《空間向量的正交分解和其坐標(biāo)表示》專題培訓(xùn)課件_第1頁
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文檔簡介

平面向量基本定理:平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo【溫故知新】問題:

我們知道,平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示(平面向量基本定理)。對(duì)于空間任意一個(gè)向量,有沒有類似的結(jié)論呢?xyzOQP

由此可知,如果是空間兩兩垂直的向量,那么,對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量。探究:在空間中,如果用任意三個(gè)不共面向量代替兩兩垂直的向量,你能得出類似的結(jié)論嗎?任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。一、空間向量基本定理:

如果三個(gè)向量不共面,那么對(duì)空間任一向量,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使都叫做基向量(1)任意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底。特別提示:對(duì)于基底除了應(yīng)知道不共面,還應(yīng)明確:

(2)由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著它們都不是。(3)一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念。1、已知向量{a,b,c}是空間的一個(gè)基底.求證:向量a+b,a-b,c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.練習(xí)練2

設(shè)且是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組

②③④,其中可以作為空間的基底的向量組有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)分析:能否作為空間的基底,即是判斷給出的向量組中的三個(gè)向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以構(gòu)造一個(gè)平行六面體直觀判斷A1AD1C1B1DCB設(shè),易判斷出答案C二、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直,且長都為1,則這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系:在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底e1,e2,e3,以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點(diǎn)O叫做原點(diǎn),向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面。xyzOe1e2e3二、空間向量的直角坐標(biāo)系xyzOe1e2e3

給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標(biāo)向量,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo),記作.P=(x,y,z)例1平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.分析:要用a,b,c表示MN,只要結(jié)合圖形,充分運(yùn)用空間向量加法和數(shù)乘的運(yùn)算律即可.ABCDA1B1D1C1MNABCDA1B1D1C1MN解:連AN,則MN=MA+ANMA=-AC=-(a+b)1313AN=AD+DN=(2b+c)13=(-a+b+c)13∴MN=MA+AN例1平行六面體中,若MC=2AM,A1N=2ND,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,試用a,b,c表示MN.B

OACPNMQ例2.已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線為OB,AC,M,N,分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q

是線段MN三等分點(diǎn),用基向量OA,OB,OC表示向量OP,OQ.變式空間四邊形OABC中,M在OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,設(shè)

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