原子物理學(xué)課件第三章

原子物理學(xué)課件第三章第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五我們知道玻爾理論獲得了很大的成功：量子態(tài)得到實驗驗證；解釋了氫原子光譜，算出里德伯經(jīng)驗常量等等。但是這個理論無論在邏輯上還是在對實際問題的處理上都存在嚴(yán)重的缺陷與不足：理論上，由于玻爾理論仍然沒有擺脫經(jīng)典理論的束縛，把微觀粒子作為質(zhì)點直接應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律，所以存在著難以解決的內(nèi)在矛盾。如，為什么原子核與電子之間有靜電力作用，而電子在定態(tài)加速運動時卻不能發(fā)射電磁波？定態(tài)之間躍遷吸收和發(fā)射輻射的原因是什么?躍起過程是怎么樣的？等等盧瑟福質(zhì)疑：“當(dāng)電子從一個能態(tài)跳到另一能態(tài)時，您必須假設(shè)電子事先就知道它要往哪里跳！”薛定諤的非難：“糟糕的躍遷！”第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五因此玻爾理論也稱為“舊量子理論”，而只有完全拋棄經(jīng)典理論的約束，才能對這些問題進(jìn)行解釋，這就是量子理論。量子力學(xué)對原子問題的處理開辟了一個新的門徑。實際問題上，它無法解釋氫原子光譜的強(qiáng)度及精細(xì)結(jié)構(gòu)；無法解釋復(fù)雜程度僅高于氫原子的氦原子光譜；無法說明原子如何組成分子及構(gòu)成液體和固體的；等等第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.1

波粒二象性德布羅意物質(zhì)波1.光的波粒二象性2.德布羅意假設(shè)3.德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用4.德布羅意關(guān)系式的實驗驗證第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五波和粒子是經(jīng)典物理中兩個非常重要且截然不同的概念，它們是兩種僅有的且又完全不同的能量傳播方式。如聲波、沖擊波是以波的形式傳遞能量的；子彈、運行中的汽車是以粒子的形式傳遞能量的。從而它在空間的位置是可以無限精確地被測定的，也可以說粒子被約束在某一點；而對于波，原則上同樣可以無限精確地確定它的特征量波長和頻率，而這要求波不能被約束，必須是在空間無限擴(kuò)展的。對于粒子，原則上可以無限精確地確定它的質(zhì)量、動量和電荷，粒子可以看成質(zhì)點，第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1.

光的波粒二象性

關(guān)于光的本性歷史上曾經(jīng)一直存在兩種觀點，一是牛頓1672年提出的光的微粒說；另一種是荷蘭的惠更斯(C.Huygens)1678年提出的光的波動說。兩種觀點都能說明光的某種特性，但都不能完全解釋光的性質(zhì)。后來，1905年愛恩斯坦提出光的量子說，并成功地解釋了光電效應(yīng)，1917年他又提出光子也具有動量的觀點，從而認(rèn)為光是粒子性和波動性的矛盾統(tǒng)一體，及光具有波粒二象性，并由愛因斯坦關(guān)系式描述為：第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

光的這種特性在1923年的康普頓散射實驗中得到十分清晰的體現(xiàn)：在實驗中，用晶體譜儀測定X射線波長，它的根據(jù)是波動的衍射現(xiàn)象；而散射對波長的影響方式又只能把X射線當(dāng)作粒子來解釋(關(guān)于X射線的知識我們第六章再講)?？梢姡庠趥鞑r顯示出波性，在轉(zhuǎn)移能量時顯示出粒子性。光既能顯示出波的特性，又能顯示出粒子的特性；但是在任何一個特定的事例中，光要么顯出波性，要么顯出粒子性，兩者決不會同時出現(xiàn)。第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五2.

