函數(shù)矩陣與矩陣微分方程

函數(shù)矩陣與矩陣微分方程第一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間上的實函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完全相同。例：已知第二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五計算定義：設(shè)為一個階函數(shù)矩陣，如果存在階函數(shù)矩陣使得對于任何都有那么我們稱在區(qū)間是可逆的。第三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五稱是的逆矩陣，一般記為例：已知那么在區(qū)間上是可逆的，其逆為第四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理:階矩陣在區(qū)間上可逆的充分必要條件是在上處處不為零，并且其中為矩陣的伴隨矩陣。定義：區(qū)間上的型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為的秩。第五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五特別地，設(shè)為區(qū)間上的階矩陣函數(shù)，如果的秩為，則稱一個滿秩矩陣。注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。例：已知第六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五那么。于是在任何區(qū)間上的秩都是2。即是滿秩的。但是在上是否可逆，完全依賴于的取值。當(dāng)區(qū)間包含有原點時，在上有零點，從而是不可逆的。函數(shù)矩陣對純量的導(dǎo)數(shù)和積分

定義：如果的所有各元素在處有極限，即第七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五其中為固定常數(shù)。則稱在處有極限，且記為其中第八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五如果的各元素在處連續(xù)，即則稱在處連續(xù)，且記為其中第九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五容易驗證下面的等式是成立的：設(shè)則第十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義：如果的所有各元素在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣在點處(或在區(qū)間上)可導(dǎo)，并且記為第十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運算有下列性質(zhì)：是常數(shù)矩陣的充分必要條件是設(shè)均可導(dǎo)，則第十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五設(shè)是的純量函數(shù)，是函數(shù)矩陣，與均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng)是常數(shù)時有第十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五(4)設(shè)均可導(dǎo)，且與是可乘的，則因為矩陣沒有交換律，所以第十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五(5)如果與均可導(dǎo)，則(6)設(shè)為矩陣函數(shù)，是的純量函數(shù)，與均可導(dǎo)，則第十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義：如果函數(shù)矩陣的所有各元素在上可積，則稱在上可積，且第十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1

：已知函數(shù)矩陣試計算第十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五證明：第十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五由于，所以下面求。由伴隨矩陣公式可得第二十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五再求第二十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例2：已知函數(shù)矩陣第二十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五試求例3：已知函數(shù)矩陣試求證明：第二十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五同樣可以求得第二十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例4：已知函數(shù)矩陣試計算第二十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間上的個連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實數(shù)使得對于所有的等式成立，我們稱，在上線性相關(guān)。第二十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五否則就說線性無關(guān)。即如果只有在等式才成立，那么就說線性無關(guān)。定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量記第二十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五以為元素的常數(shù)矩陣稱為的Gram矩陣，稱為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)向量線性無關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。第二十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：設(shè)則于是的Gram矩陣為第二十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五所以故當(dāng)時，在上是線性無關(guān)的。第三十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定義：設(shè)是個定義在區(qū)間上的有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣第三十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十二頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五是的Wronski矩陣。其中分別是的一階，二階，…，階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理：設(shè)是的Wronski矩陣。如果在區(qū)間上的某個點，常數(shù)矩陣的秩等于，則向量在上線性無關(guān)。第三十三頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五例：設(shè)則因為的秩為2，所以與線性無關(guān)。第三十四頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五

函數(shù)矩陣在微分方程中的應(yīng)用形如第三十五頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五的線性微分方程組在引進函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中第三十六頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五第三十七頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為第三十八頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五定理：設(shè)是一個階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件的解為例1：設(shè)第三十九頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五求微分方程組滿足初始條件的解。解：首先計算出矩陣函數(shù)第四十頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五由前面的定理可知微分方程組滿足初始條件的解為第四十一頁，共四十五頁，編輯于2023年，星期五