考點(diǎn)10平面向量（核心考點(diǎn)講與練）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)講與練（新高考專(zhuān)用）原卷版

考點(diǎn)10平面向量（核心考點(diǎn)講與練）一、平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)如a，eq\o(AB,\s\up6(→))零向量長(zhǎng)度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個(gè)非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0a0＝eq\f(a,|a|)共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱(chēng)這些向量共線或平行向量a與b平行記作a∥b相等向量同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量，或相等的向量如eq\o(AB,\s\up6(→))＝a相反向量與向量a反向且等長(zhǎng)的向量，叫做a的相反向量記作－a2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.二、向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a關(guān)于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.兩個(gè)向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱(chēng)作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉.(2)范圍：向量夾角〈a，b〉的范圍是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則a與b垂直，記作a⊥b.2.向量在軸上的正射影已知向量a和軸l(如圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，過(guò)點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在軸l上的正射影(簡(jiǎn)稱(chēng)射影)，該射影在軸l上的坐標(biāo)，稱(chēng)作a在軸l上的數(shù)量或在軸l的方向上的數(shù)量.eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在軸l上正射影的坐標(biāo)記作al，向量a的方向與軸l的正向所成的角為θ，則由三角函數(shù)中的余弦定義有al＝|a|cos__θ.3.向量的數(shù)量積(1)平面向量的數(shù)量積的定義：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.①數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).③夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).④兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量線性運(yùn)算的三要素向量的線性運(yùn)算滿(mǎn)足三角形法則和平行四邊形法則，向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.2.三個(gè)常用結(jié)論(1)O為△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，滿(mǎn)足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，則P，A，B共線?x＋y＝1.注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別.3.平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).4.平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組.5.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.6.計(jì)算向量數(shù)量積的三種方法定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活運(yùn)用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.7.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.8.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧.平面向量的概念及線性運(yùn)算及基本定理1.（2020安徽滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校月考）如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是（）A．＋＋＝0B．＋＋＝0C．＋＋＝D．＋＋＝2.（2020內(nèi)蒙古鄂爾多斯市第一中學(xué)）下列結(jié)論正確的是A．若向量，共線，則向量，的方向相同B．向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上C．中，D是BC中點(diǎn)，則D．若，則使3.（2020湖南省婁底市模擬）已知，，則（）A.2 B. C.4 D.平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.（2022河北省滄州市高三9月教學(xué)監(jiān)測(cè)）如圖，中，，，分別是的三等分點(diǎn)，若，則（）A. B.2 C.3 D.62.（2022湖北省黃石市高三9月調(diào)研）已知向量的夾角為，，，則（）A．B．21C．3D．93.（2022貴州省貴陽(yáng)第一中學(xué)高三月考卷）已知向量，且，則（）A．B．C．2D．-24.（多選題）已知向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．對(duì)于任意，，D．對(duì)于任意，，5.（2022北京八一學(xué)校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，其中向量，．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，已知，，的面積為，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．1.（2021年全國(guó)高考乙卷）已知向量，若，則_________．1.（2021年全國(guó)高考乙卷）已知向量，若，則__________．3.（2021年全國(guó)高考甲卷）若向量滿(mǎn)足，則_________.4.（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（）A. B.C. D.一、單選題1.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古塔多為六角形或八角形.已知某八角形塔的一個(gè)水平截面為正八邊形ABCDEFGH，如圖所示，若，則（）A. B. C. D.2.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，P為直線上一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為（）A. B.-1 C. D.-23.（2022·山東濟(jì)寧·一模）等邊三角形ABC的外接圓的半徑為2，點(diǎn)P是該圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.4 B.7 C.8 D.114.（2022·遼寧大東·模擬預(yù)測(cè)）中，，D為AB的中點(diǎn)，，則（）A.0 B.2 C.-2 D.-45.（2022·山東臨沂·一模）設(shè)向量，，若，則（）A.－3 B.0 C.3 D.3或－36.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等邊△的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，且，則（）A. B. C. D.7.（2022·廣東高州·二模）已知向量，，且，則m的值為（）A. B.2 C. D.48.（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）《跳舞的線》是一款音樂(lè)類(lèi)游戲，要求玩家用雙眼觀察障礙物與陷阱，用雙耳聆聽(tīng)節(jié)奏，根據(jù)音樂(lè)引線條通過(guò)多重地形，最終抵達(dá)終點(diǎn)．玩家每點(diǎn)擊一次屏幕，線條將會(huì)旋轉(zhuǎn)，且為順時(shí)針、逆時(shí)針交替轉(zhuǎn)向．如圖是游戲中“沙漠”一關(guān)的截圖，線條從點(diǎn)前進(jìn)到點(diǎn)有兩條路徑：①和②．假設(shè)轉(zhuǎn)彎不改變線條的速度，則兩條路徑所需時(shí)間一定相同，這一點(diǎn)可以由某定理保證．這個(gè)定理是（）A.平面向量基本定理 B.共線向量基本定理C.有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形 D.兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)二、多選題9.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則有最小值B.若，則有最小值C.若，則的值為D.若，則的值為110.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，BD相交于點(diǎn)F，連接CF，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.11.（2022·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.12.（2022·廣東韶關(guān)·一模）已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.