德布羅意假設(shè)

德布羅意指出任何物體都伴隨以波，不可能將物體的運動和波的傳播分拆開來。這種波稱德布羅意物質(zhì)波。德布羅意還給出了動量為P的粒子所伴隨波的波長λ與P的關(guān)系式，

這就是著名的德布羅意關(guān)系式。

光的波粒二象性是否具有更深刻的普遍意義呢？年輕的法國人德布羅意反向思考了這一問題。他指出:“在整個世紀(jì)以來，人們在輻射理論上，比起關(guān)注波動的研究方法來，是過于忽視了粒子的研究方法；在實物理論上，是否發(fā)生了相反的錯誤呢？是否我們關(guān)于粒子的圖象想的太多，而過分忽略了波的圖象呢？”于是他將光的波粒二象性大膽地賦予了電子這樣的實物粒子上，即承認(rèn)實物粒子也具有波粒二象性。第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五德布羅意關(guān)系式和質(zhì)能關(guān)系式是近代物理學(xué)中最重要的兩個關(guān)系式。通過普朗克常量把粒子性和波性聯(lián)系起來；通過光速把能量和質(zhì)量聯(lián)系起來。在表面形式上完全不同的物理量之間能找到內(nèi)在的聯(lián)系，不能不說是物理學(xué)的一大勝利。普朗克常量的意義:(1)量子化的量度，即它是不連續(xù)性(分立性)程度的量度單位。(2)聯(lián)系在物質(zhì)的波性和粒子性之間的橋梁。第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五3.

德布羅意關(guān)系式的應(yīng)用

(1)推導(dǎo)波爾角動量量子化條件若將德布羅意關(guān)系式應(yīng)用與氫原子上，原子定態(tài)假設(shè)便和駐波聯(lián)系起來，十分自然地給出角動量量子化條件。電子要想作穩(wěn)定運動，與電子運動對應(yīng)的波就應(yīng)該是一個注波，即電子回轉(zhuǎn)一周的周長應(yīng)為其波長整數(shù)倍。第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五這正是玻爾曾用過的角動量量子化條件。于是有即即由此可以看出，一個波要被束縛起來，就必須是一個駐波，而駐波的條件就是角動量量子化條件。第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五這正是玻爾的量子化的軌道半徑。（2）推導(dǎo)玻爾的量子化軌道半徑

如果把代入氫原子總能量表達(dá)式中第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五考慮在一個一維剛性匣子中的運動粒子（如圖）粒子在匣中的動能為mv2/2，運動周期為T＝2d/v（3）解決在剛性匣子中的運動粒子問題第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五于是粒子的動量為按照物質(zhì)波的觀點，物質(zhì)波來回反射形成駐波，駐波波長滿足動能為可見匣中的粒子的動量和能量都是量子化的，定域的波必然導(dǎo)致量子化行為。第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五4.德布羅意關(guān)系式的實驗驗證

德布羅意曾指出由于實物粒子的波粒二象性，當(dāng)加速后的電子穿過晶體時，將會發(fā)生電子波的衍射現(xiàn)象。1925年戴維孫－革末在一次偶然的事故中將鎳單晶化，電子穿過鎳單晶時，觀察到電子的衍射圖象第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

結(jié)論：當(dāng)加速電壓為54V，散射角為50度時反射束強(qiáng)度出現(xiàn)了一個極大值第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五電子在單晶金上的衍射圖樣第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五射線在晶格中散射示意圖圖中，散射平面既是一個鏡面，也是一個晶面，稱這種面為布喇格面，所產(chǎn)生的散射叫做布喇格散射，設(shè)其中橫豎晶格常數(shù)都是a，入射與出射方向的夾角為θ，兩個相鄰布喇格面的間距第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五如右圖，兩條電子波束的波程差為：存在強(qiáng)波射出的條件是波程差為波長的整數(shù)倍，即根據(jù)德布羅意假設(shè)，非相對論近似下，有第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五由上述兩式有：對鎳，a=0.215nm，若入射電子能量為E=54eV，則有一般情況下，n取幾個值（整數(shù)），就有幾個極大值出現(xiàn)在相應(yīng)的方向上，n=1,對應(yīng)一級布拉格衍射，n=2對應(yīng)二級布拉格衍射，等等；上式要有意義n只能取1，即只有一級布拉格衍射極大值，計算得：又由于電子進(jìn)入晶格后，在晶格內(nèi)其速度要增大，從而能量增大，由（12-10）式可知角度減小，所以上面得到的理論值比實驗值要大一些。第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五波長與X射線相同的電子衍射圖與X光衍射圖的比較:同年湯姆遜給出電子穿過多晶薄膜的衍射圖第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1961年約恩還給出了電子的單縫和多縫衍射圖

隨后人們從實驗還發(fā)現(xiàn)質(zhì)子、中子、原子、分子都具有波動性。德布羅意假設(shè)被大量事實證實，為此獲1929年諾貝爾物理獎。第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.2

波函數(shù)及其統(tǒng)計詮釋1.波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋2.波函數(shù)－幾率幅的性質(zhì)3.波函數(shù)統(tǒng)計意義的實驗說明第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1.

