高三數學理創(chuàng)新設計資料包11

最新考綱

1.理解空間直線、平面位置關系的定義，并了解有關的可以作為推理依據的公理和定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題．第2講空間點、線、面的位置關系1．平面的基本性質 (1)公理1：如果一條直線上的_____在一個平面內，那么這條直線在此平面內． (2)公理2：過_______________的三點，有且只有一個平面． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有_____公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．知識梳理兩點不在一條直線上一個 (4)公理2的三個推論

推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面．

推論2：經過兩條_____直線有且只有一個平面．

推論3：經過兩條_____直線有且只有一個平面．2．空間中兩直線的位置關系 (1)位置關系的分類相交平行平行相交任何 (2)異面直線所成的角

①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O作

直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的____________叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．

②范圍：_________． (3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于___________的兩條直線互相平行．

②等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角___________．銳角(或直角)同一條直線相等或互補3．空間直線與平面、平面與平面的位置關系 (1)直線與平面的位置關系有_____、_____、_________三種情況． (2)平面與平面的位置關系有_____、_____兩種情況．相交平行在平面內平行相交1．判斷正誤(在括號內打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)梯形可以確定一個平面． () (2)圓心和圓上兩點可以確定一個平面． () (3)已知a，b，c，d是四條直線，若a∥b，b∥c，c∥d，則a∥d. () (4)兩條直線a，b沒有公共點，則a與b是異面直線．()診斷自測√×√×2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b (

) A．一定是異面直線

B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線

D．不可能是相交直線

解析由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a，b為異面直線相矛盾．

答案

C3．下列命題正確的個數為 (

)

①經過三點確定一個平面

②梯形可以確定一個平面

③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面

④如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合 A．0B．1C．2D．3

解析經過不共線的三點可以確定一個平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，∴③正確；命題④中沒有說明三個交點是否共線，∴④不正確．

答案

C4．(2014·廣東卷)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結論一定正確的是(

) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關系不確定

解析構造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1

D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為

B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l4，故

排除A，B，C，選D.

答案

D5．(2015·成都診斷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是棱A1B1，A1D1的中點，則A1B與EF所成角的大小為________．考點一平面基本性質的應用【例1】(1)以下四個命題中，正確命題的個數是(

)

①不共面的四點中，其中任意三點不共線；

②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；

③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 (2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點，那么正方體的過P，Q，R的截面圖形是 (

) A．三角形

B．四邊形 C．五邊形

D．六邊形

解析

(1)①正確，假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線；②不正確，從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因為此時所得的四邊形四條邊可以不在同一個平面上，如空間四邊形． (2)如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，

連接QP并延長與CB延長線交于M，

且QP反向延長線與CD延長線交于N，

連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，

RE為截面與正方體的交線，同理連

接NG交DD1于F，連接QF，FG，則QF，FG為截面與正方體的交線，∴截面為六邊形PQFGRE.

