(shì)能增加，動(dòng)能減少，如能克服庫(kù)侖斥力而使兩質(zhì)子相碰，則質(zhì)子的初始動(dòng)

能

.

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假設(shè)該氫原子核的初始動(dòng)能就是氫分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能，根據(jù)分子動(dòng)理論

知：

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