波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋

為此，德布羅意引入物質(zhì)波，物質(zhì)波需用波函數(shù)Ψ(r?t)描述。為了給出物質(zhì)波的波函數(shù)的物理意義，1926年玻恩提出波函數(shù)的幾率解釋，他指出波振幅的模方與該處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率成正比。因此德布羅意波函數(shù)是幾率幅。這個假設(shè)得到散射實驗的支持，取得了人們的認(rèn)可，玻恩因此獲得1954年諾貝爾物理獎。宏觀世界中采用經(jīng)典物理中的“決定性觀念”或者說“嚴(yán)格的因果律”解決物理問題。經(jīng)典力學(xué)中，一個受到已知力的系統(tǒng)的運動方程及初始條件知道后，就可以求出物體任何時刻的運動狀態(tài)微觀世界中，遇到的問題將與宏觀世界中的截然不同，對此，經(jīng)典物理學(xué)中的觀點也不再成立。第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五我們知道，波長為，頻率為，在方向運動的正弦電磁波的電場強(qiáng)度可以寫成：相應(yīng)地，在

方向以恒定線動量運動的粒子，其德布羅意波可以寫成：這樣，與物質(zhì)波相聯(lián)系的不僅有一個波長，而且還有個振幅，稱之為波函數(shù)。玻恩把解釋為在給定時間、在r處的單位體積中發(fā)現(xiàn)一個粒子的幾率。第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五2.

波函數(shù)——幾率幅的性質(zhì)

首先指出，在量子力學(xué)中，引入波函數(shù)是用來描述量子系統(tǒng)狀態(tài)的，所以波函數(shù)就是態(tài)函數(shù)。玻恩又賦予波函數(shù)以統(tǒng)計詮釋，按照玻恩的觀點：波函數(shù)Ψ(x)是概率波振幅，簡稱概率幅；波函數(shù)的模方

是幾率密度

(*代表復(fù)共軛)；|Ψ(x)|2dx是粒子出現(xiàn)在x~x+dx間隔內(nèi)的概率；粒子出現(xiàn)在x1～x2間隔內(nèi)的概率可表示為第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五由于|Ψ|2代表粒子出現(xiàn)的幾率密度，這意味著微觀粒子的位置（坐標(biāo)x）是隨機(jī)的，只能由波函數(shù)給出坐標(biāo)x的平均值：相應(yīng)的漲落(偏差)第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，還賦予波函數(shù)有如下一些基本性質(zhì)：

它們描述的相對概率是一樣的。然而對于經(jīng)典的波函數(shù)，這完全對應(yīng)兩種不同的狀態(tài)。(2)波函數(shù)滿足歸一化條件，即

,即全空間找到粒子的幾率為1。對于不歸一的波函數(shù)如

，總可以乘以一個常數(shù)c成

，使歸一，即

即使這樣波函數(shù)仍允許差一個

因子。就幾率分布而言，重要的是相對幾率分布，不難看出與

(c為常數(shù))所描述的相對幾率分布是完全相同的，因為在空間兩點x1和x2，的相對幾率為:(1)波函數(shù)是單值，連續(xù)，有限的；第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五3.

波函數(shù)統(tǒng)計意義的實驗說明

讓我們再回到對光的認(rèn)識上，人們用光子概念出奇地解釋了光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性，即在上述的物理過程中光的能量和動量都是以一份一份進(jìn)行交換的。那么用光子觀點將如何解釋光波的波動性，如干涉和衍射現(xiàn)象呢?為此人們減弱光強(qiáng)觀察干涉和衍射這些代表波動性的現(xiàn)象?，F(xiàn)代技術(shù)允許將光強(qiáng)減弱到每次只接收單個光子的精度，這稱單光子干涉、衍射實驗。結(jié)果發(fā)現(xiàn):

在每次實驗中每個光子的去向完全是隨機(jī)的，然而當(dāng)把長時間記錄的大量的單光子圖片拼集在一塊時，發(fā)現(xiàn)這種集合圖樣正是用一束強(qiáng)光(大量光子)在瞬間顯示的干涉圖樣。第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