答案

(1)B

(2)D

規(guī)律方法

(1)公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據；公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據；公理3是證明三線共點或三點共線的依據．要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理．(2)畫幾何體的截面，關鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個公共點即可確定，作圖時充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．【訓練1】如圖所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形的序號是________．解析可證①中的示四邊臣形PQ挖RS為梯豎形；②中，夕如圖丈所示名，取A1A和BC的中蠟點分別為M，N，可宇證明PM第QN骨RS為平井面圖形，謙且PM侮QN柜RS為正番六邊泰形；③中，可證名四邊裕形PQ扁RS為平落行四石邊形層；④中，可證Q點所活在棱典與面PR腫S平行怕，因特此，P，Q，R，S四點傷不共嗓面．答案①②究③考點袋二窮空間堅兩條顧直線漿的位艦置關由系【例2】如圖躲是正撥四面矮體的俊平面跟展開漸圖，G，H，M，N分別掩為DE，BE，EF，EC的中莖點，度在這艘個正羨四面樸體中虧，①GH與EF平行像；②BD與MN為異拘面直還線；③GH與MN成60禁°角；④DE與MN垂直嫁．以上辛四個隙命題吉中，矮正確亮命題岸的序旅號是__晶__母__她__．解析把正仆四面怎體的魯平面意展開佩圖還尸原．稿如圖所磨示，GH與EF為異禾面直折線，BD與MN為異億面直算線，GH與MN成60駝°角，DE⊥MN.答案②③吃④規(guī)律閣方法空間摸中兩益直線輸位置俯關系罰的判略定，罵主要識是異萄面、曲平行爆和垂至直的親判定賞，對僅于異貨面直閣線，牧可采誰用直典接法側或反抗證法哥；對爹于平單行直用線，母可利惱用三戒角形(梯形)中位隨線的鳥性質春、平損行公孔理及驢線面駱平行攪與面隱面平槳行的鵝性質國定理溉；對躁于垂懼直關黨系，栽往往錢利用萍線面傍垂直為的性班質來集解決組．【訓練2】起(狠1)膠(2部01費4·余姚木模擬)如圖報，在故正方體AB蛇CD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中轉點，君則下述列說勝法錯噸誤的是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行(2武)在圖育中，G，H，M，N分別蒜是正南三棱性柱的席頂點破或所再在棱洋的中繪點，燥則表暑示直妨線GH，MN是異召面直劍線的尖圖形困有__駱__課__膜__天(填上仙所有扣正確煤答案輝的序獨號)．解析(1往)如圖旺，連盞接C1D，BD，AC，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確富；∵CC1⊥平中面AB恨CD，∴CC1⊥BD，∴MN與CC1垂直掠，故A正確傷；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN與AC垂直，沒故B正確伍；∵A1B1與BD異面放，MN∥BD，∴MN與A1B1不可敘能平流行，瞇故D錯誤咽，選D.(2躺)圖①中，定直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點左共面刻，但M?面GH蘭N，因蹦此直睡線GH與MN異面姿；圖③中，扒連接MG，GM∥HN，因紫此GH與MN共面須；圖④中，G，M，N共面接，但H?面GM相N，因魂此GH與MN異面服．所觀以在朵圖②④中GH與MN異面疲．答案(1弱)D(2鈔)②困④考點歪三幼求異雨面直仍線所巾成的圈角【例3】如圖難，在穩(wěn)四棱嗎錐P－AB探CD中，險底面是璃邊長公為2的菱序形，忽∠DA香B＝60街°，對角脫線AC與BD交于于點O，PO⊥平欄面AB退CD，PB與平核面AB聯CD所成污角為60國°.(1列)求四澤棱錐毫的體目積；(2教)若E是PB的中友點，稠求異攤面直梯線DE與PA所成映角的寬余弦掃值．解(1捎)在四礎棱錐P－AB蠢CD中，∵PO⊥面AB儉CD，∴∠PB棵O是PB與面AB擺CD所成講的角丹，即∠PB搶O＝60烤°，在Rt△AB熄O中，AB＝2，∠OA筆B＝30政°，∴BO＝AB·s饑in曲3仰0°＝1，∵PO⊥面AB思CD，OB?面AB寨CD，∴PO⊥OB，(2去)取AB的中判點F，連項接EF，DF，∵E為PB中點恢，∴EF∥PA，∴∠DE干F為異非面直著線DE與PA所成嘉角(或其香補角)．規(guī)律笨方法求異歲面直總線所汁成的蚊角常壺用方玩法是女平移亭法，褲平移咸方法閥一般丟有三閑種類休型：俊利用亭圖中爭已有拔的平身行線查平移牢；利還用特毅殊點(線段繪的端永點或油中點)作平左行線召平移婦；補導形平繳移．【訓練3】文(進20測14伸·濰坊狡一模)已知蘇在三拉棱錐A－BC束D中，AB＝CD，且渣點M，N分別遠是BC，AD的中藥點．(1怕)若直棗線AB與CD所成拳的角視為60號°，則軟直線AB和MN所成澤的角彈為__陷__揀__叢__．(2瞧)若直炊線AB⊥CD，則糖直線AB與MN所成膊的角樂為__略__溪__柿__．所以∠MP驢N(或其半補角)為AB與CD所成封的角氏．則∠MP壇N＝60盞°或∠MP望N＝12快0°，若∠MP秘N＝60買°，深度思考求異面直線所成的角常采用“平移直線法”，你是不是用的這種方法？但還可以有一種不錯的方法：補形法．將該三椎錐放在長方體中，不妨用這種方法試一試本題第(1)問？因為PM∥AB，所以∠PM蔬N(或其漿補角)是AB與MN所成翠的角極．又因飽為AB＝CD，所以PM＝PN，則△PM夜N是等皆邊三薄角形著，所以∠PM尼N＝60煤°，即AB與MN所成立的角宣為60告°.若∠MP影N＝12屈0°，則易秘知△PM證N是等摟腰三嫁角形獵．所以∠PM絹N＝30拔°，即AB與MN所成鞋的角宴為30窄°.綜上那直線AB和MN所成儲的角胖為60齡°或30錘°.法二由AB＝CD，可鹿以把辭該三聰棱錐放餅在長梁方體AA1BB1－C1CD1D中進行遣考慮袍，如插圖，由M，N分別述是BC，AD的中陶點，所以MN∥AA1，即∠BA漁A1(或其弱補角)為AB與MN所成黎的角衡．連接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD，即∠AO六A1(或其制補角)為AB與CD所成赴的角掉．所穴以∠AO屆A1＝60佩°或12乞0°，由知矩形AA1BB1的性押質可獎得∠BA嘉A1＝60策°或30賠°.所以蛾直線AB和MN所成犧的角抹為60刪°或30噸°.由于AB⊥CD，所臂以∠MP罰N＝90魂°.又AB＝CD，所堡以PM＝PN，從旨而∠PM遲N＝45猴°，即AB與MN所成老的角王為45駕°.答案(1錯)6呈0°或30趁°(2即)4烤5°[思想數方法]1．主化要題級型的兆解題忍方法(1輝)要證使明“線共立面”或“點共瘦面”可先往由部猾分直汁線或榜點確珍定一唉個平閑面，漫再證芽其余叼直線英或點由也在勤這個枯平面籠內(即“納入親法”)．(2愧)要證層明“點共爺線”可將漂線看獨作兩萄個平閉面的金交線顆，只交要證花明這圣些點裙都是潤這兩歲個平慨面的膝公共庫點，國根據者公理3可知眨這些賽點在冰交線貴上或稠選擇熊某兩課點確惑定一疤條直孝線，評然后障證明身其他部點都駝在這包條