由一個一個光子在多次實驗所表現(xiàn)出的總累積效果與大量光子在一次實驗所表現(xiàn)出的整體效果完全一模一樣，深刻地揭示出光的干涉，衍射并不是不同光子間的相互作用的結(jié)果，而是大量偶然事件總體表現(xiàn)出來的一種統(tǒng)計行為。如果將頻率為v的光波看作是具有能量(hv)光子的集合，那么光強(qiáng)I或光波振幅的模方等于光子能量hv與光子通量密度的乘積，這樣光波振幅模方|Ψ(x)|2可理解為光子出現(xiàn)在某處的幾率密度。第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

如果將對光波的這種認(rèn)識移植到德布羅意物質(zhì)波上，那么對玻恩賦予波函數(shù)統(tǒng)計詮釋也就不難理解了。人們用同樣的思想進(jìn)行電子的雙縫干涉實驗，發(fā)現(xiàn)當(dāng)大量電子通過雙縫后，在屏上的電子強(qiáng)度分布圖(c)與光束的兩縫干涉圖樣（a）是相同的，與子彈穿過雙孔的分布圖（b）完全不同。

第三十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，不論我們把入射光強(qiáng)減弱到什么程度，只要屏幕的曝光時間足夠長，我們?nèi)匀豢梢杂^察到雙縫干涉的圖象。當(dāng)光強(qiáng)非常弱時，從光量子的觀點看，入射光已弱到使光子一個一個地通過狹縫！同時，現(xiàn)代的實驗技術(shù)已可使電子流減弱到如此程度，使電子發(fā)射的間隔時間(或者，電子到達(dá)屏幕的間隔時間)比個別電子通過狹縫的時間長千萬倍，當(dāng)我們在屏幕上記錄電子時，雖然在開始時得到的電子分布似乎是毫無規(guī)律的，但是，積累的時間長了，我們?nèi)匀坏玫搅穗p縫干涉圖象!

另外，不論光子、電子、還是中子、質(zhì)子，我們都得到了類似的結(jié)果。這些結(jié)果充分表明干涉圖象的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒了的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互之間作用產(chǎn)生的，而是個別微觀粒子屬性的集體質(zhì)獻(xiàn)。第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五我們一般認(rèn)為，一個電子通過縫1(2)時，縫2(1)是否打開對它沒有任何影響，這樣的話縫1、2同時打開時屏上的強(qiáng)度應(yīng)該是分別打開時強(qiáng)度之和，事實卻非如此，即兩個縫對同一電子都有影響，難道

如右圖，P1、P2為光源，如果有電子通過，則通過的電子把光子散射到相應(yīng)的探測器D1、D2中，從而就探測出電子的具體路徑。但是最終結(jié)果卻是：當(dāng)我們在狹縫旁邊窺視到電子的行為時，干涉就消失了；不窺視的時候，干涉現(xiàn)象又產(chǎn)生了！電子分身！這顯然是不可能的。第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

為了理解電子干涉圖樣是怎么形成的，人們也用單個電子進(jìn)行實驗，右圖是六張電子雙縫干涉的比較圖，圖(a)是僅一個電子通過雙縫在屏上出現(xiàn)的圖樣，圖（b）和（c）分別是幾個電子通過雙縫后的干涉圖樣，圖（d）和（c）和（f）則是更多的電子通過雙縫后形成的干涉圖樣。這些干涉圖說明這樣一個事實：就單個電子而言，出現(xiàn)何處是隨機(jī)的，但大量電子通過雙縫后總體表現(xiàn)出一種統(tǒng)計規(guī)律，顯示出干涉圖樣。這些實驗，都是用任何經(jīng)典方法所絕對不能解釋的，但是，量子力學(xué)的核心正是包含在這些實驗之中。第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五上式中的后兩項代表相干項，顯示出波動性。所以微觀世界的統(tǒng)計規(guī)律是幾率幅相加律(不是經(jīng)典幾率直接相加)。物理學(xué)大師費曼把幾率幅疊加稱為“量子力學(xué)的第一原理”。他這樣寫到“如果一個事件可能有幾種方式實現(xiàn)，則該事件的幾率幅就是各種單獨實現(xiàn)的幾率幅之和，于是出現(xiàn)了干涉”。顯示了波動性。

另一個問題是，既然微觀粒子服從統(tǒng)計規(guī)律，為什么不引入幾率直接進(jìn)行描述，卻要借用波函數(shù)——幾率幅來描述呢?按照幾率論，一個事件假若有兩種可能發(fā)生，其幾率分別是P1和P2

，那么該事件出現(xiàn)的幾率是P=

P1+P2

。顯然這種幾率相加不會出現(xiàn)干涉效應(yīng)，不顯示微觀粒子的波動性，完全是經(jīng)典的描述圖象。反之，若一個事件有兩種可能發(fā)生的幾率幅Ψ1

和Ψ2

，該事件發(fā)生的幾率幅是Ψ1和Ψ2之疊加，即Ψ=Ψ1+Ψ2

那么相應(yīng)的幾率是第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

波函數(shù)是幾率幅，波函數(shù)又是描述量子體系的態(tài)函數(shù)，所以波的疊加就是態(tài)的疊加。波的疊加導(dǎo)致了干涉、衍射的波動性。態(tài)的疊加更深刻的含義是，如果態(tài)Ψ1是系統(tǒng)的一個可能態(tài)，Ψ2也是系統(tǒng)的另一個可能態(tài)，那么c1Ψ1+c2Ψ2

也是系統(tǒng)的可能態(tài)。這個態(tài)既不完全是Ψ1，也不完全是態(tài)Ψ2。而是它們的混合態(tài)。這種混合態(tài)導(dǎo)致了量子干涉效應(yīng)。也導(dǎo)致了在疊加態(tài)下測量結(jié)果的不確定性。

總之，從微觀客體的波粒二象性，人們悟出了波函數(shù)的統(tǒng)計意義。波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋又把波粒二象性有機(jī)地聯(lián)系起來；幾率幅即波函數(shù)的模方|Ψ|2

代表微觀粒子出現(xiàn)的幾率密度，而幾率幅即波函數(shù)的疊加，導(dǎo)致干涉、衍射等效應(yīng)，顯示出波動性。幾率幅有兩大特征量：模和相位，而后者在量子力學(xué)中伴演著重要的角色。第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.3不確定關(guān)系1.

不確定關(guān)系2.

不確定關(guān)系的例舉第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1.

不確定關(guān)系

接受了波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，完全摒棄了經(jīng)典粒子的軌道概念，即排除了粒子每時每刻有確定的位置和確定的動量。由于表示粒子出現(xiàn)在x~x+dx間隔的概率，所以由波函數(shù)只能給出粒子位置的平均值，同樣對粒子的動量也只能知道其統(tǒng)計平均值。海森伯還進(jìn)一步指出，平均偏差乘積有一個最小的限制，即這個關(guān)系稱不確定關(guān)系。以前的文獻(xiàn)中也稱為測不準(zhǔn)關(guān)系第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五上式表明，當(dāng)粒子被局限在x方向的一個有限范圍內(nèi)時，它所相應(yīng)的動量分量Px必然有一個不確定的數(shù)值范圍，兩者的乘積滿足。換言之，假如x的位置完全確定()，那么粒子可以具有的動量Px的數(shù)值就完全不確定()；當(dāng)粒子處于一個Px數(shù)值充全確定的狀態(tài)時()，我們就無法在x方向把粒子固定住，即粒子在x方向的位置是完全不確定的（）。粒子在客觀上不能同時具有確定的坐標(biāo)位置及相應(yīng)的動量。第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五在量子力學(xué)中我們將學(xué)習(xí)到任何兩個不對易的力學(xué)量，在任何量子態(tài)下的平均漲落都有相應(yīng)的不確定關(guān)系。從而時間和能量的不確定關(guān)系是：

上式表明，若一粒子在能量狀態(tài)E只能停留時間，那么，在這段時間內(nèi)粒子的能量狀態(tài)并非完全確定，它有一個彌散；只有當(dāng)粒子的停留時間為無限長時(即處于穩(wěn)態(tài))，它的能量狀態(tài)才是完全確定的()。第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五不確定關(guān)系十分有用，利用這個簡單的不確定關(guān)系式，常?？梢苑奖愕貙σ恍┪锢砹孔鞒鰯?shù)量級上的估算。下面以幾個具體例子加以說明。不確定關(guān)系是量子力學(xué)的又一條重要規(guī)律。它定量地揭示了粒子坐標(biāo)和動量的不確定度。這樣經(jīng)典的軌道概念在這里完全失去了意義，不確定關(guān)系是波粒二象性的必然結(jié)果。因為，粒子作一定的軌道運動時，它的位置x是完全確定的，即，那么根據(jù)（13-8）式，其具有的動量就是完全不確定的了，即，就顯然是不可能發(fā)生的！第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五2.

不確定關(guān)系的例舉例題1

討論單縫衍射的不確定關(guān)系如圖所示，位置的不確定，由縫寬模Δx=d

給出。x方向的動量不確定度Δpx用衍射一級極小的半角寬度表示，即

是入射光子動量。按照波的衍射理論，第一級衍射極小的角位置為于是有第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五例題2

束縛粒子的最小動能假設(shè)粒子被束縛在線度為r的范圍內(nèi)，則Δx=r那么，由不確定關(guān)系，粒子的動能至少為：三維空間中，所以，粒子的最小平均動能為這就是粒子的最小平均動能E不為零的結(jié)論又因為束縛在空間的粒子的動量在任何方向上的平均分量都為零，即，所以第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五解：對于數(shù)量級為10－14m大小的核，位置的不確定度取為

按照不確定關(guān)系，動量不確定度為動能約為

例題3在

衰變中，若電子是從原子核中逃逸出來的，試估計它在核中的動能

通常衰變的動能遠(yuǎn)小于該值。所以簡單的估算排除了電子在核內(nèi)的可能性，在原子核內(nèi)只能存放質(zhì)子和中子。電子可以被束縛在線度為0.05nm的原子內(nèi)是可能的。第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

解：以高爾夫球為例，一個質(zhì)量45g的高爾夫球，以40m/s的速度飛行，如果動量的不確定度是1%，位置的不確定度可估算為

數(shù)值是極其微小的，因此，球類運動員大可不必為球的波動性而擔(dān)憂。

例題4

估算宏觀物體的不確定性第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

原子所發(fā)射的光是由電子在兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的。如果兩個能級有確定的值，那么由頻率條件將得到有確定頻率(或波長)的譜線。但是，由于處在激發(fā)態(tài)能級上的電子壽命(Δt)有限，即Δt不能是無限長，按照不確定關(guān)系，這意味著能級存在著一定的能級寬度ΔE，這導(dǎo)致輻射光譜不再是單一頻率，而有一定頻率寬度，稱之為譜線自然寬度。如果激發(fā)態(tài)的壽命為Δt=10-8s

那么例題5

光譜線的自然寬度第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五則，譜線的自然寬度為總之應(yīng)用不確定關(guān)系的例子不勝枚舉，它是微觀世界中的一條基本規(guī)律。我們稱之為“不確定關(guān)系”，但是它帶來的卻是微觀世界的精確性！只是它與經(jīng)典物理學(xué)的“精確性”有著質(zhì)的區(qū)別。不過能級的壽命還常常受外界條件的影響，如氣體中原子彼此之間不斷地碰撞可以增大躍遷譜線的寬度，且增大的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于自然寬度，所以為了減少這種增寬，研究中光源常處在低氣壓狀態(tài)。第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.4

力學(xué)量的算符表示及其本征值方程1.

力學(xué)量算符的引出2.

力學(xué)量算符的表示及其本征值方程第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1.

力學(xué)量算符的引出考慮一個問題：如何在坐標(biāo)表象的態(tài)函數(shù)中求粒子的動量px的平均值的呢？若寫成式中的px(x)是在坐標(biāo)取x值的動量值。海森伯不確定關(guān)系指出這是不可能的，

px(x)是沒有意義的。我們必須引入動量(表象)波函數(shù)

是粒子動量在p

~

p+dp間隔內(nèi)的幾率，那么動量的平均值方可寫成第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

但又出現(xiàn)了一個問題，如果物理量既含動量又含坐標(biāo)，如能量E=p2/2m+V(x)

，又如何求能量的平均值呢?所以我們必須給出一個更一般的表達(dá)式。其實Ψ(x)

和Ф(px)之間有一種變換關(guān)系——傅立葉變換，即那么：第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五利用算符作用關(guān)系

，上式寫為：上式指出，如果把動量px改換成算符形式，那么用坐標(biāo)表象的波函數(shù)Ψ(x)，也可求動量的平均值。上面的推導(dǎo)還給出動量算符px的本征值方程式:第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五2.

力學(xué)量算符的表示及其本征值方程

量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相比有兩個顯著的區(qū)別，一個是專門引入態(tài)函數(shù)(波函數(shù))描述體系的狀態(tài)，另一個是用算符表示力學(xué)量。在坐標(biāo)表象中即在Ψ(x)中求動量的平均值,須把px換成算符形式,記為,類似的動量的算符是動能的算符是第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

在坐標(biāo)表象中，凡x函數(shù)的力學(xué)量，其算符就是本身。如勢能V(x)的算符就是V(x)。這樣總能量(動能加勢能)的算符是

在經(jīng)典力學(xué)中，由位置矢量和動量可組合成其他力學(xué)量，如角動量力學(xué)量L=r×p。在量子力學(xué)里，相應(yīng)的角動量算符是在直角坐標(biāo)系中第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

在球坐標(biāo)系

(r,θ,Ф)

中，借助于直角坐標(biāo)和球坐標(biāo)之間的如下關(guān)系（見下圖）不難給出角動量各分量表達(dá)式：第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五角動量平方算符在球坐標(biāo)系的表示是

力學(xué)量算符有一個重要的性質(zhì)，即代表力學(xué)量的兩個算符的乘積一般是不對易的。用符號

的對易關(guān)系，若

兩個算符對易，即滿足交換率；若

，兩個算符不對易。很容易證明

利用以上關(guān)系式和角動量直角坐標(biāo)分量算符的表達(dá)式,也不難證明第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五角動量平方算符的本征方程是

當(dāng)函數(shù)f與g只差一個常數(shù)λ時,即

,該方程稱函數(shù)f的本征方程，f稱本征函數(shù),一組數(shù)λ稱本征值。例如能量的本征方程是角動量

沿z方向的分量算符

的本征方程是自旋角動量的本征方程是：

在數(shù)學(xué)上,算符的一般定義是,當(dāng)它作用到一個函數(shù)

f上后,可以把

f映射為另一個函數(shù)g,即第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.5薛定諤方程

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動力學(xué)方程，它在量子力學(xué)中的地位和作用相當(dāng)于牛頓力學(xué)中的牛頓方程，電磁學(xué)中的麥克斯韋方程，它描述了量子系統(tǒng)狀態(tài)的演化規(guī)律。下面用一種直觀的方法引出薛定諤方程。

考察質(zhì)量為m，動量為p，能量為E=p2/2m的自由粒子的一維運動，它對應(yīng)的德布羅意波是波矢為k、圓頻率為ω的平面波，即式中的

,按照德布羅意關(guān)系式λ=h/p和關(guān)系式E=hν,自由運動的粒子的動量pn和能量E與平波面波矢k和圓頻率ω有如下關(guān)系第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五于是德布羅意平面波可改寫為

這個德布羅意波函數(shù)就是描述具有確定能量和動量的自由粒子運動的態(tài)函數(shù)。不難看出，若要從這個態(tài)函數(shù)中提取粒子的動能，動量信息，則必須用時間和空間坐標(biāo)的微分算符作用其上方可給出，即對于非相對論自由粒子能量—動量關(guān)系式第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

該式就是自由粒子一維運動的波方程,將其推廣到三維情況,E=p2/2m，波動方程是是拉普拉斯算符。

也可以通過如下算符作用在波函數(shù)

上得到如果粒子在勢場V(r,t)中作三維運動,粒子的總能量是第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五相應(yīng)的波方程應(yīng)該是

稱哈密頓算符，該式就是薛定諤方程，該方程是線性齊次方程，因而它保證了波函數(shù)(即態(tài)函數(shù))的疊加性。如果勢場不顯含時間t

,即V=V(r),那么薛定諤方程成為

仔細(xì)觀察上式兩邊，不難發(fā)現(xiàn)方程的左邊只含對時間微商的運算，而右邊只涉及對空間微商的運算，故可取分離變量式，即

第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五并將其代人上式后,得到如下等式

式中E是既不依賴時間又不依賴空間坐標(biāo)的常量(能量)。由上式分離出因此波函數(shù)具有形式其中波函數(shù)的空間部分滿足它的解是式中稱定態(tài)薛定諤方程第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五

一般說來該方程不是對任意的E(能量)值才有解，只對一系列特定、分立值才有解，故這些特定的E值可以用整數(shù)n編序成En，表明能量是量子化的?？梢娔芰苛孔踊匀惶N(yùn)含在薛定諤方程中。方程正是能量本征方程。En是系統(tǒng)的一切可能的能量本征值，即常稱的能級。Ψn是本征值En對應(yīng)的本征函數(shù)或本征態(tài)。力學(xué)量能量用哈密頓算符表示；哈密頓算符有本征方程，通過求解該方程給出力學(xué)系統(tǒng)的一切可能的能量本征值及對應(yīng)的本征函數(shù)，這是量子力學(xué)的基本假設(shè)。求解能量本征方程是量子力學(xué)最主要的任務(wù)。第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五§3.6一維問題的薛定諤方程解1.

一維無限深勢阱分立譜2.

一維勢壘散射問題隧道效應(yīng)

下面我們從能量本征方程，即定態(tài)薛定諤方程出發(fā)，討論幾個典型的一維定態(tài)問題。這些例子簡單，數(shù)學(xué)處理方便，定量分析結(jié)果明顯，揭示出諸多量子化行為，十分有助于理解量子力學(xué)的基本概念，有助于認(rèn)識量子體系的基本特征，也為進(jìn)一步研究復(fù)雜問題奠定了基礎(chǔ)。第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五1.

一維無限深勢阱分立譜

考慮一個理想情況——粒子在無限深勢阱中的運動。用這個簡單例子可以說明能量量子化是怎么自然地出現(xiàn)在量子體系中的。將勢阱表示為

在勢阱內(nèi)(0<x<d),定態(tài)薛定諤方程(能量本征方程)可以寫第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五m是粒子質(zhì)量,E>0,令方程化為它類似于諧振子方程,其一般解是式中A和φ為待定常數(shù)。在勢阱外(x≤0,x≥d)由于勢壁無限高，從物理上考慮，粒子是不會出現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)的。按照波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，阱壁上和阱外的波函數(shù)應(yīng)為零。

基于波函數(shù)的連續(xù)性要求，應(yīng)有:Ψ(x=0)=0和Ψ(x=d)=0,由這一對邊界條件，可給出常數(shù)k和Ψ，事實上由Ψ(0)=0，給出Ψ=0；由Ψ(d)=0，要求

kd=nπ,n=1，2，3…第六十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五n取零（n=0)，給出Ψ≡0

，無物理意義，n取負(fù)值，也給不出新的波函數(shù)，所以n應(yīng)取1以上的整數(shù)。從而給出的能量本征值(能級)為上式說明，并非任何能量值對應(yīng)的波函數(shù)都能滿足邊值條件，只有當(dāng)能量取上式給出的分立能值時，相應(yīng)的波函數(shù)或本征態(tài)才是可接受的合理解。這就自然地給出了能量量子化，En是能量本征值,Ψn是能量本征態(tài)函數(shù)。另一個常數(shù)A由波函數(shù)(幾率幅)的歸一化條件給出。由歸一化條件

第六十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五第六十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期五由這個簡單的例子可了解到量子體系的許多特征：(1)體系的能量是量子化的能級，它由整數(shù)n表征，n又稱能量量子數(shù)。能級的分布En＝E1n2,E1=?2/8ma2稱基態(tài)能(n=1)。這表明量子體系的最低能量不為零，所以又稱零點能。這與經(jīng)典粒子截然不同。這個零點能量還可由不確關(guān)系給出。能級之間的間隔(在這些間隔內(nèi)的能量是禁戒的)是不均勻的,ΔEn=(2n+1)E1。對于高能態(tài)ΔEn≈2nE1，能量間隔的相對值為ΔEn/En≈2/n。如果d很大，E1很小，而且能級間距也很小，能級十分密集。節(jié)點；n≥2的態(tài)稱激發(fā)態(tài)。第一激發(fā)態(tài)Ψ2(n=2)有一個節(jié)點，高的激發(fā)態(tài)有多個節(jié)點,Ψn態(tài)有n-1個節(jié)點。節(jié)點的出現(xiàn)意味著本征態(tài)對應(yīng)的德布羅意波呈駐波形式，節(jié)點多意味波長短，頻率高，能量大。駐波、節(jié)點是量子化的表現(xiàn)。(2)與E1對應(yīng)的本征態(tài)